2024-2025学年黑龙江省牡丹江市高二上学期12月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省牡丹江市高二上学期12月月考数学检测试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在数列中，若，则下列数是中的项的是（ ）
A．4B．4C．D．3
2．在等差数列中，，则的值为（ ）
A．7B．14C．21D．28
3．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ）
A．64B．14C．10D．3
4．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（ ）
A．550B．520C．450D．425
6．已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（ ）
A．B．
C．D．无最大值
7．数列中，已知对任意自然数，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（ ）
A．14B．13C．11D．7
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，的最大值为22
D．当取得最大值时，的值为11
10．已知等差数列的前项和为，且公差.则以下结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的最大值为
D．若成等比数列，则
11．已知数列的前项和为，若，，，则（ ）
A．4是数列中的项B．当最大时，的值只能取5
C．数列是等差数列D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．设数列的前项和是，如果它的前项和，那么
13．已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为 .
14．若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列中， ，
(1)求的通项公式.
(2)求数列的前项和，并求的最大值.
16．已知数列的前项和．
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列的前项和．
17．已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
18．已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
19．已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前的和.
答案
1．【正确答案】B
【详解】由，，
，可知以3为周期，依次为，显然B正确.
故选：B
2．【正确答案】B
【详解】因为在等差数列中，，
所以，
所以，
故选：B.
3．【正确答案】C
【详解】由等差数列前项和公式，可知：，
所以，
由等差数列的性质“当时，”可知：，
所以.
故选：C.
4．【正确答案】D
【详解】由得，即，
因为等比数列各项均为正数，所以，
故选：D.
5．【正确答案】D
【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列，
则，设，则，∵等比数列中，，
∴解得，，故，∴，
故选：D．
6．【正确答案】B
【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，
则，即，
可得，则，故A错误；
对于选项B：因为，则，
所以，故B正确；
对于选项D：因为，且，可知，
当时，；当时，；
可知当且仅当时，取到最大值，故D错误，
对于选项C：因为，
所以，故C错误；
故选：B.
7．【正确答案】C
【详解】因为①，
当时，②，由①②得，
又，满足，所以，
由，得到，
所以，
故选：C.
8．【正确答案】B
【详解】∵等差数列的前n项和是二次函数，且得，
∴，即,
所以n的最大值为13，
故选：B
9．【正确答案】AC
【详解】设等差数列的公差为，
则，，
，，，
A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
D选项，，
由，解得，且
所以当取得最大值时，的值为或，D选项错误.
C选项，，
由，解得，而，
所以的最大值为，C选项正确.
故选：AC
10．【正确答案】ABD
【详解】由可得，故，所以，故A正确，
由可得，故，故B正确，
若，则，且an单调递减，故的最大值为或，故C错误，
若成等比数列，则，即，解得或（舍去），D正确，
故选：ABD
11．【正确答案】AC
【详解】因为，，
所以数列an是公差为，首项是20的等差数列，
即，
对于A，，所以4是数列an中的项，故A正确；
对于B，令，即，前五项大于零，
所以当最大时，的值可以取5或6，故B错误；
对于C，，
所以，，
，
所以数列是等差数列，故C正确；
对于D，，，
所以，故D错误；
故选：AC.
12．【正确答案】
【详解】当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以.
故答案为.
13．【正确答案】.
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，且成等比数列，可得，
即，解得，
所以数列的通项公式为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】在数列中，，当时，，
则
，满足上式，
所以的通项公式是.
故
15．【正确答案】(1)
(2)，的最大值为.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，解得，
所以，
所以；
（2）由（1），，
所以当或时，取最大值，最大值为.
所以，的最大值为.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，
所以时，，
当时，适合上式，
故，
所以时，，
故数列是以为首项，以2为公差的等差数列；
（2），
当时，，
则
当时，
，
故.
17．【正确答案】（1）an=2n−1.（2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.
解得d=2.
所以an=2n−1.
（Ⅱ）设等比数列的公比为q.
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.
所以.
从而.
【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.
18．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：且，有，
当时，有，
两式相减得，
当时，由，适合，
所以.
（2）由（1）知，，
所以
.
19．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，
当时，，
，
两式相减得，
所以，
当时，上式也成立，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，
，
两式相减得，
所以.