广东省广州市广大附中教育集团2022-2023学年九年级上学期自主招生数学试题（答案）

这是一份广东省广州市广大附中教育集团2022-2023学年九年级上学期自主招生数学试题（答案），共39页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省广州市广大附中教育集团初三自主招生考试
考试时间：120 分钟满分：100 分
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知m 、n 是方程 x2  2020x  7  0 的两个根，则(m  2019m 
A. 2021B. 2020C. 2012
6)(n  2021n  8) （）
D. 2011
【答案】C
【解析】
22
【分析】根据题意得 m2  2020m  7  0 ， n2  2020n  7  0 ， m  n  2020 ， mn  7 ，则
m2  2020m  7 ， n2  2020m  7 ，将其代入(m2  2019m  6)(n2  2021n  8) 得
mn  (m  n) 1，再将 m  n  2020 ， mn  7 代入即可得．
【详解】解：∵ m 、n 是方程 x2  2020x  7  0 的两个根，
∴ m2  2020m  7  0 ， n2  2020n  7  0 ， m  n  2020 ， mn  7 ，
∴ m2  2020m  7 ， n2  2020m  7
(m2  2019m  6)(n2  2021n  8)
= (2020m  7  2019m  6)(2020m  7  2021n  8)
= (m 1)(n 1)
= mn  (m  n) 1
∵ mn  7 ， m  n  2020 ，
∴原式= 7  (2020) 1  2012 ， 故选：C．
【点睛】本题考查了方程的根，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
2. 如图，已知直线l1 ∥l2 ∥l3 ∥l4 ，相邻两条平行线间的距离都等于 h，若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）
4h2
5h2
4 2h2
5 2h2
【答案】B
【解析】
【分析】过点 D 作 EF  l1 交l1 、l4 于点 E，F，则 DF  l4 ，然后证明 ADE≌DCF ，得到 AE  DF ， 利用勾股定理解题即可．
【详解】过点 D 作 EF  l1 交l1 、l4 于点 E，F，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AD  CD，ADC  90，
∴ ADE  CDF  90 .
∵ l1 ∥l2 ∥l3 ∥l4 ， EF  l1 ，
∴ DF  l4 ，
∴ AED  CFD  90 ，
∴ DCF  CDF  90.
∴ DCF  ADE .
∴ ADE≌DCF ，
∴ AE  DF .
∵相邻两条平行直线间的距离都是 h，
∴ DE ，AE  DF  2 .
∵ AED  90 ，
正方形ABCD
∴ S AD2  AE2  DE2 2 22  52 ，故选 B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3. 函数 y =|x|， y  1 x  4 ．当 y ＞y
时，x 的范围是()
123312
A x  1
B. 1  x  2
C. x  1或x  2
D. x  2
【答案】C
【解析】
【详解】当 x≥0 时，y1=x，又 y2
 1 x  4 ，∴两直线的交点为（2，2），
33
当 x＜0 时，y1=-x，又 y2
 1 x  4 ，∴两直线的交点为（-1，1），
33
由图象可知：当 y1＞y2 时 x 的取值范围为：x＜-1 或 x＞2，
故选 C.
x2  2x  2
【点睛】本题考查的是两条直线相交问题，关键要由已知求出两直线的交点，然后根据数形结合思想进行解答.
x2  4x  13
已知 x 为实数，则
的最小值为（）
10
A. 5B.
C. 3 D. 6
5
5
【答案】A
【解析】
x2  4x  13
x2  2x  2
 x  22  0  32
【分析】
，令 A x，0 ， B 2，3 ，
 x  12  0  12
x2  4x  13
x2  2x  2
C 1，1 ，则表示，点 A x，0 到点 B 2，3 和点C 1，1 的距离的和，如
x2  4x  13
图，可得当 B、A、C 三点共线时，
的值最小，值为
，计算
x2  2x  2
2 12  3 12
求解即可．
x2  4x  13
x2  2x  2
【详解】解：∵
 x  22  9
 x  12  1

令 A x，0 ， B 2，3 ， C 1，1 ，
x2  4x  13
x2  2x  2
∴表示，点 A x，0 到点 B 2，3 和点C 1，1 的距离的和，如图，
x2  4x  13
∴当 B、A、C 三点共线时，
的值最小，值为
 5 ，
x2  2x  2
2 12  3 12
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题．熟练掌握勾股定理是解题的关键．

