人教版2024-2025七年级上册数学期末动角问题压轴题专题训练（含解析）

这是一份人教版2024-2025七年级上册数学期末动角问题压轴题专题训练（含解析），共46页。试卷主要包含了如图所示，已知平分平分，已知O是直线上的一点，是直角，已知、共顶点O，平分，平分等内容，欢迎下载使用。
1．如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒．
(1)当时，求的度数．
(2)当与重合时，求的度数．
(3)当时，求的值．
(4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值．
2．如图所示，已知平分平分．
(1)如图， ___________；
(2)将绕O点向下旋转，使，其他条件不变，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由；
(3)若，仍然分别作的平分线，，能否求出的度数？若能，求的度数；若不能，试说明理由．
3．如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分．
(1)若与互补，则角________；
(2)若，则________；
(3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由．
4．如图，直角三角板的直角边放在线段上，点与点重合．，，，．现将直角三角板的顶点沿方向向右匀速运动，同时三角板绕点以/秒的速度顺时针匀速旋转．当点到达点时停止运动，此时三角板恰好旋转一周．设直角三角板运动的时间为秒．
(1)当时，______°；点运动的速度为______/秒；
(2)当点运动到中点时，此时______°；
(3)当平分时，求此时的长度．
5．如图，点O在直线上，射线在与重合的位置同时开始绕点O顺时针旋转，的旋转速度为每秒，的旋转速度为每秒，当与重合时停止旋转，在的右侧作射线使得，设旋转时间为t秒．解答下列问题：
(1)当秒时，则______，______；
(2)当的平分线与射线所组成的时，求旋转时间t，
(3)是否存在一个常数m，使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
6．如图①②，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，如图①②放置．
(1)若，如图①猜想的度数（直接写结果）；
(2)若，如图②猜想的度数（直接写结果）；
(3)若将两三角板重合，不动，将绕O点旋转一周，旋转角为，猜想和的关系，请写出理由．
7．已知O是直线上的一点，是直角．
(1)若平分，当时，如图1，求的度数；
(2)如图2，平分，平分，求的度数；
(3)如图3，若，此时的边与重合，当绕点O逆时针方向旋转，旋转过程中始终平分，请直接写出与之间的数量关系．
8．已知、共顶点O，平分，平分．

(1)如图1，当与重合时，若，，求的度数；
(2)将绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）；
(3)在（1）条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为秒（），当时，的值为 ．（直接写出答案）
9．【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线．

(1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数；
(2)【探究发现】若射线在的内部绕点O旋转，则的度数为______；
(3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写探究过程）．
10．某数学活动小组在做角的拓展练习时，经历了如下过程：

如图，点为直线AB上一点，．
(1)如图1，______°．
(2)小明把一个三角板的直角顶点与图1中的点O重合，并在直线上方旋转．
①如图2，当平分时，求的度数．
②拓展延伸：在三角板绕点O在直线上方旋转的过程中，请直接写出与的数量关系．
11．如图，点O为直线上一点，将一直角三角板的锐角顶点放在点O处，．
(1)若，则______；
(2)若将直角三角板绕点O顺时针旋转一周，旋转速度是每秒
①在直角三角板旋转过程中，当时，求的大小（用含的式子表示）；
②在直角三角板旋转一周过程中，当时开始计时，试求直角三角板旋转到几秒时，直线恰好是的平分线．
12．综合与实践
【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，

【操作发现】如图①，且两个角重合．
（1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ．
【实践探究】
（2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究：
①的补角是哪几个角？ ．
②求的度数．
13．已知是直线上的一点，是直角，平分．

