2024-2025学年江苏省常州市高二上学期期中数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省常州市高二上学期期中数学质量检测试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．（5分）直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（5分）抛物线y＝﹣4x2的焦点坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．D．
3．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l：mx+y﹣m﹣1＝0与线段AB相交，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣4或m≥B．m≤﹣或m≥4
C．﹣4≤m≤D．﹣≤m≤4
4．（5分）已知M（2，2）是直线l被椭圆x2+4y2＝36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．4x+y﹣10＝0B．x+4y﹣10＝0C．x+4y﹣8＝0D．4x﹣y﹣6＝0
5．（5分）已知点P在抛物线M：y2＝4x上，过点P作圆C：（x﹣2）2+y2＝1的切线，切点为A，若点P到M的准线的距离为5，则切线长PA为（ ）
A．4B．C．6D．
6．（5分）若圆x2+y2＝1上总存在两点到点（a，2﹣a）的距离等于3，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知曲线C：（x2+y2）2＝a（x2﹣y2）（a＞0）是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C的图象不关于原点对称
B．a＝9时，曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．若a＝9时，直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
D．若a＝4时，直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]
8．（5分）设双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，且满足，|FB|＜|FA|≤3|FB|，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知直线l：（2m+1）x+（1﹣m）y﹣2m﹣4＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l过定点（2，2）
B．原点O到直线l距离的最大值为
C．若点A（﹣1，0），B（1，0）到直线l的距离相等，则m＝﹣2
D．若直线l不经过第四象限，则
（多选）10．（6分）已知m＞0，n＜0，C（x，y）是曲线上的任意一点，若|x﹣y+m|+|x﹣y+n|的值与x，y无关，则（ ）
A．m的取值范围为
B．m的取值范围为
C．n的取值范围为（﹣∞，﹣6]
D．n的取值范围为
（多选）11．（6分）已知A（0，4），B（﹣3，0），C（3，0）点P满足|PB|﹣|PC|＝4．则（ ）
A．点P的轨迹为双曲线
B．直线x+y＝0上存在满足题意的点P
C．满足的点P共有0个
D．△PAB的周长的取值范围是[14，+∞）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）直线l过点（1，1）且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ．
13．（5分）已知直线与圆O：x2+y2＝4交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为 ．
14．（5分）已知曲线C：|x|+|y|＝m（m＞0）．
（1）若m＝1，则由曲线C围成的图形的面积是 ．
（2）曲线C与椭圆有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（15分）（1）已知两直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0．求过两直线的交点，且平行于直线3x+4y﹣5＝0的直线方程；
（2）已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围．
①曲线C是椭圆；
②曲线C是双曲线．
16．（15分）在平面直角坐标系中，已知圆O：x2+y2＝8．点A，B是直线x﹣y+m＝0（m＞0）与圆O的两个公共点，点C在圆O上．