 2x 1  5x  3  1①

不等式组36的解集是关于 x 的一元一次不等式 ax  1解集的一部分，则 a 的取
 5  2x 1  5②
值范围是（）
A. 0  a  1
【答案】D
【解析】
B.  1  a  0
3
C.  1  a  1 3
D.  1  a  1 且 a  0 ．
3
【分析】分别求出不等式组和不等式的解集，根据不等式组的解集是不等式的解集的一部分及，进行求解
即可．

 2x 1  5x  3  1①
x  1
【详解】解：由36
，得： 2  x  3 ，
∴ 1  x  3 ，
∵ ax  1，
 5  2x 1  5 ②
①当 a  0 时， x   1 ，
a
∵不等式组的解集是不等式的解集的一部分，
∴  1  1 ，
a
∴ a  1 ，
∴ 0  a  1；
a
∵不等式组的解集是不等式的解集的一部分，
∴  1  3，
a
∴ a   1 ，
3
∴  1  a  0 ； 3
综上：  1  a  1 且 a  0 ；
3
故选：D．
【点睛】本题考查根据不等式的解集情况求参数．熟练掌握解不等式的步骤，正确的求出不等式的解集，
是解题的关键．
1
4
6. 求 1 x 1  1 x  2 
23
x  3 的最小值（）
7
A. 12B. 6C.
2
【答案】C
D. 3
【解析】
【分析】根据题意进行分类讨论：①当 x  2 时，②当 2  x  6 时，③当6  x  12 时，④当 x  12 时， 即可进行解答．
【详解】解：①当 x  2 时，原式 1 1 x  2  1 x  3  1 x  6  13 x ，
23412
 x  2 ，
6  13 x  23 ；
126
②当2  x  6 时，原式 1 x 1 2  1 x  3  1 x  4  1 x ，
 2  x  6 ，
23412
 7  4  1 x  23 ；
2126
③当6  x  12 时，原式 1 x 1 1 x  2  3  1 x 
7 x ，
 6  x  12 ，
23412
 7  7 x  7 ；
212
④当 x  12 时，原式 1 x 1 1 x  2  1 x  3  13 x  6 ，
23412
 13 x  6  7 ． 12
综上，当 x  6 时，原式有最小值为 7 ．
2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数．
如图，长方体的长、宽、高分别是8cm ， 2cm ， 4cm ，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B， 则妈蚁爬行的最短路径长为（）
29
2
2
C. 10D. 4 2
37
5
【答案】C
【解析】
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A 和 B 点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
展开前面右面由勾股定理得 AB2  (8  2)2  42  116cm ；
展开前面上面由勾股定理得 AB2  (2  4)2  82  100cm ；
100
所以最短路径的长为 AB  10(cm) ．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
如图，  ABC 中， AB  AC ， BAC  54，ÐBAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点O ，将
ÐC 沿 EF (E 在 BC 上， F 在 AC 上)折叠，点C 与点O 恰好重合，则OEC 为()
A. 126B. 120C. 110D. 108
【答案】D
【解析】
【分析】连接OB 、OC ，设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，根据角平分线的定义求出BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA  OB ，
根据等边对等角可得ABO  BAO ，再求出OBC ，然后判断出点O 是 ABC 的外心，根据三角形外
心的性质可得OB  OC ，再根据等边对等角求出OCB  OBC ，根据翻折的性质可得OE  CE ，然后根据等边对等角求出COE ，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．
【详解】解：如图，连接OB 、OC ，设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D
BAC  54 ， AO 为BAC 的平分线，
BAO  1 BAC  1  54  27 ，
22
又 AB  AC ，
22
 DO 是 AB 的垂直平分线，
OA  OB ，
ABO  BAO  27 ，
OBC  ABC  ABO  63  27  36 ，
 AO 为BAC 的平分线， AB  AC ，
OB  OC ，
点O 在 BC 的垂直平分线上， 又 DO 是 AB 的垂直平分线，
点O 是 ABC 的外心，
OCB  OBC  36 ，
 将C 沿 EF (E 在 BC 上， F 在 AC 上) 折叠，点C 与点O 恰好重合，
OE  CE ，
COE  OCB  36 ，
在OCE 中， OEC  180  COE  OCB  180  36  36  108， 故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性 质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
已知在 x2  mx 16  (x  a)(x  b) 中， a 、b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 的值共有
（）个
A. 4B. 5C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先根据整式的乘法可得 m  a  b, ab  16 ，再根据“ a, b 为整数”进行分析即可得．
【详解】(x  a)(x  b)  x2  (a  b)x  ab ，
 x2  mx 16  x2  (a  b)x  ab ，
