2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期第三次月考数学检测试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期第三次月考数学检测试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线倾斜角为，且过，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．1D．
3．在正方体中，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知圆，圆，则圆的位置关系为（ ）
A．内含B．外切C．内切D．相交
5．已知椭圆的焦距为2，则（ ）
A．B．3或5C．或D．5
6．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
7．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
8．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上且满足，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知空间中三点，则（ ）
A．
B．方向上的单位向量是
C．是平面的一个法向量
D．在上的投影向量的模为
10．已知圆的半径为2，则下列命题是真命题的是（ ）
A．
B．点在圆的外部
C．若直线平分圆的周长，则
D．圆与圆外切
11．已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，于，则下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆与准线相切
B．若，则
C．设，则
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，且，则 .
13．若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则 .
14．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的左，右焦点分别是，，是上一点，，，的面积为，则的标准方程为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，，，．
(1)求；
(2)若，求实数，的值．
16．在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为．
(1)求点C坐标；
(2)求直线BC的方程．
17．已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
18．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
19．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，求直线的斜率．
答案
1．【正确答案】D
【详解】因为，可得，
即，解之可得.
故选：D
2．【正确答案】B
【详解】直线的斜率为，方程为，当时，，
所以在轴上的截距为.
故选：B
3．【正确答案】B
【详解】.
故选：B
4．【正确答案】C
【详解】由圆得：，
所以圆的圆心坐标为，半径，
又由圆得：，
所以圆的圆心坐标为，半径，
则圆心距，
由于，所以，
则圆的位置关系为内切.
故选：C.
5．【正确答案】B
【详解】当椭圆焦点在轴上时,此时，，已知焦距，则.
根据，可得，解得.
当椭圆焦点在轴上时,此时，，由，
根据，可得，解得.
综上所得，的值为或，
故选：B.
6．【正确答案】B
【详解】设圆心为，，则，
可知点的轨迹为以为圆心，半径的圆，
且，即点O0,0在圆外，
所以圆心到原点的距离的最小值为.
故选：B.
7．【正确答案】A
【详解】由题设，可设双曲线为且，又在双曲线上，
所以，则双曲线的方程是.
故选：A
8．【正确答案】C
【分析】
根据题意，分析可得，由椭圆的标准方程和定义可得，，将两式联立可得的值，由三角形面积公式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，点在椭圆上，满足，，
又由椭圆的方程为，其中，
则有，，
联立可得，
则△的面积；
故选：C．
本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．
9．【正确答案】ACD
【详解】由题意：，，.
对A：因为，故A正确；
对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误；
对C：因为，，
所以成立，故是平面的一个法向量，故C正确；
对D：由，故D正确.
故选：ACD
10．【正确答案】ABD
【详解】圆的半径为2，所以，A选项正确.
所以圆的方程为，圆心为，半径为，
，所以点在圆的外部，B选项正确.
直线平分圆的周长，则直线过圆心，
即，所以C选项错误.
圆的圆心为，半径为，
与的距离为，
所以圆与圆外切，D选项正确.
故选：ABD
11．【正确答案】ACD
【详解】抛物线的准线为，即，抛物线C的方程为，焦点为，
过作于，，

以PQ为直径的圆的半径，线段PQ的中点坐标为，
则线段PQ的中点到准线的距离为，所以以PQ为直径的圆与准线l相切，A正确；
当时，，B错误；
抛物线的焦点为，，
当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以，C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，由消去x并整理得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个公共点，
当时，则，解得，
所以过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，D正确．
故选ACD.
【方法总结】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
12．【正确答案】4
【详解】因为，且，
所以，解得，
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】由得，所以准线方程为，
因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2，
即，解得，
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】由椭圆的定义可知，又，
所以，，又，
所以，所以，
所以，，
又椭圆的面积为，所以，解得，，，
所以椭圆的标准方程为．
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1），
，
；
（2）
因为，所以设，
即，故，解得.
16．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由直线：的斜率为，得直线的斜率，
直线的方程为，即，由，解得，
所以点C的坐标为.
（2）依题意，设，则边的中点在直线上，
于是，解得：，即点，
所以直线BC的方程为，即.
17．【正确答案】（1）
（2）或.
【详解】（1）设Px,y，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
有圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切的直线的方程为或.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,
则,
设平面的法向量为，
则，取，则，
由于，故，
又平面，故平面
（2）由（1）知平面的法向量，平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，则，
由于，故；
（3）由于，平面的法向量，
点到平面的距离.
19．【正确答案】(1)椭圆的方程为；抛物线的方程为
(2)
【详解】（1）由椭圆方程可知：，
因为，解得，
又因为，所以椭圆的方程为；
可知椭圆的焦点为，则抛物线的焦点为1,0，
可得，即
所以抛物线的方程为.
（2）显然点在椭圆内，可知直线与椭圆必相交，
如图所示：
设，中点为，
则，，，
因为两点在椭圆上，
可得，两式相减可得，
整理可得，
即，可得，
所以直线的斜率为.