2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知在复平面内对应的点为，的共轭复数为，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．“”是“直线和直线平行且不重合”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ）
A．若mn，n⊥α，αβ，则m⊥β
B．若则m⊥α
C．若m⊥α，mn，nβ，则α⊥β
D．若，则α⊥β
6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知直线l的方向向量为，点，在l上，则点到l的距离为（ ）
A．B．4C．D．
8．正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列结论错误的是（ ）
A．过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为
B．直线与直线之间的距离为
C．已知点，，点在轴上，则的最小值为
D．已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是
10．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）

A．直线与直线所成的角为
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．四面体的体积为
D．点到平面的距离为
11．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面上存在定点使得的长度为定值B．的最大值为
C．的最大值为D．点到直线的距离的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
13．有一光线从点射到直线以后，再反射到点，则入射光线所在直线的方程为 .
14．在菱形中，，将沿折起，使得点到平面的距离最大，此时四面体的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知空间中三点，，，设，．
(1)已知向量与互相垂直，求的值；
(2)求的面积．
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
(1)求A；
(2)若，求a的最小值.
17．如图，四边形是矩形，四边形是梯形， ，平面与平面互相垂直，．

(1)求证：．
(2)若二面角为，求多面体的体积．
18．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为．
(1)求证：平面；
(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．
19．已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角．
(1)已知直线，均过点，直线，是一组“共轭线对”，且的斜率为，求的一般式方程；
(2)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；
(3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线，的距离之积的取值范围．
答案
1．【正确答案】D
【详解】由题意，，，所以，，，．
故选：D
2．【正确答案】B
【详解】因为为增函数，为减函数，
所以，，且
又因为为减函数，所以，
所以.
故选：B.
3．【正确答案】A
【详解】由题意得，．
故选：A
4．【正确答案】C
【详解】当时，两直线分别为：，，
∴两直线斜率相等且，
∴两条直线平行且不重合；充分性成立，
若两直线平行且不重合，则，
∴，必要性成立，
综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件，
故选：C．
5．【正确答案】D
【详解】解：对于A，若，则且，所以A正确；
对于B，若，则且，所以B正确；
对于C，若，则由面面垂直的判定定理可得，所以C正确；
对于D，若，则可能相交或垂直，所以D错误.
故选：D.
6．【正确答案】A
【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.
【详解】，，
，
，，，.
故选：A.
7．【正确答案】C
【分析】根据点P到直线l的距离为，分别计算向量的模长与夹角的正弦值即可.
【详解】根据题意，得，，
，，
又，到直线l的距离为
故选：C
本题考查了空间向量的应用问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
8．【正确答案】C
【分析】设四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，当为内切球的直径时，最长，再化简可求得其最大值.
【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，则.
因为正四面体的棱长为3，所以，
所以，设内切球的半径为，
则，，解得，
当为内切球的直径时最长，此时，，
，
因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为.

故选：C
9．【正确答案】ABD
【详解】对于A，当直线过原点的方程为，故选项A错误；
对于B，由可得，与平行，
则两条平行直线间的距离为，故选项B错误，
对于C，点关于轴的对称点为，则，
所以，
即的最小值为，故C正确，
对于D，，，又直线与线段没有公共点，所以，故D错误.
故选：ABD
10．【正确答案】AC
【详解】如图以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，A1,0,0，，，，

对于A：，，
因为，所以，
即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；
对于B：在正方形中，，
又因为平面，平面，所以平面，
平面，所以，同理可证，
，所以平面，所以平面的一个法向量，
因为，所以，
即直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B错误；
对于C：图形为正方体去掉四个全等的直棱锥，
所以四面体的体积为：，故选项C正确；
对于D：因为，平面的一个法向量n=x,y,z，，，
故，令，则，，故，
所以点到平面的距离，故选项D不正确.
故选：AC
11．【正确答案】ABD
【详解】由直线，可得过定点，
动直线，可得恒过定点，
由两条直线斜率乘积为-1知两条直线总互相垂直，是两条直线的交点，所以，所以当为中点时，此时,
所以A正确；
由于，又，所以，，故，当且仅当取等号，故B正确，C错误，
设到直线的距离为，由于，故，故最大值为，故D正确，
故选ABD.
12．【正确答案】
【分析】利用投影向量的定义结合空间向量的坐标运算公式计算即可.
【详解】易知向量在向量上的投影向量为
.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】解：设点关于直线的对称点为，
则，解得．
则点在反射光线所在的直线上．
反射光线所在的直线方程为：，化为．
反射光线所在的直线方程为．
故
14．【正确答案】
【详解】解：如图，设，
因为四边形为菱形，，
所以和均是边长为2的等边三角形，则．
因为翻折后点到平面的距离最大，所以平面平面．
设的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，
则平面，且．
设，则，解得，
所以外接球的半径，
所以四面体的外接球的表面积．
故
15．【正确答案】(1)5
(2)
【详解】（1）因为，，，所以，，，
因为向量与互相垂直，所以，解得．所以的值是5．
（2）由（1）可得．
故，
所以．
16．【正确答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可；
（2）应用余弦定理结合基本不等式求值即可.
【详解】（1）
，即，
即；
（2）由余弦定理有，
当且仅当时取等号，故a的最小值为1.
17．【正确答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理先证，再证线面垂直即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，由二面角计算BC长，将多面体分割为四棱锥和三棱锥，分别计算其体积即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
所以．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面,所以；
（2）因为四边形是矩形，所以．结合平面，可知两两垂直．故以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易知平面的一个法向量为，
假设，则，，
设平面的法向量为，所以，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，
因为二面角为，所以，
解得．
易证，所以．
因为，平面平面，平面平面，
所以平面，所以是三棱锥的高．
，
因为平面，所以是四棱锥的高．
，
所以多面体的体积.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连结，，因为为等边三角形，为中点，则，
依题意平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以．
由题设知四边形为菱形，所以，
因为，分别为，中点，所以，即，
又，平面，所以平面；
（2）由（1）知平面，又，故可以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.（如图）
则,
于是，，，,
设，则，
设平面的法向量n=a,b,c，则
令，则，，则，
由（1）可知可作为平面的一个法向量，
则，
令，则，
则；
设 ，则 ，故得，
即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为．
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）已知直线，均过点，直线，是一组“共轭线对”，
且的斜率为，所以的斜率为，
故方程为：，化为一般式为.
（2）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则，
∵，∴，
等号成立的条件是，所以直线，的夹角最小值为．
（3）设，，其中，
故
由于（等号成立的条件是），
故，所以，
即原点到直线，的距离之积的取值范围为