 m  a  b, ab  16 ，
（2）当 a  2, b  8 时， m  2  8  6 ；
（3）当 a  4, b  4 时， m  4  4  0 ；
（4）当 a  8, b  2 时， m  8  2  6 ；
（5）当 a  16, b  1 时， m  16  1  15 ；
（6）当 a  1, b  16 时， m  116  15 ；
（7）当 a  2, b  8 时， m  2  8  6 ；
（8）当 a  4, b  4 时， m  4  4  0 ；
（9）当 a  8, b  2 时， m  8  2  6 ；
（10）当 a  16, b  1 时， m  16 1  15 ；
综上，符合条件的 m 的值为15, 6, 0, 6,15 ，共有 5 个， 故选：B．
【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
如图，在ABC 中， ACB  90 ， AC  BC  4 ，点 D 是 BC 边的中点，点 P 是 AC 边上一个动点，连接 PD ，以 PD 为边在 PD 的下方作等边三角形 PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（ ）
2
A3B. 1C.D. 3
22
【答案】B
【详解】解：以 CD 为边作等边三角形 CDE，连接 EQ，如图所示：
∵PDQ 是等边三角形，
∴ CED  PDQ  CDE  60, PD  QD, CD  ED ，
∵∠CDQ 是公共角，
∴∠PDC=∠QDE，
∴△PCD≌△QED（SAS），
∵ ACB  90 ， AC  BC  4 ，点 D 是 BC 边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°， CD  DE  CE  1 BC  2 ，
2
∴点 Q 是在 QE 所在直线上运动，
∴当 CQ⊥QE 时，CQ 取的最小值，
∴ QEC  90  CED  30 ，
∴ CQ  1 CE  1；
2
故选 B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含 30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含 30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
二、不定项选择题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分；漏选得 2 分，错选或多选
不得分）
3
3
3
A. 1B.1C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 a2  2a  2 ， b2  2b  2 ，可知 a，b 是 x2  2x  2 的两个解，则 a  b  2 ， ab  2 ，根
据 1  1  a  b ，计算求解即可．
abab
【详解】解：∵ a2  2a  2 ， b2  2b  2 ，
∴ a，b 是 x2  2x  2 的两个解，
∴ a  b  2 ， ab  2 ，
∴ 1  1  a  b  1 ，
abab
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
1
12. 如图， ABC 的内角ÐABC 和外角ÐACD 的平分线相交于点 E， BE 交 AC 于点 F，过点 E 作
EG ∥ BD 交 AB 于点 G，交 AC 于点 H，连接 AE ，以下几个结论：① BEC BAC ；②
2
HEF ≌CBF ；③ BG  CH  GH ；④ AEB  ACE  90；其中正确的结论有（）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断①结论；根据全等三角形的判定定理，即可判断②结论；根据角平分线的定义、平行线的性质以及等角对等边的性质，即可判断③结论；过点 E 作EN  BA 延长线于点 N ， EL  AC 于点 L ， EM  BD 于点 M ，根据角平分线的性质定理，得出 AE 平分NAL ，再利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，即可判断④结论．
22
ACD  ABC  BAC ， ECD  CBE  BEC ，
CBE  BEC  1 ABC  BAC   1 ABC  1 BAC  CBE  1 BAC ，
2222
BEC  1 BAC ，即①结论正确；
2
由 EG ∥ BD 可以得到HEF∽CBF ，但是没有条件可以推出相等的边，不能证明HEF ≌CBF ，即② 结论错误；
 BE 平分ÐABC ， CE 平分ÐACD ，
CBE  GBE ， ECD  ECH ，
 EG ∥ BD ，
CBE  BEG ， ECD  CEG ，
GBE  BEG ， ECH  CEG ，
 BG  EG ， CH  EH ，
 EG  EH  GH ，
 BG  CH  GH ，即③结论正确；
如图，过点 E 作 EN  BA 延长线于点 N ， EL  AC 于点 L ， EM  BD 于点 M ，
 BE 平分ÐABC ， CE 平分ÐACD ，
 EN  EM ， EL  EM ， ABC  2CBE  2GBE ， ACD  2ECH  2ECD ，
 EN  EL ，
\AE 平分NAL ，
NAL  2EAL  2EAN ，
BAC  180  NAL  180  2EAN ，
ACB  180  ACD  180  2ACE ，且ABC  ACB  BAC  180，
 2GBE  180  2ACE   180  2EAN   180 ，
ACE  GBE  AEB  GBE  90 ，
AEB  ACE  90 ，即④结论正确；
正确的结论有①③④， 故选：ACD．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
13. 下列说法：①如果3.7852  m ，则378.52  100m ；② 0.27  5 ；
18
③若|a | b ， | b | b ，则 a  b  0 ；
④若关于 x 的方程 x 1 x