（1）若△ABC为正三角形，求直线AB的方程；
（2）在（1）的条件下，若直线x﹣y+n＝0上存在点P满足，求实数n的取值范围．
17．（15分）已知双曲线经过点（2，﹣3），一条渐近线的斜率为，直线l交双曲线于A，B两点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）若动直线l经过双曲线的右焦点F2，点M（﹣1，0），求证：以AB为直径的圆经过点M．
18．（15分）已知A（0，3），B（0，5），C（1，4），D（﹣1，4），
（1）求证：A，B，C，D四点共圆；
（2）A，B，C，D所在圆记为⊙M，点P是x﹣y＝0上一点，从点P向⊙M作切线PE，PF，切点为E，F．
①若，求点P坐标并求此时切线PE，PF的直线方程；
②求证：经过E，P，M三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标．
19．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，△PAB面积的最大值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2，且PQ过定点，
①设△PQB和△PQA的面积分别为S1、S2，求|S1﹣S2|的最大值；
②求证：为定值，并求出该定值．
答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．（5分）直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【正确答案】C
【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
解：因为直线x+y﹣1＝0的斜率为：﹣，
直线的倾斜角为：α．
所以tanα＝﹣，
α＝120°
故选：C．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
2．（5分）抛物线y＝﹣4x2的焦点坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．D．
【正确答案】D
【分析】将抛物线y＝﹣4x2的方程标准化，即可求得其焦点坐标．
解：∵抛物线的方程为y＝﹣4x2，
∴其标准方程为x2＝﹣y，
∴其焦点坐标为F（0，﹣）．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，属于基础题．
3．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l：mx+y﹣m﹣1＝0与线段AB相交，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣4或m≥B．m≤﹣或m≥4
C．﹣4≤m≤D．﹣≤m≤4
【正确答案】B
【分析】根据题意，直线l：mx+y﹣m﹣1＝0恒过定点（1，1）且直线斜率k＝﹣m，然后结合直线的斜率公式及直线倾斜角与斜率变化关系可求．
解：直线l：mx+y﹣m﹣1＝0过定点P（1，1），
如图，∵kPA＝＝﹣4，kPB＝＝，
∴直线l：mx+y﹣m﹣1＝0与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是k≥或k≤﹣4．
故﹣m≥或﹣m≤﹣4．
解得m或m≥4．
故选：B．
【点评】本题考查两直线相交于斜率的关系，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
4．（5分）已知M（2，2）是直线l被椭圆x2+4y2＝36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．4x+y﹣10＝0B．x+4y﹣10＝0C．x+4y﹣8＝0D．4x﹣y﹣6＝0
【正确答案】B
【分析】设出直线l方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用k表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于k的方程可得．
解：当直线l斜率不存在时，
由对称性可知，此时直线l被椭圆x2+4y2＝36所截得的线段AB的中点在x轴上，
而已知M（2，2）是线段AB的中点，不在x轴上，不满足题意．
故直线斜率存在，可设斜率为k，
则直线的方程为y﹣2＝k（x﹣2），
即y＝k（x﹣2）+2，
代入椭圆的方程化简得（1+4k2）x2+（16k﹣16k2）x+16k2﹣32k﹣20＝0，
Δ＝（16k﹣16k2）﹣4（1+4k2）（16k2﹣32k﹣20）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
所以，
解得，满足Δ＞0，
