2024-2025学年黑龙江省绥化市高二上学期期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省绥化市高二上学期期中考试数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的斜率是（ ）．
A．B．2C．D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．若圆过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1B．或C．2D．
4．已知双曲线，则（ ）
A．双曲线C的焦距为B．双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍
C．双曲线与双曲线C的渐近线相同D．直线与双曲线C有公共点
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（ ）
A．0B．1C．2D．
6．已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为（ ）
A．B．C．8D．
7．已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)，点P在双曲线的右支上，且满足，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．(2，+∞)B．(1，2)C．(1，)D．(2，)
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．直线必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
10．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D．对于任意点，都是钝角三角形
11．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左，右焦点分别为，.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的标准方程为
B．若点在椭圆上，则的最大值为
C．若点在椭圆上，的最大值为
D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点
三、填空题（本大题共3小题）
12．圆上的点到直线的最大距离是 ．
13．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 ．
14．如图，两个正方形，的边长都是8，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的四等分点，N为对角线DF的中点，则线段 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的三个顶点，，，求：
(1)边上的高所在直线的方程；
(2)的垂直平分线所在直线的方程．
16．已知圆
(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．
17．已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若与直线平行的直线交椭圆于，两点，当时，求的面积.
18．如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD．
(1)求证：平面ABCD；
(2)若，点在棱PD上，且二面角的大小为．
①求证：；
②设是直线CD中点，求直线MQ与平面MAC所成角的正弦值．
19．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.
（i）试探究与的比值是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求的取值范围.
答案
1．【正确答案】A
将直线化成斜截式即可求解.
【详解】解：，
即，
故直线的斜率为.
故选：A.
2．【正确答案】D
【详解】由得，故抛物线的准线方程为.
故选D.
3．【正确答案】C
【分析】把代入圆方程计算，注意方程要表示圆．
【详解】表示圆，
，
．又圆过原点，，或（舍去），．
故选：C．
4．【正确答案】C
【详解】对A，由双曲线方程可得，则焦距为，故A错误；
对B，由双曲线方程可得，，故实轴长为2，虚轴长为，故虚轴长是实轴长的倍，故B错误.
对C，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为，故C正确；
对D，将代入双曲线方程可得，方程无解，故没有公共点，故D错误.
故选：C.
5．【正确答案】A
【详解】由题意可得：，
则，
设，
由题意可得：，解得，
代入方程可得，则，
又因为，
则.
故选：A.
6．【正确答案】A
【详解】因为抛物线的焦点为，
双曲线E：其中一条渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离，解得，
所以抛物线的标准方程为，
因为直线过焦点且倾斜角为，
所以直线方程为，
所以抛物线标准方程与直线方程联立消，得，
由韦达定理得，，
所以弦长.
故选：A
7．【正确答案】B
【分析】由求出点的轨迹，由直线与此轨迹存在公共点求出的范围作答.
【详解】依题意，，设点，则，
由，得，即，由已知得，
而点既在直线上，又在圆上，因此直线与圆有公共点，
又圆的圆心为原点，半径为，于是，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：B
8．【正确答案】D
【详解】，
，
，，
，
解得，
.
故选：D
9．【正确答案】CD
【分析】利用截距的定义可判断A选项；取点且垂直于轴的直线，可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用两直线平行求出的值，结合平行线间的距离公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，直线在轴上的截距为，A错；
对于B选项，过点且垂直于轴的直线方程为，不能用方程表示，B错；
对于C选项，将直线方程变形为，
由可得，故直线过定点，C对；
对于D选项，若直线与直线平行，则，解得，
直线方程可化为，
故两平行直线间的距离为，D对.
故选：CD.
10．【正确答案】BC
【分析】根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题知，在正方体中，是棱上的动点，
建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系．