ax  2
无解，则a  2 ， 5 或 1 ．
x  2x 1(x 1)(x  2)2
其中正确的命题是()
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据乘方、分式方程的解的定义、绝对值的性质逐项分析即可求解．
【详解】解：①如果3.7852  m ，则378.52  (3.785100)2  10000  3.7852  10000m ，故①错误， 那么①不符合题意．
② 0.27  5
18
故②正确；
③若|a | b ， | b | b ，
∴ b  0 ， b  0 ，则 a  b  0 ，则 a  b  0 ，故③正确；
④解 x 1 x

ax  2
,
x  2
解得： x  
x 1(x 1)(x  2)
3
a  2
∵原方程无解，则a  2 ，或
3
a  2
 1 或2 ，
2
故④正确， 故选：BCD．
【点睛】本题主要考查乘方、分式方程的解、绝对值，熟练掌握乘方、分式方程的解的定义、绝对值的性质是解决本题的关键．
如图： AOB  30 ．按下列步骤作图：①在射线OA 上取一点 C，以点 O 为圆心， OC 长为半径作圆弧 DE ，交射线OB 于点 F．连结CF ；②以点 F 为圆心， CF 长为半径作圆弧，交弧 DE 于点 G；③连结 FG 、CG ．作射线OG ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）
A. AOG  60B. OF 垂直平分CG
C. OG  CG
【答案】D
【解析】
D. OC  2FG
【分析】由作法得 OC= OF = OG，FG= FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断 OF 垂直平分 CG，则可对 B 选项进行判断;利用 C 点与 G 点关于 OF 对称得到∠FOG = ∠FOC =30°，则可对 A 选项进行判断; 通过判断△OCG 为等边三角形可对 C 选项进行判断;利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OC = 2CM，加上 CF> CM，FC= FG，则可对 D 选项进行判断.
【详解】由作法得 OC=OF= OG，FG= FC，则 OF 垂直平分 CG， 所以 B 选项的结论正确；
∵C 点与 G 点关于 OF 对称
∴∠FOG=∠FOC=30°，
∴∠AOG =60°，
所以 A 选项的结论正确;
∴△OCG 为等边三角形，
OG = CG，
∴OC = 2CM，
∵CF > CM， FC= FG，
∴ OC ≠2FG，
所以 D 选项的结论错误故选：D.
【点睛】本题考查含 30 度的直角三角形、线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形的三边关系，等边三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点
如图，在一张矩形纸片 ABCD 中， AB  4 ， BC  8 ，点 E，F 分别在 AD，BC 上，将纸片 ABCD
沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点 H 处，点 D 落在点 G 处，有以下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形；
② EC 平分DCH ；
③线段 BF 的取值范围为3  BF  4 ；
④当点 H 与点 A 重合时， EF 2 5．
以上结论中，你认为正确的有（）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由折叠的性质可得， CF  HF ， HFE  CFE ，由矩形 ABCD ，可得 AD∥BC ，则
HEF  CFE ， HEF  HFE ， HE  HF ，即 HE  CF ，可证四边形CFHE 是菱形，进而可判断①的正误；由四边形CFHE 是菱形，可得BCH  ECH ，当DCE  ECH  BCH  30
时， EC 平分DCH ，进而可判断②的正误；如图，当 H 与A 重合时，设 BF  x ，则
AF  CF  8  x ，由勾股定理得， AF 2  BF 2  AB2 ，即8  x2  x2  42 ，解得 x  3 ，当点G 与点 D 重合时， CF  CD  4 ，即 BF  BC  CF  4 ，则3  BF  4 ，进而可判断③的正误；如图，过 F 作 FM  AD 于 M ，则四边形 ABFM 是矩形， MF  4 ， AM  BF  3 ， AE  CF  5 ，
MF 2  ME2
ME  AE  AM  2 ，由勾股定理得， EF 
 2，进而可判断④的正误．
5
【详解】解：由折叠的性质可得， CF  HF ， HFE  CFE ，
∵矩形 ABCD ，
∴ AD∥BC ，
∴ HEF  CFE ，
∴ HEF  HFE ，
∴ HE  HF ，
∴ HE  CF ， 由∵ HE∥CF ，
∴四边形CFHE 是平行四边形， 又∵ HE  HF ，
∴四边形CFHE 是菱形，
∴①正确，故满足要求；
∵四边形CFHE 是菱形，
∴ BCH  ECH ，
当DCE  ECH  BCH  30 时， EC 平分DCH ，
∴②错误，故不满足要求；
如图，当 H 与A 重合时，设 BF  x ，则 AF  CF  8  x ，
由勾股定理得， AF 2  BF 2  AB2 ，即8  x2  x2  42 ，解得 x  3 ，当点G 与点 D 重合时， CF  CD  4 ，即 BF  BC  CF  4 ，
∴ 3  BF  4 ，
∴③正确，故符合要求；
如图，过 F 作 FM  AD 于 M ，则四边形 ABFM 是矩形，
∴ MF  4 ， AM  BF  3 ， AE  CF  5 ，
5
∴ ME  AE  AM  2 ，
MF 2  ME2
由勾股定理得， EF 
 2，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定，等角对等边，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
1  4  2 3
三、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
3
若 a，b 为有理数且满足 a  b
 6 
，则 a  b ．
【答案】4
【解析】
1  4  2 3
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则解决此题．
3
【详解】解：∵ a  b
 6 ，
3
1  3 12
∴ a  b6 
1 3 1
6 
2  3
6 
12  6 3

