2024-2025学年福建省莆田市高二上学期期中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省莆田市高二上学期期中数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．椭圆的焦距是（ ）
A．B．C．2D．4
2．直线关于y轴对称的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线经过两点，则直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线y=2x是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（ ）
A．B．C．D．或
5．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
10．已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则（ ）
A．的周长为4
B．当时，的面积为
C．若直线经过点，则的最小值是3
D．若线段中点为，则直线的方程为
11．如图，在棱长为的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（ ）
A．存在点满足平面∥平面
B．存在点满足平面
C．当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为
D．若，则点的轨迹长为
三、填空题（本大题共3小题）
12．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
13．已知，，，则点到直线的距离为 .
14．在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”. 则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 ；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知为实数，设直线，.
(1)若，求的值及与的交点坐标；
(2)若，求与的距离.
16．已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上.
(1)求圆的方程；
(2)证明圆与圆相交于两点，并求线段的长度.
17．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若的面积是，求直线的方程.
18．在三棱锥中，.
(1)证明：平面平面；
(2)点为棱上，若与平面所成角的正弦值为，求的长；
19．已知圆：与x正半轴交于点A，与直线在第一象限的交点为B．点为圆O上任一点，且满足，以x，y为坐标的动点的轨迹记为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若两条直线：和：分别交曲线于点E、F和M、N，求四边形面积的最大值，并求此时的k的值；
(3)研究曲线的对称性并证明为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．
答案
1．【正确答案】B
【详解】由可得椭圆焦点在轴上，
且则，
故椭圆的焦距是.
故选：B.
2．【正确答案】A
【详解】直线与两坐标轴的交点分别为和0,1，
因为这两点关于y轴的对称点分别为1,0和0,1，
所以直线关于y轴对称的直线方程为
故选：A
3．【正确答案】C
【详解】因为，所以，
因为，所以与共线，
故直线的一个方向向量是.
故选：C
4．【正确答案】A
【详解】的渐近线方程为，
因此，故，
故离心率为，
故选：A
5．【正确答案】D
【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切，
则，，
则，
故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支.
又因，解得，故其轨迹方程为.
故选：D.
6．【正确答案】C
【详解】
如图，设两条异面直线，所成的角为，
，，，，，，
，
则
，
得或（舍去）.
故选：C
7．【正确答案】A
【详解】解：设，因为，所以，
则圆的方程为，
联立，
解得，
由，
得，解得 或 ，
又 ，所以，即 ，
所以点 的横坐标为4
故选：A
8．【正确答案】A
【详解】由题意可知：圆的圆心为点，半径为，，
设椭圆的右焦点为，连接，
因为，可知点为的中点，
且点为的中点，则∥，，
由椭圆定义可知：，
因为为切点，可知，则，
可得，即，
解得，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
2.焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
9．【正确答案】AC
【详解】对于A，因为不共面，所以，，不共面，故A正确；
对于B，设，
即，解得，所以，
所以，，共面，故B错误；
对于C，设，即，方程无解，
所以，，不共面，故C正确；
对于D，设，即，即，
所以，即，，共面，故D错误；
故选：AC
10．【正确答案】BCD
【详解】A，假设直线经过点，由题意可知椭圆的长轴长，左焦点F1−1,0，
由椭圆的定义可知，
故A错误；
B，设，由椭圆定义可得，
在中由余弦定理可得，
把代入上式并整理可得，解得，
所以，故B正确；
C，若的斜率存在，不妨设其方程为：，
联立椭圆方程可得，
，
则，
所以，
若的斜率不存在，则其方程为，与椭圆联立易得，
显然当的斜率不存在时，，故C正确；
设，
易知，可得，，
若中点为，则，
所以直线方程为，即，故D正确；
故选：BCD
11．【正确答案】ABD
【详解】如图，
对于A，平面∥平面，
当点位于点时，平面∥平面，故A正确；
对于B，连接，由于平面平面故，
又，平面，因此平面，
平面，故，
同理可证明，平面，故平面，
因此位于时，此时平面，故B正确，
对于C，当为线段中点时，
与均为直角三角形，且平面平面，
三棱锥的外接球的球心为的中点，
外接球的半径，
三棱锥的外接球体积为，故C错误；
对于D，若，
与均为直角三角形，
，，
如图，在正方形中，
以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
则，，
设，则，
整理得：，
点在面内的轨迹为以为圆心，以为半径的，，，
在中，，，
，故D正确．
故选：ABD．
12．【正确答案】
根据椭圆的标准方程的类型列式可得结果.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得.
故
13．【正确答案】
【详解】由题意，,，
则与同方向的单位向量为，
又,则，
故点到直线的距离为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】设直线上的一点为，则；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，取得最小值，即坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为；
设圆上点，直线上的一点为，
则；
，，则恒成立；
当时，，
（其中，），
则当时，“折线距离”取得最小值；
当时，，
（其中，），
则当时，“折线距离”取得最小值；
当时，，则，
同上可知：此时“折线距离”最小值为；
综上所述：圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值为.
故；.
15．【正确答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为直线，，，
当时，直线，，不符合题意
当时，直线斜率为，直线斜率为，
由可得：
即，解得；
则，
联立方程组，解得，
则与的交点坐标为.
（2）因为直线，，，
由（1）知：时，不符合题意;
当时，由可得：，即，
解得或，
当时，两直线方程均为，不合题意，
当时，方程为，即，
方程为，即，
故与的距离为.
16．【正确答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）经过点和点的直线的斜率，
直线的方程为：，即圆心在直线上；
圆与轴相切于点，圆心在直线上；
由得：，圆心，半径，
圆的方程为.
（2）由圆的方程可得：圆心，半径，
，圆与圆相交；
两圆方程作差可得直线方程为：，
则圆心到直线的距离，
线段的长度为.
17．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆上，
又的横坐标为1，所以椭圆必不过，
则，，三点在椭圆上.
把，代入椭圆，得：
解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知F21,0，
当直线斜率为0时，不符合题意，
当直线斜率不为0时，可设直线的方程为：，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，消得：，
，
则，
又，即，
即，
化简得
解得，
所以直线的方程为：或.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）过作，垂足为，由，
得，，得，
由，得，所以，
即，所以；
在中，，所以，
又平面，
所以平面平面，
所以平面平面；
（2）如图以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系；
得，
设，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
则，
设直线与平面所成角为，则，
，
所以；
19．【正确答案】(1)
(2)时，四边形的面积最大值为
(3)答案见解析
【详解】（1）由题意可得，即.
由得，，
则将代入，化简得.
故曲线的方程为.

（2）由，消得，
解得，由已知直线交曲线于，
不妨设,，
所以，同理.
由题意知 ，所以四边形的面积.
.
∵ ，∴，
当且仅当时等号成立，此时.
∴ 当时，四边形的面积最大值为.
（3）曲线的方程为，它关于直线、和原点对称，

下面证明：
设曲线上任一点的坐标为Px0,y0，
则，点关于直线的对称点为，
因为，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，
同理可得点Px0,y0关于直线的对称点也在曲线上，
故曲线关于直线对称，
同理可证曲线关于原点对称.
下面证明为椭圆.
证明：①联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，
联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，
则，，，.
在上取点，
设Px,y为曲线上任一点，则
（因为）
.
即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.
②若点到两定点的距离之和为定值，
设Px,y为曲线上任一点，则
，
移项得
平方整理得，，
再移项平方得
化简可得
故点的轨迹方程为，
综上所述曲线是椭圆，其焦点坐标为.