所以，，，设，其中，
所以，，
当，即，所以，显然方程组无解，
所以不存在使得，即不存在点，使得，故A项错误；
当时，解得，故B项正确；
因为，其中，
所以点到的距离为
，故C项正确；
因为，，其中，
所以，
所以三角形为直角三角形或钝角三角形，故D项错误．
故选：BC．
11．【正确答案】ACD
【详解】一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，如下图所示：
所以可得即
又椭圆的离心率为，可得，
所以，
故椭圆方程为，所以正确；
由椭圆的定义知，
不妨设，
，
因为，
所以，
当且仅当时等号成立，此时最大为钝角设为，
则，故当时，
的最大值为，故错误；
易得,设点，
则
当时，，故正确；
易知椭圆在点处的切线方程为，
证明如下：当切线斜率存在时，
设直线与相切与点，
联立，
所以，
整理可得，
又易知，即，
所以
整理可得①；
又切点在椭圆上，即，
整理可得②，
联立①②，可得
即，
所以切线方程为，
化简得，
经检验，直线斜率不存在时也符合上式，
即椭圆在点处的切线方程为，
设，
所以椭圆在点处的切线的方程为，
在点处的切线的方程为，
两线相交于点，所以可得
，
即点满足方程，
所以直线的方程为，
整理可得，
令，
故直线的方程过定点，故正确，

故选
12．【正确答案】
【详解】将圆化为标准方程可得，
所以圆的圆心为，半径，
根据点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为，
所以可得最大距离为.
故
13．【正确答案】/
【详解】设直线与椭圆相交于，
由，
直线的斜率，
由，得，
整理得，
所以，
故椭圆的离心率为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】由题意可知，，，
所以为的平面角，
所以，.
因为，
所以，
所以，.
因为，所以.
所以，，
所以，
.
因为，所以，
所以，.
故答案为.
15．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由斜率公式易知，直线的斜率．
又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：．
（2），．又线段的中点为，
所在直线的方程为，
整理得所求的直线方程为：．
16．【正确答案】(1)，
(2)或
【详解】（1）解：由圆，可得原心，半径为，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，
此时直线的方程为，
综上可得，所求直线的方程为或.
（2）解：由圆的半径为3，圆心在直线上，
设，且圆的圆心，半径为，
由两圆相外切，可得，即，
解得或，所以或，
所以所求圆的方程为或.
17．【正确答案】(1) (2)
【分析】
（1）布列方程组求得椭圆的标准方程；（2）直线方程为，．将直线的方程代入椭圆的方程并整理得，利用韦达定理及可得，从而求得.
【详解】
（Ⅰ）设椭圆的方程为，
由题意可得解得
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）直线的方程为，
设直线方程为，．
将直线的方程代入椭圆的方程并整理得，
由，得，
，
由得，，
，
，
，
，
得．
又，
到直线的距离．
所以．
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析 ；②
【详解】（1）在四棱锥中，因为底面ABCD为矩形，所以．
因为平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，
所以平面
因为平面PAD，所以，
因为平面ABCD，且，
所以平面ABCD．
（2）①以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，所以，
因为点在棱PD上，所以设（或显然不满足题设），
因为，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
则，即，取，则，
所以
又是平面ABC的一个法向量，
所以，
因为二面角的大小为，所以，
即，解得
此时，，
又，所以，
所以，即
②因为是直线CD的中点，则，
由①可得，所以，平面MAC的一个法向量．
设直线MQ与平面MAC所成角为，
则，
即直线MQ与平面MAC所成角的正弦值为．
19．【正确答案】(1).
(2)（i）为定值，；（ii）.
【详解】（1）由题意可设双曲线，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）设，直线的方程为，
由，消元得，
则，且，
，

或由韦达定理可得，即,
，
即与的比值为定值.
（ii）方法一：设直线，
代入双曲线方程并整理得，
由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.
由韦达定理得，解得，
因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，
即，同理可得，
由（i）中结论可知，
得，所以，
故，
设，其图象对称轴为，
则在上单调递减，故，
故的取值范围为；
方法二：由于双曲线的渐近线方程为，
如图，过点作两渐近线的平行线，由于点A在双曲线的右支上，
所以直线介于直线之间（含轴，不含直线），

所以.
同理，过点作两渐近线的平行线，
由于点在双曲线的右支上，
所以直线介于直线之间（不含轴，不含直线），

所以，
由（i）中结论可知，
得，所以,
故.