3 
3 2

3
 3 ．
∴ a  3，b  1．
∴ a  b  3  1  4 ． 故答案为：4．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的
乘法法则是解决本题的关键．
关于 x 的一元二次方程(1 2k )x2  2
k 1x 1  0
有两个不相等的实数根，则常数 k 的取值范围是
．
【答案】 1  k  2 且k  1
2
【解析】
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则△=b2-4ac＞0，结合一元二次方程的定义，求出 k 的取值范围．
k+1≥0，即 k≥−1，
△=b2−4ac=(−2
∴k0，
故答案为： 1  k  2 且k  1 ．
2
【点睛】此题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握判别式．
如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 BC ， CD 上的点， AE 与 BF 相交于点 G，连接 AC 交
BF 于点 H．若CE  DF ， BG  GH ， AB  2 ，则△ CFH 的面积为．
2
【答案】3 4
【解析】
【分析】过点 H 作 HM  CD ，垂足为 M，根据正方形的性质得 AB  BC  CD  2 ， AB ∥CD ，
2
ABC  BCD  90 ， ACD  45 ，根据勾股定理得 AC  2，根据CE  DF 得 BE  CF ，利
用 SAS 证明△ABE ≌ △BCF ，则1  2 ，根据ABC  90得Ð1+Ð3=90 ，则AGB  90 ，
2
根据 BG  GH 得 AG 是 BH 的垂直平分线，则 AB  AH  2 ， 3  AHB ， CH  2
AB ∥CD 得3  CFH ，根据AHB  CHF 得CHF  CFH ，则CH  CF  2
2 ，根据
2
 2 ，在
RtHMC 中， HMC  90， ACD  45 ， sin MCH  HM
HC
，进行计算得 HM  2 ，即可
2
得．
【详解】解：如图所示，过点 H 作 HM  CD ，垂足为 M，
2
∴ AB  BC  CD  2 ， AB ∥CD ， ABC  BCD  90 ， ACD  45 ，
AB2  BC 2
22  22
∴ AC 
∵ CE  DF ，
 2，
∴ BC  CE  CD  DF ，
∴ BE  CF ，
在 ABE 和△BCF 中，
AB  BC

