2024-2025学年贵州省印江土家族苗族自治县高二上学期12月联考数学试题（含解析）

这是一份2024-2025学年贵州省印江土家族苗族自治县高二上学期12月联考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知全集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，其中为虚数单位，则的值为（ ）
A．B．C．3D．5
3．已知，，，则有（ ）
A．B．C．D．
4．空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
5．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的图象与直线有两个交点，，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、多选题（本大题共3小题）
9．学校分别对高一学年和高二年学开展体育水平抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（ ）
A．样本中高二学年成绩的众数是85
B．样本中高二学年成绩在80分以上的人数高于高一学年成绩在80分以上的人数
C．样本中高二学年成绩的方差高于高一学年成绩的方差
D．样本中高二学年成绩的中位数高于高一学年成绩的中位数
10．已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是
11．如图是棱长为2的正方体，点在侧面上运动，则下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥的体积不变
B．若为的中点，当平面时，长度的最小值是
C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D．当在线段上运动时，与所成角的正弦值取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为 ．
13．已知圆：与圆：的交点为、，则 ．
14．已知球是棱长为3的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体的棱上的动点，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的．
(1)求甲进入决赛的概率；
(2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率．
16．已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程.
17．如图，在直三棱柱中，，，为线段上的一点，且，为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
18．在中，角，，的对边分别为，，，，．
(1)求角；
(2)若是线段的中点，且，求；
(3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
19．如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．
(1)求证：；
(2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离．
答案
1．【正确答案】C
【详解】由题意，
所以，
故选：C
2．【正确答案】D
【详解】因为复数，
所以，
则，
故选：D
3．【正确答案】A
【详解】因为，，所以，
因为，，所以，
综上所述，.
故选：A.
4．【正确答案】B
【详解】对于选项A：若，，，则可能异面，故A错误；
对于选项B：若，，可知，
且，所以，故B正确；
对于选项C：若，，则与不一定垂直，
且，所以与不一定垂直，故C错误；
对于选项D：若，，，则可能有，故D错误；
故选：B.
5．【正确答案】D
【分析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解.
【详解】命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，
所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，
故选D.
6．【正确答案】B
【详解】因为，
所以.
故选：B.
7．【正确答案】A
【详解】设圆锥的高为，则母线长.
根据已知条件有，得，所以.
故圆锥的侧面积.
故选：A.
8．【正确答案】C
【详解】，所以的对称中心为，
直线可化为，所以直线经过定点，
所以点x1,y1和点x2,y2关于点对称，
所以
所以，
故选：C
9．【正确答案】ABD
【详解】对于A中，由高二年级学生成绩的频率分布直方图，高二年级学生成绩的众数位于区间的中点横坐标，所以众数为，所以A正确；
对于B中，由样本中高二学年成绩在80分以上的人数的频率为，
高一学年成绩在80分以上的人数的频率为，
所以高二学年成绩在80分以上的人数高于高一学年成绩在80分以上的人数，所以B正确；
对于C中，由频率分布直方图，可得高一学生成绩的平均数为：，
则高一学生成绩的方差为：

高二学生成绩的平均数为：
，
可得高二学生成绩的方差为：
，
所以样本中高二学年成绩的方差低于高一学年成绩的方差，所以C不正确；
对于D中，由高一学生成绩的频率分布直方图，
可得其中前3个矩形的面积和为，
前4个矩形的面积和为，
所以高一学生成绩的中位数位于之间，设中位数为，
则；
由高二学生成绩的频率分布直方图，
可得其中前4个矩形的面积和为，
前5个矩形的面积和为，
所以高二学生成绩的中位数位于之间，设中位数为，
则，其中，
所以样本中高二学年成绩的中位数高于高一学年成绩的中位数，所以D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】AB
【详解】由函数图象可得，由，解得，故A正确；
所以，又函数过点，即，
所以，，即，，又，所以，
∴，
对于B：当时，，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C：将函数的图象向右平移个单位得到：
，故C错误；
对于D：当时，，
令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
又，，，
故方程在上有且只有一个实数根时，则的取值范围是，故D错误．
故选：AB.
