2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第二次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第二次月考数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．设，向量，且，则（ ）
A．B．C．2D．8
3．如图，已知空间四边形，其对角线分别是对边的中点，点在线段上，且，现用向量表示向量，设，则（ ）
A．B．1C．D．
4．圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线和平面，则下列命题正确的是（ ）
A．平面内不一定存在和直线垂直的直线
B．若，则
C．若异面且，则
D．若，则直线可能两两相交且不过同一点
6．一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
7．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A．2B．C．D．4
8．已知双曲线的左､右焦点分别为、过向一条渐近线作垂线，垂足为.若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．过，两点的直线方程为
B．已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
10．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为
11．已知抛物线的准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（ ）
A．点F的坐标为
B．的最小值为
C．存在两个P点，使得
D．若为正三角形，则圆M与直线PQ相交
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知椭圆的标准方程为()，并且焦距为6，则实数的值为____________．
13．已知直线l与双曲线交于A，B两点，且弦AB的中点为，则直线l的方程为 ．
14．已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆过点A.
(1)求圆的标准方程；
(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.
16．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
17．已知双曲线与圆相切，且的渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)若的右顶点为，过的右焦点的直线交于两点，且，求.
18．如图，三棱柱中，侧面底面，△是边长为的正三角形，，与平面所成角为45°．
（1）证明：平面；
（2）若点为中点，点为棱上一点，且满足，是否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由．
19．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆与椭圆相似．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设P为上异于其左、右顶点的一点．当时，过P分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值；
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为直线的倾斜角为，
所以直线的斜率.
又直线在轴上的截距是3，
由斜截式方程得.
故选：C.
2．【正确答案】B
【详解】因为，
所以，解得，
由可知，，解得，
所以，
故选：B
3．【正确答案】A
【详解】由题设，
结合，得，
所以.
故选：A
4．【正确答案】D
【详解】已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故选：D.
5．【正确答案】C
【详解】对于A，我们要讨论平面和直线的关系，
当时，平面内一定存在和直线垂直的直线，
当直线时，在平面内有无数条直线与直线是异面垂直直线；
当直线平面时，在平面内有无数条平行直线与直线相交且垂直；
当直线与平交但不垂直时，在平面内有无数条平行直线与直线垂直，
故平面内一定存在和直线垂直的直线，故A错误；
对于B，当时，一定有或相交，故B错误；
对于C，如图，因为，过直线，一定存在平面，
使得，，所以，
而，，故，
因为异面，所以一定相交，而，，故成立，故C正确；
对于D，如图，
，，，.
∵直线和不平行，相交.
设，则，
.
又.
三条直线相交于同一点，故D错误，
故选：C
6．【正确答案】B
【详解】解：设点关于直线的对称点为，
则，解得 ，即 ，
易知切线的斜率存在，设直线方程为：，即 ，
则圆心到切线的距离等于半径，即 ，
整理得：，解得或，
故选：B
7．【正确答案】B
【详解】因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，，
截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上，
根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上，
建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴，
设抛物线与底面交点为E，则，
设抛物线为，则，解得，
即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为.
故选：B.
8．【正确答案】D
【详解】如图，
因为，不妨设渐近线方程为，即，
设点在第一象限，
所以，所以.
设，则，
所以，
又，，
所以，所以，
所以，所以，
因为F1−c,0，所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为，
故选：D.
9．【正确答案】BC
【详解】对于A：当，时，过x1,y1，x2,y2两点的直线方程为，故A选项不正确；
对于B：如图所示，由点，，过点的直线与线段有公共点，
直线的斜率或，
的斜率，的斜率，
直线的斜率或，即，所以B选项正确；
对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：，，
直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C选项正确；
对于D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以D选项不正确；
故选：BC.
10．【正确答案】BCD
【分析】利用线面位置关系与向量的关系可判断A选项；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；利用空间向量基底的概念可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，
则，则，所以，或，A错误；
对于B选项，对空间中任意一点，有，
则，整理可得，
故、、、四点共面，B正确；
对于C选项，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，
两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，C正确；
对于D选项，已知向量，，
则在方向上的投影向量为，D正确.
故选BCD.
11．【正确答案】ACD
【分析】对A，准线与圆相切，可知，即可确定焦点为F坐标，即可判断选项；对B，转化为，根据将军饮马理论可判断选项；
对C，若，则，做中垂线，解出方程，与抛物线联立，解得个数，即可判断几个交点；对D，根据为正三角形，可得解得纵坐标，和圆与轴交点比较，即可判断.
【详解】对A，准线与圆相切，
可知，可得，所以，故A正确；
对B，根据可得，
可确定最小值为，故B错误；

对C，若，则，做中垂线，
根据题意知，设为中点，则可得，
直线斜率为，根据点斜式可确定为，
与抛物线联立得，
，
所以可知有两个解，所以存在两个P点，使得，故C正确；
对D，根据为正三角形，所以，则，
且，所以可得，和圆与轴交点为，
，所以可知圆M与直线PQ相交，故D正确.

故选ACD.
【思路导引】合理利用抛物线上点到焦点距离和到准线距离相等.
12．【正确答案】4或
【详解】因为2c＝6，所以c＝3，
（1）当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知，
解得
（2）当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知，
解得
综上，解得或．
故或
13．【正确答案】
【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，
则，，
又由，，
两式相减，得，
即，整理得，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，
化简得，经检验满足题意.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为，
所以，得到，又正三棱柱的高为2，
所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心，
又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面有两个切点为，
则，
又点是正三棱柱表面上的动点，
当与（或）重合时，的值最小，此时，
由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大，
连接，并延长交于，则，
此时，得到.
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，解得，则圆心为
，
圆的标准方程为
（2）设.由，可得，
则，
又点在圆上，所以，即，
化简得，
点的轨迹方程为.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
则，
设平面的法向量为，
则，取，则，
由于，故，
又平面，故平面
（2）由（1）知平面的法向量，又，
设直线与平面所成角为，则；
（3）由于，平面的法向量，点到平面的距离
17．【正确答案】(1)
(2)6
【详解】（1）根据题意：，.
所以双曲线的标准方程为.
（2）如图：
双曲线右焦点的坐标为2,0，设直线：，代入，
得：，整理得：，（）
设Ax1,y1，Bx2,y2.
则，.
由，
所以.
此时：，.
所以，
所以.
18．【正确答案】（1）证明见解析；
（2）存在，或
【详解】（1）取中点，连结，
∵△为正三角形，∴，
∵侧面底面, 平面，平面平面，
∴面，
∵与平面所成角为45°，
∴即为与平面所成角，即°，
∵ ∴，∴即，
∵侧面底面，平面，平面平面，
∴平面.
（2）由（1）可得、且，
连接DE，则由题，所以，，
所以两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，，
∴，，,，
设平面法向量，平面法向量，
则，即，令，解得，即，
，即，令，解得，即，
∴，
即，解得或，
∴存在或使得平面与平面夹角余弦为.
19．【正确答案】(1)
(2)证明过程见解析
【详解】（1）对于椭圆：，则长轴长为，短轴长为2，焦距为2，
椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，
依题意可得，所以，
则椭圆的离心率.
（2）由相似比可知，，解得，
所以椭圆：，
设Px0,y0，则直线的方程为，即，
记，则的方程为，
将其代入椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，
所以为关于的方程的两根，
所以．
又点Px0,y0在椭圆上，
所以，
所以为定值．