ABE  BCF ，

BE  CF
∴ ABE≌BCF SAS  ，
∴ 1  2 ，
∵ ABC  2  3  90 ，
∴Ð1+Ð3=90 ，
∴ AGB  180  (1 3)  90 ，
∵ BG  GH ，
∴ AG 是 BH 的垂直平分线，
∴ AB  AH  2 ，
∴ 3  AHB ，
2
CH  AC  AH  2
∵ AB ∥CD ，
∴ 3  CFH ，
∵ AHB  CHF ，
∴ CHF  CFH ，
 2 ，
2
∴ CH  CF  2 2 ，
在 RtHMC 中， HMC  90， ACD  45 ， CH  2
即 HM  HC sin MCH ，
HM  HC sin 45 ，
2 ， sin MCH  HM ，
2
HC
2
2
HM  2 ，
∴△ CFH 的面积为：
1 CF gHM
2
2
= 1 (2
2
 2) (2 2)
2
= 3 4 ，
2
故答案为： 3
 4 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些知识点，构造辅助线．
直线 y   4 x  4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，M 是 y 轴上一点，若将△ABM 沿 AM 折叠，点 B
3
恰好落在 x 轴上，则点 M 的坐标为．
3
【答案】（0，
2
【解析】
）或（0，-6）.
【分析】设沿直线 AM 将△ABM 折叠,点 B 正好落在 x 轴上的 C 点,根据翻折的性质求解即可．
【详解】解：如图所示,
设沿直线 AM 将△ABM 折叠,点 B 正好落在 x 轴上的 C 点,
则有 AB=AC，
∵直线 y   4 x  4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，
3
∴A(3,0),B(0,4)， 又 OA=3，OB=4，
∴AB=5，
故求得点 C 的坐标为：(−2,0).
3
∴b=，
2
3
∴M(0,)，
2
此外当 AM 为∠BAO 的外角平分线时,同理求得一 M 点(0,−6)
3
故答案为：(0,
)或(0,−6)．
2
【点睛】本题综合考查了翻折变换，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段长是解题的关键．
已知ABC 的高 AD，BE 所在的直线交于点 F ，若 BF  AC ，则ÐABC 的度数为．
【答案】图见解析， 45或135
【解析】
【分析】分两种情况，画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：[作图区]
当ÐABC 为锐角时，如图①．
当ÐABC 为钝角时，如图②．
[解答区]
①若ABC 为锐角三角形时，ÐABC 为锐角，如图①，
∵ AD  BC，BE  AC ，
∴ BDF  ADC  BEC  90 ，
∴ C  CBE  90，C  CAD  90 ，
∴ CBF  CAD ，
②若ABC 为钝角三角形时，ÐABC 为钝角，如图②， 同理可证VBDF≌V ADC AAS ，
∴ BD  AD ，
∴ ABD  45 ，
∴ ABC  135 ，
综上所述，ÐABC 的度数为45或135 ． 故答案为： 45或135 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性
质是解题的关键．
 x   a  
 x  
21. a 是一个正实数，记 f(x)=  ，其中[x]是不超过实数 x 的最大整数，如[2.1]=2，[﹣2.1]=﹣3，
2

若 f（5）=5，则 a 的取值范围是 ．
【答案】25≤a＜35
【解析】
 5   a  
 5  a
【分析】解：由题意可知5    6 ，通过计算转化为5  7 ，然后解不等式即可．
25

【详解】解：∵f（5）=5，
 5   a  
 5  
∴ 5    6
2

∴ 5   a   7
 5 
5
解得：25≤a＜35
故答案为：25≤a＜35．
【点睛】本题考查理解新定义内容，结合题意的特点，将所求转化为不等式的解即可．
四、解答题（本大题共 3 小题，满分 26 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
已知关于 x 的方程(4  k )(8  k )x2  (80  12k )x  32  0 的解都是整数，求整数 k 的值．
【答案】4 ， 6 ， 8 ，12
【解析】
【分析】用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确．
【详解】解：当 k  4 时，原方程为32x  32  0 ，所以 x  1 ，符合题意；
当 k  8 时，原方程为16x  32  0 ，所以 x  2 ，符合题意；
当 k  4 且 k  8 时，原方程化为4  k  x  8 8  k  x  4  0 ，解得 x 8， x 4．
 