11．【正确答案】ABD
【详解】底面三角形形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，
故三棱锥的体积不变，故A正确；
取的中点，连接，在正方法体中易证平面平面，
可知，平面，故点轨迹为线段，
所以长度的最小值即为到的距离，
又，，所以边上的高为，
设到的距离为，由等面积可知：，解得：，B正确；
设在平面的射影为，点的轨迹长度即为点的轨迹长度，
连接，易知平面，，
由线面角的定义可知：，
所以
所以的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆周，
所以轨迹长度为，C错误；
以为轴建系，
则，
又点在坐标平面内，同时在正方形对角线上，可设，
则，
设与所成角为，
则，
因为，在都单调递减，且，
所以，在都单调递减，
故当时，取得最大值，当时，取得最小值0，
所以，所以，D正确.
故选：ABD.
12．【正确答案】
【详解】由两直线平行可得，
所以直线：，也即，
又直线：，
因此直线与之间的距离为.
故
13．【正确答案】
【详解】圆：，即，
则圆心，半径；
圆：，即，
则圆心，半径；
所以，所以，
所以两圆相交，则两圆公共弦方程为，
即，
则圆心到直线的距离，
所以公共弦.
故
14．【正确答案】
【详解】如下图所示：
正四面体的棱长为3，设其内切球的球心为，连接并延长交底面于点，
易知点为的中心，且平面；
连接并延长交于点，则点为的中点；且；
则，；
因为平面，平面，所以；
可得，
易知的面积为；
正四面体体积为；
设正四面体的内切球的半径为，则；
即，解得；
可知，
易知，又是球的一条直径，所以；
因此；
易知当为该正四面体的顶点时，此时，取得最大值；
当为该正四面体棱的中点时，此时，取得最小值；
因此的取值范围为.
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题知：甲和丙都答对第一题的概率为，则；
记“甲进入决赛”为事件，由题知：；
（2）记“乙进入决赛”为事件，记“丙进入决赛”为事件，
由题知：；；
则甲、乙、丙三位学生中恰有两人进入决赛的概率为
.
16．【正确答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）方法1：由题意，设圆心，半径，
圆经过点，，
圆与直线相切，
圆心到直线的距离为，
，化简得：，解得；
则圆心为，半径，
所以圆的方程为.
方法2：由题意，设圆心，半径；
圆与直线相切于点，
则，解得；
则圆心为，，
所以圆的方程为.
（2）由题意，圆心到直线的距离为，且经过点，
①若直线的斜率不存在，其方程为，
圆心到直线的距离为，显然符合题意；
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，
则此时直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，记，连接，
由题意知：四边形正方形，且为的中点，
，则，且；
又，；
又平面，平面，
所以平面；
（2）由题可知，、、两两垂直，
以为原点，以所在的直线分别为轴，建立如图所示的
空间直角坐标系，
因为，，则有，，，
则、，
设平面的一个法向量为m=x,y,z，
则，令，则，
由题易知平面的一个法向量为，
记二面角的平面角为，由图可知：为锐角，
则．
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题及正弦定理可知：，
，
又，，
，，
，.
（2）由（1）及余弦定理得：，即，①
又因为，则，
所以，②
由得：，
所以．
（3）由（1）得，则，即，
由正弦定理可知，，
所以．
因为为锐角三角形，所以，，
即，，则，即，
则，故的周长的取值范围为．
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)
【详解】（1）在图①中，由题知：四边形为正方形，且；
则在②中，，，且平面，
则平面；
又，平面，又平面，；
又，且为的中点，则；
又平面，
则平面，又平面，．
（2）由（1）知：平面，平面，
则平面平面；
由题知：二面角的平面角为，则，
则是等边三角形，则；
取的中点为，连接，则,
又平面平面，平面，
所以平面，且，
则可以建立如图所示的空间直角坐标系；
则O0,0,0，、、、，
则、、、，
设，，
则，
设平面的一个法向量为m=x,y,z，
则，则，
令，则，
记直线与平面所成角为，
则，
即，解得，
因此，则．
（3）由（2）知：，
则平面的一个法向量可以为，且，
则点到平面的距离为．