故直线l方程为，
即x+4y﹣10＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题．
5．（5分）已知点P在抛物线M：y2＝4x上，过点P作圆C：（x﹣2）2+y2＝1的切线，切点为A，若点P到M的准线的距离为5，则切线长PA为（ ）
A．4B．C．6D．
【正确答案】D
【分析】由题意求出点P的坐标，利用两点间距离公式和勾股定理求解即可．
解：抛物线M：y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，
不妨设点P在第一象限，设P（x0，y0），
则x0＞0，y0＞0，
∵点P到M的准线的距离为5，
∴x0+1＝5，
即x0＝4，
又，
∴P（4，4），
∵C（2，0），
则，
∵|CA|＝1，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了两点间距离公式和勾股定理，属中档题．
6．（5分）若圆x2+y2＝1上总存在两点到点（a，2﹣a）的距离等于3，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】A
【分析】将问题转化为圆x2+y2＝1与以（a，2﹣a）为圆心，3为半径的圆有2个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可．
解：因为圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，2﹣a）的距离为3，
所以圆x2+y2＝1与以（a，2﹣a）为圆心，3为半径的圆有2个公共点，
则圆x2+y2＝1与圆（x﹣a）2+（y﹣2+a）2＝9相交，
圆x2+y2＝1，圆心为（0，0），半径为1，
圆（x﹣a）2+（y﹣2+a）2＝9，圆心为（a，2﹣a），半径为3，
所以，即，
解得：或，
所以实数a的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于中档题．
7．（5分）已知曲线C：（x2+y2）2＝a（x2﹣y2）（a＞0）是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C的图象不关于原点对称
B．a＝9时，曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．若a＝9时，直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
D．若a＝4时，直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]
【正确答案】C
【分析】由（x0，y0）在曲线C，通过判断点（﹣x0，y0），（x0，﹣y0），（﹣x0，﹣y0）是否是方程的解判断曲线C是否关于坐标轴，原点的对称性判断A，解出整数解从而判断B，通过解方程确定方程解的个数判断CD．
解：对于选项A，C的方程是（x2+y2）2＝a（x2﹣y2），其中a＞0，
令点P（x0，y0）是曲线C上任意一点，所以，
可变形为，因此点（﹣x0，﹣y0）也在曲线C上，
又因为点（x0，y0）与（﹣x0，﹣y0）关于原点对称，
因此C上任意一点关于原点的对称点也在曲线C上，因此曲线C关于原点对称．所以选项A错误；
对于选项B，当a＝9时，曲线C方程为（x2+y2）2＝9（x2﹣y2），令y＝0，那么（x2）2＝9x2，
解得x＝±3或x＝0．
令x＝±2，则（4+y2）2＝9（4﹣y2），解得，
令x＝±1，则（1+y2）2＝9（1﹣y2），解得，
所以曲线C经过的整点只能是（0，0），（3，0），（﹣3，0），所以选项B错误；
对于选项C，直线y＝kx与曲线C显然有一个交点（0，0），下面考虑x≠0的情形：
根据，可得（1+k2）2x4＝9（1﹣k2）x2，
如果k2＝1，则x4＝0，x＝0（舍去），
若k2＜1，则x＝0（舍去）或，
若k2＞1，方程无实数解，
综上所述，直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则k2≥1，即k≤﹣1或k≥1，所以选项C正确；
对于D选项，同C选项解法相同，k≤﹣1或k≥1，所以选项D错误，
故选：C．
【点评】本题考查曲线与方程综合应用，属于中档题．
8．（5分）设双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，且满足，|FB|＜|FA|≤3|FB|，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【分析】设双曲线的左焦点F′，由双曲线的对称性结合，得到四边形AFBF1为矩形，设|AF1|＝n，|AF|＝m，在直角△ABF中，利用双曲线的定义和勾股定理化简得到，再根据|FB|＜|FA|≤3|FB|，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解．