 k 为整数，且 x1 ， x2 均为整数根，
 4  k  1 ， 2 ， 4 ， 8 ，得 k  3 ， 5 ， 2 ， 6 ， 0 ， 4 ，12
或8  k  1， 2 ， 4 ，得 k  7 ， 9 ， 6 ，10 ，12 ．
综上所述，当 k 的值为4 ， 6 ， 8 ，12 时，原方程的根都为整数．
14  k
28  k
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元一次方程，整除，掌握一元二次方程的整数根与有理根的相关知识是解答本题的关键．
如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， ABC 的边 BC 在 x 轴上，A、B、C 三点的坐标分别为
A(0, m) ， B(12, 0) ， C(n, 0) ，且(n  10)2  | 3m  15 | 0 ，一动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 BO 匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒．
求 A、C 两点的坐标；
若点 P 恰好在BAO 的角平分线上，求此时 t 的值；
当点 P 在线段 BO 上运动时，在 y 轴上是否存在点 Q，使△POQ 与AOC 全等？若存在，请求出 t
32
秒 时， Q 的坐标是(0,10) 或(0, 10) ；（4）点 P 的坐标为( 119 , 0) 、(12, 0) 、(1, 0) ．
24
【解析】
【分析】（1）根据偶次方和算术平方根的非负性得出 n 10  0 ， 3m  5  0 ，求出即可；
根据角平分线性质和三角形面积求出 BP 的长，从而求得 P 点运动时间 t．
根据对应边相等关系分为情况：求出点的坐标即可．
x2  52
设点 P 坐标为（x，0），由 PA 、 PB  x 12 、AB=13 根据 PA=PB、PA=AB、PB=AB 三
种情况分别求解即可，
【详解】解：（1）∵ (n  10)2  | 3m  15 | 0 ，
 n  10  0 ， 3m  15  0 ，
∴ n  10 ， m  5 ，
 A 的坐标是(0, 5) ， C 的坐标是(10, 0) ；
（2）过 P 点作 PH⊥AB，
∵点 P 恰好在BAO 的角平分线上， POA  90 ，
∴PH=OP，
S111
又∵  ABP = 2 ABPH  2 BP AO ， S AOP = 2 AOPO ，
∴ AB  BP ，
AOPO
又∵ BO  12 ， AO  5 ， AB 
BO2  AO2
 13 ，
∴ 13 BP，
512  BP
∴ BP  26 ，
3
∴ t  26  2  13 （秒）
33
（3 当 P 在线段 BO 上运动时，在 y 轴上存在点Q ，使△POQ 与AOC 全等，
 P 在线段 BO 上运动，
t„ 12  2  6 ，即t„ 6 ；
①当OP  OC  10 ， OQ  OA  5 时， △POQ 和AOC 全等，
此时t  (12  10)  2  1 （秒）， Q 的坐标是在 y 轴正半轴为(0, 5) 或负半轴为(0, 5) ；
②当OP  OA  5 ， OQ  OC  10 时， POQ 和AOC 全等，
此时t  12  5  7 （秒）， Q 的坐标是在 y 轴正半轴为(0,10) 或负半轴为(0, 10) ；
22
综上所述， t  1秒时， Q 的坐标是(0, 5) 或(0, 5) ；
（4）点 P 的坐标为( 119 , 0) 、(12, 0) 、(1, 0) ；
24
求解过程如下：设点 P 坐标为（x，0），
t  7 秒时， Q 的坐标是(0,10) 或(0, 10) ．
2
x2  52
∴ PA 
、 PB  x 12 、AB=13，
119
119
x2  52
当 PA  PB 时，即
 x 12 ，解得： x   24 ，即点 P 为(
, 0) ，
24
x2  52
当 PA  AB 时，即
 13 ，解得： x1  12 ， x2  12 （与 B 点重合，舍去），故点 P 为
(12, 0) ，
当 PB  AB 时，即 x  12  13 ，解得： x  1 ，故点 P 为(1, 0) ，
综上所述，若PAB 为等腰三角形，点 P 的坐标为( 119 , 0) 、(12, 0) 、(1, 0) ；
24
【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握等腰三角形、全等三角形的性质和判定，偶次方和算术平方根的非负性，三角形的面积，坐标与图形性质等知识点的综合运用，关键是求出符合条件的所有情况，是一道比较容易出错的题目．
24. 正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 AD 所在的直线上，连接 CE，以 CE 为边，作正方形 CEFG（点D，点 F 在直线 CE 的同侧），连接 BF．
如图 1，当点 E 与点 A 重合时， BF ；
如图 2，当点 E 在线段 AD 上时， AE  1 ．
①求点 F 到 AD 的距离；②求 BF 的长；
10
若 BF  3
，请直接写出此时 AE 的长．
5
【答案】（1） 4
74
（2）①3；②
41
（3）AE 的长为 1 或2 
【解析】
【分析】（1）作 FH  AB ，由 AAS 证EFH CED ，得出 FH＝CD＝4 ， AH＝AD＝4 ，求出
BH＝AB  AH＝8 ，由勾股定理即可得出答案；
（2）过 F 作 FH  AD交 AD 的延长线于点 H，作 FM  AB 于 M，则 FM＝AH ， AM＝FH ，①同
（1）得： EFH CED ，得出 FH＝DE＝3 ， EH＝CD＝4 即可；
②求出 BM＝AB  AM＝7 ， FM＝AE  EH＝5 ，由勾股定理即可得出答案；
（3）分三种情况：①当点 E 在边 AD 的左侧时，过 F 作 FH  AD交 AD 的延长线于点 H，交 BC 于 K， 同（1）得： EFH CED ，得出 FH＝DE＝4  AE ， EH＝CD＝4 ，得出 FK＝8  AE ，在
RtBFK 中， BK＝AH＝EH﹣AE＝4﹣AE ，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当点 E 在边 AD 的右侧时，过 F 作 FH  AD交 AD 的延长线于点 H，交 BC 延长线于 K，同理得 AE 的长；
③当点 E 在 AD 上时，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【小问 1 详解】作 FM  AB ． 则FHE＝90 ，
∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形
∴ AD＝CD＝4 ， EF＝CE ， ADC＝DAH＝BAD＝CEF＝90
∴∠FEH＝∠CED
在△EFH 和ECD 中，
FHE  EDC  90

