2024-2025学年甘肃省天水市武山县高三上学期12月月考数学检测试题（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省天水市武山县高三上学期12月月考数学检测试题（含答案），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（非选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．若双曲线的一个焦点为，则( )。
A、 B、 C、 D、
2．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为( )。
A、 B、 C、 D、
3．在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y（单位：百元）与当天的平均气温x（单位：℃）之间有如下数据：
若y与x具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程必过的点为（ ）
A．（22，3）B．（22，5）C．（24，3）D．（24，5）
4．已知函数，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．对于函数，有以下四种说法：
①函数的最小值是
②图象的对称轴是直线
③图象的对称中心为
④函数在区间上单调递增．
其中正确的说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且是等差数列，则下列结论错误的是（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
7．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
8．如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且。当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为( )。
A、 B、
C、 D、
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．给出下列命题，其中正确的有( )。
A、空间任意三个向量都可以作为一组基底
B、已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底
C、、、、是空间四点，若、、不能构空间的一组基底，则、、、共面
D、已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间的一组基底
10．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
11．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.
12．设函数，则使得成立的的取值范围是__________．
13．过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则 。
14．已知是，的等差中项，是，的等比中项，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.
（本小题满分15分）
已知函数，.
（Ⅰ）函数，分析在上的单调性.
（Ⅱ）若函数.当时，求的最小值；
17．（本小题满分15分）
椭圆：()的长轴长等于圆：的直径，且的离心率等于。直线和是过点且互相垂直的两条直线，交于、两点，交于、两点。
(1)求的标准方程；
(2)当四边形的面积为时，求直线的斜率()。
18.（本小题满分17分）
已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且点，关于直线对称．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标．
（本小题满分17分）
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：K2
2024-2025学年甘肃省天水市武山县高三上学期12月月考数学
检测试题
第I卷（非选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．若双曲线的一个焦点为，则( )。
A、 B、 C、 D、
【正确答案】B
2．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为( )。
A、 B、 C、 D、
【正确答案】C
3．在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y（单位：百元）与当天的平均气温x（单位：℃）之间有如下数据：
若y与x具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程必过的点为（ ）
A．（22，3）B．（22，5）C．（24，3）D．（24，5）
【正确答案】A．
4．已知函数，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
5．对于函数，有以下四种说法：
①函数的最小值是
②图象的对称轴是直线
③图象的对称中心为
④函数在区间上单调递增．
其中正确的说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【正确答案】A
6．已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且是等差数列，则下列结论错误的是（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
【正确答案】B
7．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
【正确答案】D
8．如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且。当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为( )。
A、 B、
C、 D、
【正确答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．给出下列命题，其中正确的有( )。
A、空间任意三个向量都可以作为一组基底
B、已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底
C、、、、是空间四点，若、、不能构空间的一组基底，则、、、共面
D、已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间的一组基底
【正确答案】BCD
10．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
【正确答案】ABD
11．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
【正确答案】AC
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.
12．设函数，则使得成立的的取值范围是__________．
【正确答案】
13．过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则 。
【正确答案】
14．已知是，的等差中项，是，的等比中项，则______.
【正确答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.
【正确答案】（1），；（2）.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，则，可得，所以，
因为，，所以，整理得，解得，
所以；
（2）设数列的前项和中奇数项的和为，偶数项的和为，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
对任意的正整数，，
，①，
由①得，②，
①②得，
化简得.
因此，数列的前项和为.
（本小题满分15分）
已知函数，.
（Ⅰ）函数，分析在上的单调性.
（Ⅱ）若函数.当时，求的最小值；
【正确答案】（Ⅰ）在上单调递减；（Ⅱ）（i）；
【详解】
（Ⅰ），
则，
当时，，所以，
所以在上单调递减.
（Ⅱ），
则.
（i），
当时，，，
所以，在上单调递增，
所以的最小值为.
17．（本小题满分15分）
椭圆：()的长轴长等于圆：的直径，且的离心率等于。直线和是过点且互相垂直的两条直线，交于、两点，交于、两点。
(1)求的标准方程；
(2)当四边形的面积为时，求直线的斜率()。
(1)由题意得，∴，∵，∴，∴ ， 2分
∴椭圆的标准方程为； 3分
(2)直线：，则直线：，由， 5分
得，恒成立， 6分
设、，则，， 7分
∴， 8分
∵圆心到直线：的距离， 9分
又，∴， 10分
∵，∴， 11分
由，解得或，由，得。 12分
18.（本小题满分17分）
已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且点，关于直线对称．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标．
【正确答案】（1）；（2）证明见解析，定点坐标为．
（1）解：将代入，得，
所以，
由点，关于直线对称，可得，
将的坐标代入抛物线的方程得，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）证明：由（1）得，
设，，直线的方程为．
将直线的方程代入得，所以，
所以，．
因为，所以
，
由题意可知，，所以．
所以，即，
所以，即，
所以直线的方程为，
直线过定点，定点坐标为．
（本小题满分17分）
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：K2
解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：；
该市一天的空气质量等级为2的概率为：；
该市一天的空气质量等级为3的概率为：；
该市一天的空气质量等级为4的概率为：；
（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：100×0.20+300×0.35+500×0.45＝350；
（3）根据所给数据，可得下面的2×2列联表，
由表中数据可得：
K25.820＞3.841，
所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
x/℃
20
22
24
21
23
y/百元
1
3
6
2
3
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
（200，400]
（400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
人次≤400
人次＞400
空气质量好
空气质量不好
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
x/℃
20
22
24
21
23
y/百元
1
3
6
2
3
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
（200，400]
（400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
人次≤400
人次＞400
空气质量好
空气质量不好
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
人次≤400
人次＞400
总计
空气质量好
33
37
70
空气质量不好
22
8
30
总计
55
45
100