解：双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，设双曲线的左焦点F1，如图所示：
由双曲线的对称性可知，四边形AFBF1为平行四边形，
又，则FA⊥FB，∴平行四边形AFBF1为矩形，故|AB|＝|FF1|＝2c，
设|AF1|＝n，|AF|＝m，则|BF|＝n，
在Rt△ABF中，m﹣n＝2a，m2+n2＝4c2，
∴2mn＝4c2﹣4a2＝4b2，则mn＝2b2，
∴，
令，得，
又由|FB|＜|FA|≤3|FB|，得，
∵对勾函数在（1，3]上单调递增，∴，
∴，即，
则，故，
∴，
∴双曲线离心率的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，解决的关键是利用双曲线的对称性证得四边形AFBF1为矩形，再利用双曲线的定义与勾股定理，结合条件得到关于a，b，c的齐次不等式，从而得解．是中档题．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知直线l：（2m+1）x+（1﹣m）y﹣2m﹣4＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l过定点（2，2）
B．原点O到直线l距离的最大值为
C．若点A（﹣1，0），B（1，0）到直线l的距离相等，则m＝﹣2
D．若直线l不经过第四象限，则
【正确答案】ABD
【分析】A选项，变形后，得到方程组，求出定点坐标，判断出A的真假；B选项，直线l过定点E（2，2），故最大值为，判断出B的真假；C选项，分A，B在直线l的同侧和异侧两种情况讨论，可得m的值，判断出C的真假；D选项，数形结合得到0≤kl≤1时满足要求，从而得到不等式，求出答案，判断出D的真假．
解：A选项，直线l：（2m+1）x+（1﹣m）y﹣2m﹣4＝0整理可得：m（2x﹣y﹣2）+x+y﹣4＝0，
令，解得，
故直线l过定点（2，2），所以A正确；
B选项，由A选项知，直线l过定点E（2，2），
当OE⊥l时，原点O到直线l距离的最大，且最大值为，
所以B正确；
C选项，点A（﹣1，0），B（1，0）到直线l的距离相等，
当A，B在直线的同侧时，则直线l的斜率为﹣＝0，可得m＝﹣，
当A，B在直线的异侧时，则直线过AB的中点时，即直线l过原点，
所以﹣2m﹣4＝0，可得m＝﹣2，
综上所述：m＝﹣或m＝﹣2，所以C错误；
D选项，直线l：（2m+1）x+（1﹣m）y﹣2m﹣4＝0不经过第四象限，
当2m+1＝0时，l：y＝2满足要求，此时斜率为0，
当l：（2m+1）x+（1﹣m）y﹣2m﹣4＝0经过原点时，﹣2m﹣4＝0，解得m＝﹣2，
此时l：﹣x+y＝0，斜率为1，
数形结合得到，当0≤kl≤1时，满足要求，即0≤＜1，
解得，所以D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查直线恒过定点的求法及点到过定点的直线的距离最大时参数的值的求法，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知m＞0，n＜0，C（x，y）是曲线上的任意一点，若|x﹣y+m|+|x﹣y+n|的值与x，y无关，则（ ）
A．m的取值范围为
B．m的取值范围为
C．n的取值范围为（﹣∞，﹣6]
D．n的取值范围为
【正确答案】AC
【分析】由方程知曲线为半圆，再由题意转化为半圆夹在两平行直线之间，求出相切与过端点的情况即可得解．
解：
根据，可得y≥0，所以（x﹣3）2+y2＝9（y≥0），
因此表示半径r＝3，以M（3，0）为圆心的半圆（x轴及以上部分）．
如果|x﹣y+m|+|x﹣y+n|的值与x，y无关，
那么该曲线在两平行直线l1：x﹣y+m＝0与l2：x﹣y+n＝0之间．
当l1与该曲线相切时，可得，所以，
所以m的取值范围为．
当l2经过点（6，0）时，可得6+n＝0，所以n＝﹣6，所以n的取值范围为（﹣∞，﹣6]．
故选：AC．
【点评】本题考查曲线与方程综合应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知A（0，4），B（﹣3，0），C（3，0）点P满足|PB|﹣|PC|＝4．则（ ）
A．点P的轨迹为双曲线
B．直线x+y＝0上存在满足题意的点P
C．满足的点P共有0个
D．△PAB的周长的取值范围是[14，+∞）
【正确答案】BCD
【分析】由|PB|﹣|PC|＝4＜|BC|，B（﹣3，0），C（3，0），则再根据题干已知点P满足|PB|﹣|PC|＝4，可得点P的轨迹方程是双曲线的右支判断A，联立方程组计算判断B，根据点到渐近线的距离判断C，转化△PAB的周长为|AB|+|AP|+|PB|＝5+|AP|+|PB|，再结合三点共线判断D．
