2024-2025学年广西南宁市高二上学期12月联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广西南宁市高二上学期12月联考数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数可导，且，则曲线在点处的切线倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（ ）
A．B．C．或D．
5．已知等差数列和的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （ ）
A．B．C．D．
8．已知数列的前n项和为Sn，且，，则的值为 （ ）
A．949B．1160C．1276D．2261
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数列的前项和为，，，且.记，则下列说法正确的是（ ）
A．为等差数列B．
C．D．
10．已知圆 直线，则以下几个命题正确的有 （ ）
A．直线恒过定点
B．圆C被轴截得的弦长为
C．直线与圆恒相交
D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为
11．如图， 圆. 圆 动圆P与圆F₁外切于点M，与圆F₂内切于点N，且P，M，N不重合，圆心P的轨迹记为曲线C则 （ ）

A．曲线C的方程为
B．∠MPN的最小值为120°
C．曲线C的一条弦AB 被点(2，1)平分， 则
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．双曲线 上的一点P到一个焦点的距离等于7，那么点P到另一个焦点的距离等于 .
13．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成新的等差数列. 若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，则该数列的第10项为 .
14．已知正项数列{}是公比不等于1的等比数列，且 若 则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
16．已知圆．
(1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程；
(2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度．
17．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．
18．已知数列的前n项和为数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)令求数列的前n项和；
(3)若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围.
19．已知抛物线的焦点关于直线的对称点为.
(1)求的方程；
(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，点为抛物线上异于的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.
(3)过点的动直线交抛物线于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
答案
1．【正确答案】A
【详解】由，可得，
则曲线在处的切线斜率为1，
由（为倾斜角），，可得.
故选：A．
2．【正确答案】D
【分析】将方程化为标准式即可.
【详解】方程化为标准式得
，则.
故选：D.
3．【正确答案】D
【详解】由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
4．【正确答案】D
【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案.
【详解】根据题意，，，，
则，，
结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.
故选：D.

5．【正确答案】B
【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案.
【详解】因为等差数列和的前项和分别为，，满足，
所以，
又，故，
故选B.
6．【正确答案】C
【详解】设，则，
由椭圆的定义得，，
由得，即，
整理得，解得或（舍去），
∴，故点在轴上.
如图，在直角中，，
在中，，
化简得，
∴椭圆的离心率.
故选：C.
7．【正确答案】A
【详解】
因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为，
设直线的方程为：，不妨设，
联立方程，整理得，则，
故，又，
则，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
故选：A.
8．【正确答案】A
【详解】由题意：，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以.
所以，
.
所以.
故选：A.
9．【正确答案】ACD
【详解】由变形得，即为等差数列，
因为，，所以，，，
所以，
故ACD正确.
故选：ACD
10．【正确答案】AC
【详解】选项A中，直线的方程整理得，
由，解得，∴直线过定点，故A正确；
选项B中，在圆方程中令，得，解得，
∴轴上的弦长为，故B错误；
选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，故C正确；
选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且，
∴，则直线方程为，即，故D错误.
故选：AC.
11．【正确答案】BCD
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
对于A项，设动圆的半径为，由条件得，
则，且不重合，
故点的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉重合的点），
则曲线的方程为：，故选项A错误；
对于B项，由图知，与互补，当取最小时，则取最大，
当点位于椭圆的上下顶点时，取最大，此时，
即，则的最小值为，故选项B正确；
对于C项，设该弦与椭圆的两个交点分别为，，
则，且点为中点，则，
因为，两式作差可得，
则，
即，可得，故选项C正确；
对于D项，
，
当且仅当时，等号成立，故选项D正确．
故选：BCD
12．【正确答案】
【详解】由，可得，所以，所以，
不妨设双曲线的左右焦点为，且，
由双曲线的定义，可得，
所以，解得或（舍去）.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】设二阶等差数列为，令，
则，，，
由题意可得：数列是以首项为1，公差为2的等差数列，
则，即，
所以
.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】由等比数列性质可得；，
又因为函数，所以，
即，所以；
令，
则；
所以，
即.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意结合正弦定理可得
，
即，
∵，∴，
∴，故．
（2）由，解得．
由余弦定理可得，
∴，
∴的周长为．
16．【正确答案】(1)x=−1或
(2)
【详解】（1）圆C的标准方程为:
因为,
所以点在圆外,
故过点A且与圆C相切的直线有2条，
①当直线的斜率不存在时,
圆心到直线的距离
所以直线与圆C相切.
(2)当直线的斜率存在时,可设直线,即
所以圆心C到直线的距离,
由题意, 解得,
此时,即,
终上所述,直线的方程为x=−1或.
（2）设因为为DE的中点,
所以,
因为点E在圆C上，
所以,
即，
即，
所以点的轨迹是以为圆心, 32 为半径的圆,
所以的轨迹的长度为.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)存在，且点为线段的中点
【详解】（1）证明：取的中点，连接、，
，分别为、的中点，所以，且，
因为四边形是矩形，所以，且，
因为为棱的中点，则且，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）解：假设在棱上存在点满足题意，如图，连接、、，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，平面，则是四棱锥的高，
设，则，，
所以，，所以，
以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
故，，，
设，
．
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，所以，.
易知平面的一个法向量为，
，
整理可得，解得，合乎题意，
所以，当点为线段的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【正确答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由得：，
两式相减得：，
所以数列是等比数列，公比为，
由于，即，
又因为，所以，
即数列是等差数列上，公差为，首项为，
所以,
即;
（2）由于，
则，
利用错位相减法，则
，
上面两式相减得：，
则，
即；
（3）由于，所以数列是递增数列，即，
因为当， 存在正整数n使得，成立，
则，由,变形得：，
因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，
所以有，
则有.
19．【正确答案】(1)抛物线的方程为
(2)当的面积小于时，有4个，
当的面积等于时，有3个，
当的面积大于时，有2个
(3)点在直线上
【详解】（1）抛物线的焦点关于直线的对称点为，
于是，解得：，
所以抛物线的方程为．
（2）由（1）知，直线的方程为，设，
由，消去得：，，
则，所以，
设与平行且与抛物线相切的直线方程为，
，消去得：，，解得，
所以切线方程为，切线与的距离，
当为切点时，的面积为，
当的面积小于时，在直线各有两个点符合题意，
当的面积等于时，在直线上方有两个点，下方只有一个点符合题意，
当的面积大于时，在直线上方有两个点符合题意，
即当的面积小于时，有4个，
当的面积等于时，有3个，
当的面积大于时，有2个．
（3）由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为，
代入抛物线方程，整理得，，
解得或．
设，则，
由，
得，
化简得，
当时，因，化简得，
与直线的斜率存在矛盾，不合题意；
当时，化简得，
即，化简得，
又，所以，化简得，
所以点在直线上．