2024-2025学年重庆市高二上学期第三次（12月）数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市高二上学期第三次（12月）数学检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ）
A．B．4C．6或D．4或
2．如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
3．经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知两直线，若，则与间的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示，则
①以线段为直径的圆与准线相切；
②以为直径的圆经过焦点；
③，，（其中点为坐标原点）三点共线；
④若已知点的横坐标为，且已知点，则直线与该抛物线相切；
则以上说法中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．平面
C．异面直线AE与所成的角的余弦值为D．点到平面ACE的距离为
10．已知点，曲线是满足的点的轨迹，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线与圆有公共点，则
B．若，则两曲线交点所在直线的方程为
C．若，则的取值范围为
D．若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得
11．在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点的轨迹是双曲线
B．若，则点的轨迹是椭圆
C．若，则点的轨迹是一条直线
D．若，则点的轨迹是圆
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点到直线的距离d的取值范围为 .
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ．
14．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，则试用向量表示向量 ； ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在棱长为2的平行六面体中，.

(1)求线段的长度；
(2)求直线与直线的夹角的余弦值.
16．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.
(1)求该抛物线的方程；
(2)为坐标原点，求的面积.
17．在平面直角坐标系xOy中，已知，满足的点形成的曲线记为E.
(1)求曲线E的方程；
(2)Q是直线上的动点，过点Q作曲线E的切线，切点分别为B，C.求切线长的最小值，并求出此时直线的方程.
18．若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆.
(1)若圆是集合的包络圆.
（i）求a，b满足的关系式;
（ii）若，求的取值范围;
(2)若集合的包络圆为C，P是上任意一点，判断轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由.
19．定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．

(1)求直线的方程；
(2)已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．
（i）求证：线段被直线平分；
（ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．
答案
1．【正确答案】C
【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图：
因为，且，所以，
因为，，设，所以，
因为，且，所以，，则，
由图可知，则，
因为异面直线所成的角为，且，所以或，
当时，在中，由余弦定理可得，则，
在中，，解得；
当时，在中，由余弦定理可得，则，
在中，，解得.
故选：C.
2．【正确答案】A
【详解】因为底面平面，
所以,
因为四边形为正方形，所以，
所以两两垂直，
所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
所以
，
因为，
所以当时，取得最小值；
当或1，或1时，取得最大值4.
故选：A
3．【正确答案】C
【详解】
如图所示，设直线l的倾斜角为，
则
直线与连接的线段总有公共点，
或，即或，
又，则有.
故选：C.
4．【正确答案】D
【详解】因为，所以，解得，
所以，
由平行线之间的距离公式可得.
故选：D.
5．【正确答案】D
【详解】因为，
线段的中点为，，
所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以线段为直径的圆的方程为.
故选：D.
6．【正确答案】D
【详解】设椭圆的半焦距为，则直线的方程为，
设Ax1,y1,Bx2,y2，由
得，因为点在的内部，所以，
又，所以，
将代入，可得，
再将代入，可得，又，所以，
故的离心率．
故选：D.
7．【正确答案】A
【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在，中分别利用勾股定理可求得答案.
【详解】如图．设，，则，
，在中由勾股定理：
，解得：，
在中，由勾股定理：
解得：，所以，
所以渐近线方程为.
故选：A．
8．【正确答案】D
【详解】对于①，设，则，
所以线段的中点到准线的距离为，
所以以线段为直径的圆与准线相切，故①正确；
对于②，连接，如图，
因为，，
所以，所以，
所以即，
所以以为直径的圆经过焦点，故②正确；
对于③，设直线，，
将直线方程代入抛物线方程化简得，，则，
又，
因为，，
所以，所以，，三点共线，故③正确；
对于④，不妨设，则，
则直线，代入抛物线方程化简得，
则，
所以直线与该抛物线相切，故④正确.
故选：D.
9．【正确答案】ABD
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
则.
A：，
所以，故A正确；
B：，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
所以，即，又平面，所以平面，故B正确；
C：，则，
所以，
即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；
D：设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
得，所以点到平面的距离为，故D正确.
故选：ABD
10．【正确答案】AC
【详解】设Mx,y，由，可得，
整理得，所以曲线的方程为，表示圆心为，半径的圆．
圆的圆心为点3,−4，半径，
两圆的圆心距．
对于A，若圆与圆有公共点，则，
即，解得，故A正确；
对于B，若，由A选项知两圆没有交点，故B错误；
对于C，若，则，两圆外离，则有，
即，故C正确；
对于D，若，则四边形为正方形，，
如图，又为，即，而，
所以不存在这样的点，使得，故D错误．
故选：AC
11．【正确答案】ACD
【详解】因为，所以，
对于A：因为，所以点是以、为焦点的双曲线，故A正确；
对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误；
对于C：设，则，，
因为，所以，整理得，
所以点的轨迹是一条直线，故C正确；
对于D：因为，即，
所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确.
故选：ACD
12．【正确答案】
【分析】先求得点的轨迹为圆，再利用圆的性质即可求得点到直线的距离d的取值范围.
【详解】设，则，
两边平方得，整理得，
则点在以为圆心半径为的圆上运动，
圆心到直线的距离为，
则点到直线的距离d的取值范围为
故
13．【正确答案】4
【详解】
由，，
又直线的斜率为，
则，，
又椭圆方程为：，.
,解得，
又，，，即.
故4．
14．【正确答案】
【详解】由为的中点，则，由，则，
，
，
，，,
.
故；.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图所示：

