2024-2025学年甘肃省天水市武山县高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省天水市武山县高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的前n项和为，=5，则=（ ）
A．5B．25C．35D．50
3．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
5．设曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则=（ ）
A．B．C．D．
7．已知、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、()，若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）.
A．B．C．D．
8．【2018江西抚州市高三八校联考】已知双曲线 (a>0，)与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第六天只走了5里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
12．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．是R上的增函数D．，则有
三、填空题（本大题共4小题）
13．圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角 .
14．已知，对任意的都有，则的取值范围为
.
15．抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A､B两点，且满足，点O为原点，则的面积为 .
16．如图为制作某款木制品过程中的产量吨与相应的消耗木材吨的统计数据，经计算得到关于的线性回归方程，由于某些原因处的数据看不清楚了，则根据运算可得 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
(1)结合图，求与的值；
(2)写出服药后与之间的函数关系式；
18．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最小值及单调减区间.
19．设函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）若方程有且仅有三个实根，求实数的取值范围．
20．已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.
21．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程＝0有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
22．设函数.
(1)时，求的最小值；
(2)若在恒成立，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】A
根据题意，将条件表示为的形式，计算出，再计算即可.
【详解】∵等比数列中，，，
∴ ，解得，
∴．
故选：A.
2．【正确答案】B
根据等差中项及等差数列求和公式即可求解.
【详解】由题意可知，为等差数列，
所以
故选：B
3．【正确答案】C
【分析】
分析出，，，即可得出，，的大小关系.
【详解】
，，，
∴.
故选：C
4．【正确答案】A
【分析】
根据角的终边经过点，利用三角函数的定义可求出的正弦和余弦，进而利用二倍角公式，两角和的余弦公式即可求解.
【详解】
解：角的终边经过点，
，
由三角函数的定义知：，，
，
，
.
故选：A.
5．【正确答案】D
利用可求得答案.
【详解】，∵，则．
故选：D
6．【正确答案】D
利用等差数列的性质以及前项和公式即可求解.
【详解】由，
.
故选：D
7．【正确答案】D
【详解】设椭圆方程为，点，则点，显然，

由与，相减得，
整理得，而，于是，
因为，当且仅当取等号，因此，即，
椭圆的离心率为.
故选：D
8．【正确答案】C
【详解】 由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，
所以，则，解得，
双曲线的渐近线方程是，将代入渐近线的方程，即，
则双曲线的离心率为，故选C.