解：由于C（3，0），B（﹣3，0），|PB|﹣|PC|＝4＜|BC|，
因此P的轨迹是实轴长为4，以B，C为焦点的双曲线的右支，
因此2c＝6，2a＝4，所以c＝3，b2＝5，a＝2，
因此点P的轨迹方程为，双曲线的右支，所以选项A错误；
联立双曲线和直线x+y＝0，解得或（舍去），
因此x+y＝0上存在满足题意的点P，所以选项B正确；
的渐近线方程为，
所以点A（0，4）到渐近线的距离，
因此满足的点P共有0个，所以选项C正确；
由于点B（﹣3，0）即为左焦点F2（﹣3，0），
又因为，
由于|PB|﹣|PC|＝4，因此|PB|＝4+|PC|，
因此三角形PAB的周长为|AB|+|AP|+|PB|＝5+|AP|+|PB|
＝5+|AP|+|PC|+4≥9+|AC|＝9+5＝14，
当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，
因此三角形PAB的周长的取值范围是[14，+∞），所以选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查轨迹方程问题，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）直线l过点（1，1）且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 x﹣y＝0或x+y﹣2＝0 ．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】分类讨论截距为0和不为0两种情况，根据截距式直线方程，即可求解．
解：当直线l过原点时，可设直线l的方程为y＝kx，
直线l经过点（1，1）．
则k＝1，
故直线l的方程为y＝x，
当直线l不过原点时，可设直线l的方程为，
直线l经过点（1，1）．
则，解得b＝2，
故直线l的方程为x+y﹣2＝0，
故直线l的方程为x﹣y＝0或x+y﹣2＝0．
故x﹣y＝0或x+y﹣2＝0．
【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
13．（5分）已知直线与圆O：x2+y2＝4交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为 ．
【正确答案】．
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而得到圆心到直线l的距离小于等于|OP|，得到∠AOB的范围，即可得到结果．
解：直线可化为，直线过点，
因为，所以点P在圆内，且|OP|＝1，
如图：
过点O作OC⊥AB于点C，则|OC|≤|OP|，
设∠AOB＝θ，则，
在Rt△OCB中，，
故，120°≤θ＜180°，，
所以△OAB的面积为，面积最大值为．
法（ii）设O到直线的距离d，当OP⊥l时，dmax＝|OP|＝1，
则d＝≤|OP|＝1，
弦长|AB|＝2＝2，
所以S△OAB＝•|AB|•d＝•2d＝＝，
当d2＝1时，（S△AOB）max＝＝．
故．
【点评】本题考查直线与圆相交的弦长的求法及三角形的面积公式的应用，属于中档题．
14．（5分）已知曲线C：|x|+|y|＝m（m＞0）．
（1）若m＝1，则由曲线C围成的图形的面积是 2 ．
（2）曲线C与椭圆有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 （1，2）∪{} ．
【正确答案】（1）2．
（2）（1，2）∪{}．
【分析】（1）若m＝1，曲线C：|x|+|y|＝1，表示对角线长为2的正方形，可得曲线C围成的图形的面积是2；
（2）椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，1＜m＜2时，曲线C与椭圆有四个不同的交点；再考虑相切时的情形，即可得出结论．
解：（1）如果m＝1，曲线C方程为|x|+|y|＝1，易知曲线C关于x轴，y轴对称，
作出当x＞0，y＞0时函数x+y﹣1＝0的图象，根据对称性得到曲线C的图象如下图：
所以曲线C表示对角线长为2的正方形，
所以曲线C围成的图形的面积是2；
（2）根据第一问可知，曲线C方程为|x|+|y|＝m（m＞0），该方程表示对角线长为2m的正方形，
由于椭圆的短半轴长为1，长半轴长为2，
因此当1＜m＜2时，曲线C与椭圆有四个不同的交点；
当x＞0，y＞0时，联立椭圆方程和x+y﹣m＝0，可得，
所以5x2﹣8mx+4m2﹣4＝0，
当根的判别式Δ＝64m2﹣4×5×（4m2﹣4）＝0时，直线x+y﹣m＝0与椭圆相切，
此时，因为m＞0，所以，
根据曲线C的对称性知，此时曲线C与椭圆有四个不同的交点，
所以1＜m＜2或．
故2；（1，2）∪{}．
