2024−2025学年广东省深圳市高二上学期期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024−2025学年广东省深圳市高二上学期期中考试数学检测试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“直线和直线平行”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3． 已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
4．已知椭圆：的离心率为，则（ ）
A．B．或C．8或2D．8
5．经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（ ）
A．8B．9C．10D．20
6．已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（ ）
A．B．C．2D．1
7．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．以下四个命题中正确是（ ）
A．若空间向量、满足，则与夹角为锐角
B．若空间向量，，则在上的投影向量为
C．点为平面上一点，为平面外一点，且，则
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
10．已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．椭圆离心率为
B．
C．若，则的面积为
D．最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是 .
13．求圆上的动点到直线距离的最大值 ．
14．已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知点和直线.
(1)求过点且与直线垂直的直线的一般方程；
(2)求与直线平行且与之间的距离为的直线的一般方程.
16．已知圆C：，点，点．
(1)过点P作圆C的切线l，求出l的方程；
(2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程．
17．如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
18．如图，在四棱锥中，，，，点为棱上一点．

(1)证明：；
(2)当二面角的余弦值为时，求．
19．已知圆过，，三点．
(1)求圆的方程；
(2)求圆与圆：的公共弦长；
(3)已知，P为圆上任意一点，在y轴上是否存在定点N（异于点M），使得为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】A
【详解】因为直线过，两点，可得，
又因为，所以，可得，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，
所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2．【正确答案】A
【详解】
当时，直线即3x＋2y＋6＝0，直线即，可知两直线的斜率相等，且在y轴上的截距不等，此时，两直线平行；
反过来，当直线与直线平行时，能得出或．
综上所述，选A．
3． 【正确答案】 C
【详解】由题设可知，椭圆C的焦点为，椭圆C上任意一点到两个焦点的距离之和为，故椭圆C的标准方程为.
4．【正确答案】C
【详解】椭圆：的离心率为，
当椭圆焦点在轴上时，，解得，
当椭圆焦点在轴上时，，解得.
故选：C.
5．【正确答案】D
【详解】
为椭圆的两个焦点，
，
的周长为．
故选：D．
6．【正确答案】C
【详解】由圆，圆，
两式相减得相交弦所在直线方程.
由圆可得圆，
所以圆心、半径.
所以圆心到直线的距离，
所以相交弦长为.
故选：C
7．【正确答案】B
【详解】，故在为直径的圆上，即，
圆在椭圆内部，故，，故.
故选：B.
8．【正确答案】C
【详解】椭圆中，.

如图，由得，
∴，
∴当取最小值时，最小.
由题意得，点A为椭圆右焦点，当点为椭圆的右顶点时，，
∴.
故选：C.
9．【正确答案】BC
【详解】对于A选项，若空间向量、满足，则与夹角为锐角或，A错；
对于B选项，若空间向量，，
则在上的投影向量为，B对；
对于C选项，因为点为平面上一点，为平面外一点，则、、共面，
设，其中、，
则，
所以，，
又因为，则，
即，解得，C对；
对于D选项，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底，
但不共线的三个向量可能共面，D错.
故选：BC.
10．【正确答案】ABD
【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D.
【详解】对于A，，
，故A正确；
对于B，，设，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选ABD.
11．【正确答案】BCD
【详解】由椭圆方程可知，，，，
所以椭圆的离心率，故A错误；
由椭圆定义知，故B正确；
又，因为，所以，
，
解得：，所以的面积为，故C正确；
因为，即，
设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
12．【正确答案】和；
【详解】若直线经过原点，则设直线方程为，将代入可得，
若直线不经过原点，设直线方程为，
将代入可得，所以直线方程为，即，
故和；
13．【正确答案】
【详解】圆可化为，其圆心为，半径为1，
圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最大值为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】由可得，整理可得，
所以，曲线表示圆在轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，
结合图形可知，，则，
当直线过原点时，，
结合图形可知，当时，
直线与曲线有两个不同的交点.
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的斜率为，
故所求方程为，即；
（2）设与直线平行的直线方程为，
则，即，解得或，
所以所求直线的方程为或.
16．【正确答案】(1)或；
(2)．
【详解】（1）由C：，
则圆心，半径，
当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意；
当切线l的斜率存在时,则设切线l的方程为，即，
所以，解得，
此时切线l的方程为，即.
综上所述，切线l的方程为或.
（2）设，，
因为，，G为三角形APQ的重心，
所以，即，
由A为圆C上的动点，得，
则，整理得，
即动点G的轨迹方程为．
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）中，，即，
满足，故，
平面，平面，故，
又，平面，故平面；
（2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，，
则，取得到，
平面与平面夹角的平面角为锐角，
故余弦值为.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）因为，所以，所以，
又，且平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）因为，所以，则．
由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
可知，设，
则，
设平面的一个法向量n1=x1,y1,z1，
则即令，解得，，
故，

设平面的一个法向量为，
由，得令，解得，故，
所以，
即，整理，得，解得或（舍去）．
故．
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)存在定点
【详解】（1）设圆方程为，
因为圆过，，三点，
则，解得：,
所以圆方程为.
（2）圆方程化为一般方程为：，
联立圆与圆两圆方程得： ，
两式相减得公共弦的方程：，
圆的标准方程为，圆心，半径为4，
圆心到直线的距离，
又圆的半径为4，所以公共弦长为.

（3）假设在y轴上存在定点，满足题意，
不妨设Px,y，，则，
即：， ①
因为P为圆上任意一点，所以满足，即，
所以①式可化简为：，
那么，解得：或（舍去），
所以存在定点使得为定值.