2024−2025学年广东省深圳市高二上学期期中数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024−2025学年广东省深圳市高二上学期期中数学质量检测试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知与是互斥事件，且，则（ ）
A．0.5B．0.6C．0.8D．0.9
2．已知直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（ ）
A．1B．C．2D．−2
4．从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知空间向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．若过点的直线与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
7．已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，若动点满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是”，事件B表示“第二次掷出的点数是偶数”，表示“两次掷出的点数相同”，表示“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．A与互斥B．A与相互独立
C．与对立D．与相互独立
10．如图，已知正方体的棱长为2，点为正方体的中心，点满足，则（ ）
A．平面
B．平面
C．在上的投影向量为
D．平面与平面夹角的余弦值为
11．已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆与圆的公共弦方程为
B．满足的点有2个
C．若圆与圆、直线AB均相切，则圆的半径的最小值为
D．的最小值是
三、填空题（本大题共3小题）
12．两个篮球运动员罚球时命中的概率分别是0.4和0.5，两人各罚一次球，则他们至少有一人命中的概率是 .
13．若点和点关于直线对称，则 ．
14．已知，，是球上三点，球心的坐标为，是球上一动点，则三棱锥的体积的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为AC的中点.
(1)用表示，并求的值；
(2)求的值.
16．已知圆经过点和，其圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线过点且与圆相切，求的方程.
17．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
18．如图，在四棱台中，平面，底面为正方形，，点在线段上运动.
(1)证明.
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
(3)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
19．定义：是圆外一点，过点所作的圆的两条切线（为切点）相互垂直，记圆经过点，则称为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”.已知为坐标原点，圆为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”.
(1)求点所在曲线的方程.
(2)已知点的横坐标为6，且位于第一象限.
（i）求圆的方程；
（ii）已知为过点所作的圆的两条切线的切点，直线与轴分别交于点，过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，求的方程.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由，可得.
由于与是互斥事件，
故.
故选：D
2．【正确答案】C
【详解】直线的倾斜角为，
所以斜率一定存在，且 ，
直线即，
所以斜率,即.
故选：C
3．【正确答案】A
【详解】依题意，方程表示圆，则，解得.
因为坐标原点不在圆的内部，所以.
综上所述，，结合选项可知A符合题意.
故选：A
4．【正确答案】B
【详解】记三名男生为A，B，C，两名女生为1，2，
任意选出两人的样本空间为，，共10个样本点，
恰好一男生和一女生的样本点有6个，
所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为.
故选：B.
5．【正确答案】C
【详解】设与的夹角为.由，得，
两边平方得，所以，
解得.又，所以.
故选：C.
6．【正确答案】C
【详解】可化为，可得圆心，半径．
当时，MN最小，此时点到的距离，
所以MN的最小值为.
故选：C
7．【正确答案】B
【详解】由，可得，
所以直线恒过点，
则，
由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可，
故的取值范围为.
故选：B
8．【正确答案】C
【详解】设，则，即，
即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.
又，所以的取值范围为.
故选：C
9．【正确答案】ABD
【详解】试验的样本空间，，，.
事件，.
对于A，A与没有公共的基本事件，A与互斥，正确；
对于B，与相互独立，B正确；
对于C，显然，与可以同时发生，C错误；
对于D，与相互独立，D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】AD
【详解】以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
对于A，由，得平面，A正确；
对于B，，得EO不与平面平行，B错误；
对于C，在上的投影向量为，C错误；
对于D，平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，
则，D正确.
故选：AD
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A，和两式作差，
可得，故A正确.
对于B，由，可得点的轨迹是以AB为直径，3为半径的圆，
圆心的坐标为，两圆的圆心距为，
半径和与半径差分别为，
由3，得两圆相交，则满足条件的点有2个，故B正确.
对于C，直线AB的方程为，即，
圆心到直线AB的距离为，
所以圆的半径的最小值为，故C错误.
对于D，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有．
设，则有，
化简得．因为，所以，
解得，则，所以，故D正确．
故选：ABD
12．【正确答案】/
【详解】他们至少有一人命中的概率是.
故
13．【正确答案】−2
【详解】因为点和点关于直线对称，
所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得.
又AB的中点坐标为，，所以，解得，
.故.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】依题意，，则，
则，的面积为，，则球的半径,
设平面ABC的法向量为，则，令，得，
则点到平面ABC的距离，球面上的点到平面距离最大值为，
所以三棱锥的体积的最大值为.
故
15．【正确答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意可知：，
且，
则
；
（2）易知，
所以
.
16．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的标准方程为，
所以，
解得，
故圆的标准方程为．
（2）由（1）可知圆心为．
①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即
由题意，圆心到直线的距离等于半径2，即，解得，
此时直线的方程为．
综上，所求直线的方程为或．
17．【正确答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得；
（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【详解】
解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，
.
由题意可得
即解得或
由于，所以，.
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.
由题意得，，，
，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.
由于和相互独立，与相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．
18．【正确答案】(1)证明见详解；
(2)；
(3).
【详解】（1）证明：因为平面，平面，
所以，又为正方形，所以两两垂直，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，
则，
所以
（2）解：由（1）可得，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为
（3）解：设.因为，所以，
则
由（1）可得.
设平面的法向量为，
则取
设直线与平面所成的角为，则
.令，则，
所以
当，即时，取得最大值，最大值为1；
当，即时，取得最小值，最小值为.
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
19．【正确答案】(1)
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）因为为圆的“伴随点”，所以四边形为正方形，
则，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故点所在曲线的方程为.
（2）由题可知.
（i）因为四边形为正方形，所以圆心的坐标为，
半径为，
故圆的方程为.
（ii）因为直线为圆与圆的公共弦所在直线，
所以直线的方程为.
令，可得，令，可得，
所以.
由题意，可知直线的方程为，
代入方程，整理得.
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
所以
.
由题意可得，解得或.
经检验，当时，不满足；
当时，满足.
故的方程为.