【点评】本题考查曲线与方程综合应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（15分）（1）已知两直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0．求过两直线的交点，且平行于直线3x+4y﹣5＝0的直线方程；
（2）已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围．
①曲线C是椭圆；
②曲线C是双曲线．
【正确答案】（1）3x+4y﹣11＝0；
（2）①（4，6）∪（6，8）；②（﹣∞，4）∪（8，+∞）．
【分析】（1）设所求直线方程为3x+4y+C＝0（C≠﹣5），求出两条直线的交点坐标，代入即可；
（2）根据椭圆的标准方程可得；根据双曲线的标准方程可得（8﹣m）（4﹣m）＞0，求解即可．
解：（1）设与直线3x+4y﹣5＝0平行的直线方程为3x+4y+C＝0（C≠﹣5），
联立，得，即两条直线的交点坐标为（1，2），
将（1，2）代入得3+8+C＝0，即C＝﹣11，
所以所求直线方程为3x+4y﹣11＝0；
（2）①曲线C的方程为，
曲线C是椭圆，∴，
∴，解得4＜m＜8且m≠6，
故实数m的取值范围为（4，6）∪（6，8）；
②∵曲线C的方程为，曲线C是双曲线，
∴（8﹣m）（4﹣m）＞0，解得m＜4或m＞8，
故实数m的取值范围为（﹣∞，4）∪（8，+∞）．
【点评】本题考查直线系方程的应用，圆锥曲线的综合应用，是中档题．
16．（15分）在平面直角坐标系中，已知圆O：x2+y2＝8．点A，B是直线x﹣y+m＝0（m＞0）与圆O的两个公共点，点C在圆O上．
（1）若△ABC为正三角形，求直线AB的方程；
（2）在（1）的条件下，若直线x﹣y+n＝0上存在点P满足，求实数n的取值范围．
【正确答案】（1）x﹣y+2＝0；
（2）[，]．
【分析】（1）根据圆O是正△ABC的外接圆，可知点O到直线AB的距离等于，由此列式算出m的值，可得直线AB的方程；
（2）根据，可得点P在以AB为直径的圆上，然后求出以AB为直径的圆的方程，根据直线x﹣y+n＝0与圆有公共点建立关于n的不等式，解出n的取值范围．
解：（1）圆O：x2+y2＝8的圆心为O（0，0），半径r＝，
若△ABC是正三角形，O为△ABC的外心，则O到AB的距离d＝＝，
可得，解得m＝±2，结合m＞0，得m＝2，所以直线AB的方程为x﹣y+2＝0；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设线段AB的中点为D（x0，y0），
由，消去y，可得x2+2x﹣2＝0，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣2．
可得，
所以x0＝＝﹣1，可得y0＝x0+2＝1，
以AB为直径的圆，圆心D（﹣1，1），半径．
若，则∠APB＝90°，可知点P在以AB为直径的圆上．
因为点P直线x﹣y+n＝0上，所以直线x﹣y+n＝0与圆D有公共点，
圆心D到直线x﹣y+n＝0的距离d≤r，
即，解得，实数n的取值范围是[，]．
【点评】本题考查圆的方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系及其应用，属于中档题．
17．（15分）已知双曲线经过点（2，﹣3），一条渐近线的斜率为，直线l交双曲线于A，B两点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）若动直线l经过双曲线的右焦点F2，点M（﹣1，0），求证：以AB为直径的圆经过点M．
【正确答案】（1）；（2）证明过程请见解答．
【分析】（1）根据题意可得关于a和b的方程组，解之即可；
（2）分直线l的斜率是否存在两种情况进行讨论，结合韦达定理与向量数量积的运算法则，证明即可．
（1）解：由题意知，，解得，
所以双曲线C的方程为．
（2）证明：由（1）得，F2（2，0），
若直线l的斜率不存在，则其方程为x＝2，
将x＝2代入双曲线C方程，有，解得y＝±3，
此时A（2，3），B（2，﹣3），F2是AB中点，
由于|F2A|＝|F2B|＝|F2M|，故以AB为直径的圆经过点M；
若直线l的斜率存在，设其方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）＝0，
所以Δ＝16k4+4（3﹣k2）（4k2+3）＝36（k2+1）＞0，当时，该方程有两解，
所以，，
所以＝，
＝
＝（1+k2）•+（1﹣2k2）•+1+4k2＝＝0，
所以，即以AB为直径的圆经过点M，
综上所述，以AB为直径的圆经过点M．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合，熟练掌握双曲线的几何性质，平面向量的坐标运算法则是解题的关键，考查转化化归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（15分）已知A（0，3），B（0，5），C（1，4），D（﹣1，4），
