2025肇庆广信中学、四会四会中学等五校高一上学期第二次段考试题数学含解析

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1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件求出集合，计算.
【详解】由题意得，，
∵，
∴.
故选：B.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：D
3. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】对A，是偶函数，当，，
所以在上单调递减，故A错误；
对B，，所以为非偶函数，故B错误；
对C，，所以为偶函数，当，
为减函数，其在上单调递增，故C正确；
对D，，所以为奇函数，故D错误.
故选：C
4. “”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】由，即可判断.
【详解】由可得：，
因为，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
5. 函数的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义域即可求解.
【详解】∵，
∴函数的定义域为，
故选：A.
6. 已知函数则函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数图象的对称变换得出图象.
【详解】当时，因为为单调递增函数，
与关于轴对称，所以单调递减，
当时，因为为单调递减函数，
与关于轴对称，所以单调递增，
综上所述只有选项C满足条件.
故选：C.
7. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A 7B. 9C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式“1”的巧用即可得最值．
【详解】因正实数，满足，
则，
当且仅当即时，等号成立．
故选：B．
8. 已知， ，，那么a，b，c的大小关系是
A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. a>c>b
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的图像和性质,即可比较函数值的大小.
【详解】根据指数函数与对数函数的图像与性质可知
,即
而
,而
综上可知
故选:A
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像和性质,根据函数的单调性比较大小,属于基础题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，取特殊值进行判断；
对于B，取特殊值进行判断；
对于C，利用作差法比较；对于D，利用作差法比较；
【详解】对于A，当时，，但，故A中不等式不一定成立；
对于B，当时，，但，故B中不等式不一定成立；
对于C，，，故C中不等式恒成立；
对于D，，，，
又，，故D中不等式恒成立.
故选：CD
10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. 的根为和
B. 函数的零点为和
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间关系，即可得出正确的选项.
【详解】关于的不等式的解集为，
，C选项正确；
且和是关于的方程的两根，
则 ，则，，故D不正确；
不等式解集的端点值就是函数的零点及方程的根，故A正确，B不正确.
故选：AC．
11. 已知函数，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出函数图象，结合图象可得，，的范围，再由，，即可求得和的范围.
【详解】作出函数的图象：
由图象可知，，，，由得不出，则正确，错误；
因为，所以，所以，则，
因为，所以在上单调递增，所以，则正确；
因为，所以，所以
函数在上单调递增，所以，则正确；
故选：.
【点睛】作出y=fx的图象，将图象位于轴下方的部分翻折到轴上方的部分，其余不变，即可得到的图象.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则______.
【答案】0
【解析】
【分析】分段函数求值，根据自变量取值所在区间确定解析式代入求值.
【详解】已知函数，
则，所以．
故答案为：.
13. 已知幂函数是偶函数，且在0,+∞上是减函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.
【详解】因为幂函数是偶函数，
所以且为偶数，
所以或，
又因为幂函数在0,+∞上是减函数，
所以，即，所以.
故答案为：.
14. 已知函数，若关于的方程恰有四个不同实数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，作出函数，然后通过数形结合求出答案.
【详解】由于函数，作出其图象如图所示：

由得：
则，方程有一个解；
则有三个解，得∶.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算求值：
（1）
（2）．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂性质即可计算得解.
（2）根据对数性质、运算法则即可计算求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
16. 已知，，全集
（1）若，求
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式解法求解集合A，再结合补集、并集的定义求解即可；
（2）结合子集的定义，按照和分类讨论，即可求解．
【小问1详解】
时，集合，则或，
集合，
故或；
【小问2详解】
当时，符合，此时，解得，
当时，要使，则，解得，
综上所述，a的取值范围为或.
17. 已知函数，且其定义域为．
（1）判定函数的奇偶性；
（2）利用单调性的定义证明：在上单调递减；
（3）解不等式．
【答案】（1）奇函数 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）检验与的关系即可判断;
（2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断;
（3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式.
【小问1详解】
为奇函数，理由如下：
因为，且函数定义域为，关于原点对称，
所以为奇函数.
【小问2详解】
任取，
所以，，
则，
所以，
故在上单调递减；
【小问3详解】
可转化为，
则，所以，解得，
故的范围为.
18. 中国建设新芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
（1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式；
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
【答案】（1）
（2）产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元
【解析】
【分析】（1）由分段代入计算即可得.
（2）借助一次函数、二次函数的性质与基本不等式计算每段的利润最大值即可得.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
当时，，
所以的函数解析式为.
【小问2详解】
当时，，
当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当，即时取等号，则，
而，所以当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.
19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数．
（1）已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数；
（2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）是增长函数
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据所给定义判断即可；
（2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；
（3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求.
【小问1详解】
的定义域为，，，，
即，所以为区间上的增长函数；
【小问2详解】
依题意，，恒成立，
即在上恒成立，
整理得在上恒成立，
因为，所以关于的一次函数是增函数，
所以当时，，
所以，解得，
所以正整数的最小值为；
【小问3详解】
由题意可得：当时，，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以当时，则，
故，
当时，，，
故为上的增长函数，
所以符合题意；
当时，则可得函数大致图象如图：
易知图象与轴交点为，，
而，，
因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上，
所以，
又因为当时，，当时，，
若时，令，则，故，不合题意；
所以，解得且，
若且，则有：
当时，则成立；
当时，则，
可得，，即成立；
当时，则，即成立；
故当且时，符合题意，
综上所述：当时，对均有成立，
故实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；
（2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.