9．【正确答案】AC
设出直线的点法向式方程为(、不同时为)，先讨论或均不合题意，即，然后求出横纵截距，由两截距相等得出，代入即得直线方程．
【详解】设所求直线方程为(、不同时为)，
显然，当或时，所得直线方程不满足题意，故、均不为，
当时，，当时，，
根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则，
令，则，整理，得，
解得，或，则，或，
故所求直线方程为或，
故选：AC.
10．【正确答案】BC
【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
11．【正确答案】BCD
【详解】
设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列，由求出，然后求出相应的项，判断各选项．
【详解】
解：根据题意此人每天行走的路程成等比数列，
设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列．
所以，解得．
选项A：，故A错误，
选项B：由，则，又，故B正确．
选项C：，而，，故C正确．
选项D：，
则后3天走的路程为，
而且，D正确．
故选：BCD．
关键点点睛：本题考查等比数列的应用，解题关键是引入等比数列，表示第天行走的路程，根据前6项的和求出首项，然后可得通项公式，从而判断出结论．
12．【正确答案】AD
由题意得，即为增函数，可得，即可判断，举出反例可判断C，根据单调性可判断D.
【详解】由，得，即，
所以函数为增函数，故，
所以，故A正确，B不正确；
函数为增函数时，不一定为增函数，
如是增函数，但是减函数，所以C不正确；
因为函数为增函数，所以时，有，
故有成立，所以D正确.
故选：AD.
13．【正确答案】；
根据圆的周长公式易得圆锥底面周长，也就是圆锥侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图扇形的圆心角的大小.
【详解】因为圆锥底面半径为，所以圆锥的底面周长为，
则其侧面展开图扇形的圆心角，
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】
利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实数a的取值范围.
【详解】
由得或，
在区间[-2,0)上,单调递增；在(0,2)内时单调递减.
又，，，
∴，
又对于任意的x∈[-2,2]恒成立，
∴，即a的取值范围是
故答案为.
本题考查利用导数研究函数的在闭区间上的最值进而求不等式恒成立中的参数范围，属基础题，关键在于利用导数研究函数的单调性，求得在给定区间上的最大值.
15．【正确答案】2
【详解】如图，
由题意可知，，
由得，
又根据可得，，
即，即，解得，，
∴A点的坐标为或，
∴.
故2
16．【正确答案】5.5
【分析】
根据线性回归方程过样本中心点，结合平均数的定义、线性回归方程进行求解即可.
【详解】
由题可知，又知线性回归方程必过样本中心点，将代入，得，即，解得．
故5.5
本题考查了线性回归方程的性质，考查了平均数的定义，考查了数学运算能力.
17．【正确答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意，当时，，函数过点，则，
当时，函数的解析式为，此时在曲线上，
将此点的坐标代入函数解析式得，解得.
（2）由（1）可得.
18．【正确答案】（1）最小正周期为；（2）；的单调递减区间为.
(1)利用降幂公式、诱导公式及逆用正弦二倍角公式将函数化为一个角的正弦函数，再利用周期公式，即可求出的最小正周期；
(2)先求出内层函数的值域，再结合正弦函数的图象和性质，即可求出结果.
【详解】(1)
.
所以的最小正周期为.
(2)因为，所以，
所以当，即时，函数取得最小值.
由，得，所以函数的单调递减区间为.
19．【正确答案】（1）增区间（-∞,1）和（2，+∞），减区间为（1，2）;（2）
【详解】试题分析：（1），解或的解集；（2）先求极值点，判断单调性，然后根据图形，判定轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式.
试题解析：（1），当时，或.当时，.
（2）由（1）知，函数在（-∞,1）为增，为减函数，为增函数，根据函数的图像特征，判断轴应在极值之间，得,
考点：1.导数的应用；2.函数的图像；3.函数的零点.
20．【正确答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】：
方法一（1）取的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形，得出，则证出直线平面； （2）延长交延长线于点，连接，则为平面和平面所成的锐二面角的平面角，在中求解即可.方法二（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，可以利用来证明；（2）利用的一个法向量与平面一个法向量求出二面角的大小.
【详解】法一（1）取的中点为，连接， 则，，且，
则四边形为平行四边形，则，即平面．
（2）延长交延长线于点，连接,则即为平面与平面的交线，
且，则为平面和平面所成的锐二面角的平面角．
在中，．
法二 取中点为S，连接，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，
（1）则，，
设平面的法向量为，则，即
令，则，即，所以，故直线平面．
（2）设平面的法向量，则．
21．【正确答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）
【分析】（1）首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间；
（2）由得， 将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，结合（1）中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴ ，
∴当时，，当时，，
即的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由得，
将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，
由（1）知函数在时有极大值，作出其大致图象，

∴实数的取值范围是.
22．【正确答案】(1)
(2)
【分析】(1)把代入后对函数求导，结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；
(2)结合导数研究函数的单调性，然后结合函数的性质可求.
【详解】（1）当时，，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得最小值.
（2），
令，则，
①当时，,函数在上单调递增，，即，
所以在上单调递增，，满足题意；
②当时，由可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增
当时，即，在单调递减，
所以,与恒成立矛盾，故不符合题意.
综上可得,的范围为.
方法点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)利用的定义域和实根把函数的定义区间分成若干个小区间；(4)确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性3
4
5
6
2.2
3.5
4.8