FEH  CED，

EF  CE
EFH ECD  AAS 
 FH＝CD＝4 ， AH＝AD＝4
 BH＝AB  AH＝8
BH 2  FH 2
82  42
5
 BF  4；
【小问 2 详解】
过 F 作 FH  AD交 AD 的延长线于点 H，作 FM  AB ．
则 FM＝AH ， AM＝FH
① AD＝4 ， AE＝1
 DE＝3
同（1）得： EFH CED  AAS 
 FH＝DE＝3 ， EH＝CD＝4
即点 F 到 AD 的距离为 3．
② BM＝AB  AM＝4  3＝7 ， FM＝AE  EH＝5
BM 2  FM 2
72  52
74
 BF 
【小问 3 详解】
分三种情况：
①当点 E 在边 AD 的左侧时，过 F 作 FH  AD交 AD 于点 H，交 BC 于 K． 同（1）得： EFH CED
 FH＝DE＝AE  4 ， EH＝CD＝4
 FK＝8  AE ．
在 RtBFK 中， BK＝AH＝EH﹣AE＝4﹣AE 由勾股定理得：（4﹣AE）2 （8  AE）2＝3 10 2解得： AE＝1或 AE＝﹣5 （舍去）
 AE＝1 ．
点 E 在边 AD 的右侧时，过 F 作 FH  AD交 AD 的延长线于点 H，交 BC 延长线于 K，同（1）得：
EFH CED
 FH＝DE＝AE﹣4 ， EH＝CD＝4
 FK＝FH  HK＝AE﹣4  4＝AE
在 RtBFK 中， BK＝AH＝AE﹣AD＝AE﹣4
由勾股定理得：（AE﹣4）2  AE2＝3 10 2
41
41
解得： AE  2 或 AE  2 （舍去）．
③当点 E 在 AD 上时，可得：（8﹣AE）2 （4  AE）2＝90
解得 AE＝5 或﹣1
5＞4
不符合题意．
41
综上所述：AE 的长为 1 或2 ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．