由图可知，
因此由题意有
.
（2）如图所示：

所以，
由（1）可知，
所以由题意有
，
，
又，
且（1）可知，
不妨设直线与直线的夹角为，
所以，
故直线与直线的夹角的余弦值为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）抛物线的焦点为，
所以直线的方程为，
由消去得，
所以，
由抛物线定义得，
即，所以.
所以抛物线的方程为.
（2）由知，方程，
可化为，
解得，，故，.
所以，.
则面积
17．【正确答案】(1)
(2)的最小值为，此时直线的方程为
【详解】（1）由题意得：，，
因为，所以，
所以，
化简得：．
（2）
由（1）可知圆E的方程为：，
所以，所以圆心E的坐标为，半径,
所以，
所以当取最小值时，有最小值，
因为Q是直线上的动点，所以与直线垂直时，有最小值，
此时的最小值为圆心到直线的距离，，
有最小值，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率，
所以直线的方程为：，化简得：，
联立，解得，所以，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为，
因为直线BC为圆与圆的公共弦所在直线，
所以两方程相减可得直线BC的方程为：．
18．【正确答案】(1)（i）（ii）
(2)，或，
【详解】（1）（i）因为圆是集合的包络圆，
所以圆心到直线的距离为2，
即，化简得，
即a，b满足的关系式为.
（ii）由及，
可得圆与直线有公共点，
所以，解得，
故的取值范围是．
（2）设，
由题意可知点到直线的距离为与无关的定值，
即为与无关的定值，
所以，．故，此时，．
所以的方程为，
设，则，即，
假设轴上存在定点，，使得，设，，
则
，
所以
解得或
所以，或，．
19．【正确答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）．
【分析】(1)根据“共轭点对”的定义可得；
(2)（i）方法一：利用点差法可证；方法二：设联立椭圆方程，利用韦达定理可证；
（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出，利用韦达定理化简，然后利用导数求最值可得.
【详解】(1)由已知，点在直线上，
又因为直线过原点，
所以所求直线的方程为：．

(2)（i）方法1：因为，所以
设，则，
两式相减得，
整理得，
即，所以线段的中点在直线上．
所以线段被直线平分．
方法2：因为，，
所以设，
由，
由韦达定理得，于是，
从而，所以线段的中点在直线上．
（ii）由（i）可知为的中点，而为的中点，
所以．
由解得，设，
由，
由，
由韦达定理得.
此时
又因为点到直线的距离，
所以.
令，函数定义域为，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以的最大值为．