2024-2025学年广东省江门市鹤山市高二上学期12月联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省江门市鹤山市高二上学期12月联考数学检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ）
A．8B．9C．8.5D．9.5
2．若直线是圆的一条对称轴，则m的值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
4．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（ ）
A．5B．6C．9D．10
5．若样本的平均值是5，方差是3，样本的平均值是9，标准差是b，则（ ）
A．B．C．D．
6．若点关于平面和轴对称的点分别为，，则（ ）
A．B．C．1D．9
7．孪生素数（素数是只有1和自身因数的正整数）猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数，在不超过20的素数中随机选取2个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有=
B．“”是“共线”的充要条件
C．若共线，则与所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
10．伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，则与不互斥B．若，则与不相互独立
C．若，则与相互独立D．若，则与互斥
11．如图，正方形的边长为2，为边的中点，把和分别沿，折起.使得，两点重合为一点.下列四个命题正确的是（ ）
A．平面
B．直线与直线所成的角为
C．二面角的大小为
D．点到平面的距离为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，，则 .
13．已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则到平面的距离为 ．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，过作的垂线交轴于点，若，记椭圆的离心率为，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，，．
(1)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(2)若向量与向量，共面，求实数的值．
16．已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上.
(1)求圆C的方程：
(2)若直线与圆的交点为两点，求.
17．溺水､校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.
(1)求甲队总得分为1分的概率；
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
18．椭圆的中心是原点，焦点为，短轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)如果过点的直线与椭圆相交于点两点，且，求直线的方程.
19．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由题意可得：，解得：，
将这组数据从小到大的顺序排列为，
因为为整数，
所以这组数据的75百分位数为，
故选：C.
2．【正确答案】B
【详解】由已知圆的标准方程是，圆心坐标为，
所以，．
故选：B．
3．【正确答案】A
【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
4．【正确答案】C
【详解】因为表示焦点在轴上且焦距为的椭圆，
所以，解得，
故选：C.
5．【正确答案】D
【分析】
设的平均值为，方差为，进而根据公式列式求解即可.
【详解】
解：设的平均值为，方差为，
因为样本的平均值是5，方差是3，
所以，
因为样本的平均值是9，标准差是b，
所以，，
所以
故选：D
6．【正确答案】A
【详解】点关于平面对称的点为，
关于轴对称的点为，
所以，，故．
故选：A．
7．【正确答案】D
【分析】
根据素数的定义，可知不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，利用列举法列出在不超过20的素数中随机选取2个不同的数的所有样本，记事件表示“选取的2个数能够构成孪生素数”，由孪生素数的定义可得出事件包含的样本点，最后利用古典概型的概率求法求出结果.
【详解】
解：不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，
则在不超过20的素数中随机选取2个不同的数的样本空间：
，共有28个样本点，
记事件表示“选取的2个数能够构成孪生素数”，
则事件包含的样本点有，，，，共4个，
故抽取的2个数能够构成李生素数的概率是．
故选：D．
8．【正确答案】B
【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，，
由得，即，
由于，所以，，
所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，
由图知：，
故选：B.
9．【正确答案】BCD
【详解】对于A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，故A正确；
对于B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要性不成立，故B错误；
对于C，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，故C错误；
对于D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，故D错误．故选BCD.
10．【正确答案】ABC
【分析】根据已知条件，分析和时所有的基本事件的结果，利用事件互斥和两事件相互独立的定义分别判断即可.
【详解】A选项：时，若两次实验中结果为一次正面，一次反面，则事件与同时发生，
由互斥事件定义，与不互斥，A正确；
B选项：时，两次实验的结果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）种，
，，，，
所以与不相互独立，B正确；
C选项：时，三次实验的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），
（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）种情
况，，，，，
所以与相互独立，C正确；
D选项：时，若三次实验结果为（正，正，反），则事件与同时发生，
由互斥事件定义，与不互斥，D错误.
故选：ABC
11．【正确答案】AC
【分析】作出图形，根据线面、线线位置关系可判断A,B，找到二面角的平面角，根据长度计算即可知C对错；然后作，根据计算即可.
【详解】如图，
由平面图形，可知，，又,平面
∴平面，又平面可得∴A对，B错；
取的中点，连接，，则，，
∴为二面角的平面角，，，，
∴，C对；
由C选项知平面，∴平面平面，为交线，
在平面中作，交于，则平面，
由，求得，
∴点到平面的距离为，D错.
故选：AC
12．【正确答案】2
【详解】因为，所以,
因为，所以,
即，解得.
故答案为:2.
13．【正确答案】1
【分析】依题意求得，再利用点到平面的距离公式即可得解.
【详解】因为，点，所以，
又的一个法向量为，
所以到平面的距离为.
故1．
14．【正确答案】
【详解】如下图所示：

因为，，所以，
可得，即，可得；
又在中，，
由椭圆定义可得，即，
所以，可得.
故
15．【正确答案】(1)实数和的值分别为和；
(2).
【详解】（1）由，得，解得，
向量，，则，
由向量与垂直，得，则，
当时，有，矛盾；当时，有，解得，
所以实数和的值分别为和.
（2）由向量与向量，共面，设，
则，即，解得，
所以实数的值为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为，
所以弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线联立解得：，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆的方程为：；
（2）由（1）知，圆心到直线的距离为
圆的半径.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）记“甲队总得分为1分”为事件B：甲队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错，
其概率.
∴甲队总得分为1分的概率为.
（2）记“甲队总得分为2分”为事件C，记“乙队总得分为1分”为事件D.
事件C即甲队三人中有2人答对，剩余1人答错，
∴
事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，
∴.
由题意，事件C与事件D相互独立，
∴甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
18．【正确答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）由题意得，椭圆焦点在轴上，设方程为.
因为短轴长为，离心率为，所以.
又因为，故.
所以曲线的方程为.
（2）由（1）可知点在椭圆外，所以过该点的直线的斜率必然存在.
可设直线的方程为，联立，
得，
，
设，由根与系数的关系可知：，
.
由得，即，
解得：，符合，
所以直线的方程为或.
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，.
【详解】（1）因为为正方形，
所以，
因为，且，平面AND，平面BMC，
所以平面平面BMC，
又平面AND，
所以平面.
（2）因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，又平面，
所以，
在中，，
所以在中，，
所以，又，
所以，
所以两两垂直，以B为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示：
所以，
则，
设平面CDM的法向量，
则，令，可得，
所以一条法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
（3）假设存在点E，设点，
所以，
所以点，则，
设平面的法向量，
则，令，可得，
所以一条法向量，
因为平面，
所以即为平面的法向量，
所以，
即，解得或-1（舍），
所以，则，
所以存在一点E，使得平面与平面的夹角的余弦值为，此时