（1）求证：A，B，C，D四点共圆；
（2）A，B，C，D所在圆记为⊙M，点P是x﹣y＝0上一点，从点P向⊙M作切线PE，PF，切点为E，F．
①若，求点P坐标并求此时切线PE，PF的直线方程；
②求证：经过E，P，M三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标．
【正确答案】（1）证明见解析．
（2）①（4﹣）x+3y﹣14+2＝0或（4+）x+3y﹣14﹣2＝0．
②证明见解析，定点坐标为（2，4）和（4，2）．
【分析】（1）由A，B，C，D四点坐标得圆为M（0，4），半径为1，得证四点共圆；
（2）①由对称性，利用余弦的二倍角公式求得sin∠EPM，从而求得MP，再设P（a，a），求出P点坐标，设切线方程后，由圆心到切线距离等于半径求得切线斜率，得切线方程；
②由切线性质得E，P，F，M四点共圆，MP为直径，设P（a，a）后求得圆的方程，化为一般式，由这个方程是关于a恒等式求得定点坐标．
（1）证明：因为A（0，3），B（0，5），C（1，4），D（﹣1，4），
设点M（a，b）到A，B，C的坐标相等，
可得点M在AB的中垂线上，即点M在直线y＝4上，即b＝4，即点M（a，4），
可得|MB|＝|MC|，
即|5﹣4|＝，可得a＝0或a＝2，
即M（0，4）或（2，4），
由题意可得|MD|＝|MA|，D（﹣1，4），
可得M（0，4），
即点M（0，4）到A，B，C，D四个点的距离相等，均为1，
所以A，B，C，D四点都在圆x2+（y﹣4）2＝1上，
即A，B，C，D四点共圆；
（2）解：①，又∠EPM＝∠FPM，
所以，（负值舍去），
ME⊥PE，，即，所以，
设P（a，a），则，解得a＝2，
所以P（2，2），显然切线斜率存在，
设切线方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，
则，解得k＝或，
所以切线方程为y﹣2＝（x﹣2）或y﹣2＝（x﹣2），
即（4﹣）x+3y﹣14+2＝0或（4+）x+3y﹣14﹣2＝0．
②证明：因为，所以M，E，P，F四点共圆，MP为圆直径，
设P（a，a），则圆心为MP的中点，半径为，
所以圆方程为，
化为一般式方程为x2+y2﹣ax﹣（a+4）y+4a＝0，
整理为关于a的方程为：x2+y2﹣4y﹣a（x+y﹣4）＝0，
由，得或，定点为（2，4）和（4，2），
所以经过E，P，M三点的圆必经过定点，定点坐标为（2，4）和（4，2）．
【点评】本题考查圆的方程的求法及圆的切线方程的求法，属于中档题．
19．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，△PAB面积的最大值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2，且PQ过定点，
①设△PQB和△PQA的面积分别为S1、S2，求|S1﹣S2|的最大值；
②求证：为定值，并求出该定值．
【正确答案】（1）；（2）①；②证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；
（2）①分析可知直线PQ斜率不为零，设直线PQ的方程为，设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），将直线PQ的方程的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，写出|S1﹣S2|关于t的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得|S1﹣S2|的最大值；②利用韦达定理，化简，可得定值．
解：（1）当点P为椭圆C短轴顶点时，△PAB的面积取最大值，
且最大值为，
由题意可得，
解得，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）①设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），
若直线PQ的斜率为零，则点P、Q关于y轴对称，不合乎题意．
设直线PQ的方程为，由于直线PQ不过椭圆C的左、右顶点，
联立，
可得，
Δ＝t2+15（t2+4）＝16t2+60＞0，
由韦达定理可得，，
所以
＝，
因为t2≥0，则，
因为函数在上单调递增，
故，
所以，当且仅当t＝0时，等号成立，
因此，|S1﹣S2|的最大值为．
②由，
所以，
＝，
即为定值．
【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查运算能力，属于中档题．