(1)在图1中，若，求的度数；
(2)在图1中，若，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，且保持射线在直线上方，在整个旋转过程中，当的度数是多少时，？
14．已知为直线上一点，过点向直线上方引两条射线，，且平分
(1)若，求的度数．
(2)请在图1中画一条射线，使得平分，并求此时的度数．
(3)将(2)中的射线绕点旋转一定的角度，使得，且，求此时的度数．
15．如图1，直线与相交于点O，，平分，，平分．
(1)图中与互补的角是___________；
(2)求的度数；
(3)如图2，若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请你直接写出旋转时间t的值．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）
16．已知O为直线上一点，射线位于直线的下方且互不重合，在的右侧，，．
(1)如图1，，当平分时，求的度数；
(2)如图2，若，且，求的度数；（用含α的代数式表示）
(3)如图3，点M在射线上，把射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，设运动时间为t，射线是的四等分线，且，请求出在运动过程中的值．
17．如图，，连接．
(1)用尺规作图法在射线上作，在射线上取点D使；
(2)连接，找一点P使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明理由；
(3)设，
①当时，求的大小；
②当绕点O旋转任意角度时，请用表示和之间的数量关系，并说明理由．
18．已知，射线均为内的射线．
(1)如图1，若为的三等分线，则＝ ；
(2)如图2，若，平分平分，求的大小
(3)射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线始终平分，两条射线同时从图1的位置出发，当其中一条射线到达的位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t秒，当t为何值时，.
19．如图，点M，O，N在同一条直线上，将一直角三角板的锐角（）顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．平分，平分．
(1)求的度数；
(2)把三角板绕点O沿逆时针方向旋转，当转到射线上时停止，若在旋转过程中，，同时在内部有一条射线，使得，试探究在旋转过程中，射线始终是哪个角的平分线？
20．已知，平分．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，和有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．
参考答案：
1．(1)；
(2)；
(3)的值为19或29；
(4)的值为15或20或30．
【分析】本题考查了角度计算问题和角的平分线的定义，熟练掌握角的平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键．
（1）利用，直接计算即可；
（2）先用表示出和，当与重合时，，求出的值即可解答；
（3）由（2）知，当时，与重合，分2种情况①；②，再结合列出等式，求解即可；
（4）由角的平分线的定义，分3种情况①平分；②平分；③平分，再结合列出等式，求解即可．
【详解】（1）解：当时，，，
，
的度数为．
（2）由题意得，，，
当与重合时，，
即：，
解得：，
，
的度数为．
（3）由（2）知，当时，与重合，
下面分2种情况讨论：
①若，则，
即：，
解得：；
②若，则，
即：，
解得：；
综上所述，的值为19或29．
（4）由题意得，分3种情况讨论：
①若平分，则，
解得：；
②若平分，则，
，
，
解得：；
③若平分，则，
，
，
解得：；
综上所述，的值为15或20或30．
2．(1)45
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的以求出与的度数，然后相减即可求出的度数；
（2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出与的度数，然后相减即可得到的度数；
（3）根据前两题的求解思路把具体数据换为、，然后整理即可得出规律．
本题考查了角的计算，角平分线的定义，读懂题意，看懂题目图形找准解题思路是解题的关键，此类题目通常都是各小题都用同一个解题思路，所以准确确定思路比较关键．
【详解】（1）解： ，，
，
平分，平分，
，
，
；
（2）解：能．过程如下：
，，
，
、分别平分，，
，
，
；
（3）解：能．过程如下：
，，
，
、分别平分，，
，
，
，
即
3．(1)；
(2)；
(3)存在，的值为或．
【分析】（）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据与互补，即可得出，然后求解即可；
（）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据角平分线的定义及，即可得出，然后求解即可；
（）分情况画出图形讨论即可求解；
本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角与补角的定义，利用分类讨论的思想求解及掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵点，，在同一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）如图，
∵点，，在同一条直线上，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）存在，
∵与互余，
∴，
∵，平分，
∴，
如图，
∵，
∴，
解得；
如图所示，
∵，
∴，
解得：，
综上所述，的值为或．
4．(1)，
(2)
(3)为或．
【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义，角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义，理解题意是解本题的关键；
（1）先求解线段，再求解运动时间，以及C的运动速度；
（2）先求解点运动到中点时的运动时间，从而可得答案；
（3）分两种情况画出图形，利用角平分线的含义求解运动时间t，再利用线段的和差可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵三角板恰好旋转一周．
∴，
当时，，
∴点运动的速度为（/秒）．
（2）∵，当点运动到中点时，
∴，
∴；
（3）如图，当平分时，
∴，，
∴，
∴；
如图，当平分时，
∴，
∴
∴；
综上：为或．
5．(1)，
(2)15或3
(3)存在，或-4
【分析】本题考查角度计算，角平分线定义，解一元一次方程．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）分情况讨论并列式解出即可；
（3）分两种情况讨论并分别列式求值即可．
【详解】（1）解：∵的旋转速度为每秒，的旋转速度为每秒，当秒时，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：如图，由题意得，，
，的平分线是，
，
①当时，，
，
②当时，，解得；
（3）解：如图，由题意得，，
①当射线在与之间时，
，，
，
要使的值在一定时间范围内不随t的改变而改变，
，，
②当射线在与之间时，
，
，
要使的值在一定时间范围内不随t的改变而改变，
，，
综上所述：存在一个常数m，使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变，则或．
6．(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算：
（1）求出，即可得到；
（2）同（1）求解即可；
（3）分图①，图②，图③三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图①所示，∵，
∴，
∴；
如图②所示，∵，，
∴；
如图③所示，∵，
∴，
∴；
综上所述，．
7．(1)
(2)
(3)当时，；当0时，
【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，角的动态定义的理解，熟练的利用角的和差运算进行计算是解本题的关键．
（1）先求解，再利用角平分线的定义可得答案；
（2）先证明，，再利用角的和差运算可得答案；
（3）①当时，如图，由题意可得：，表示，可得；②当时， 由题意可得：，表示，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，是直角．
∴，
∵平分，
∴．
（2）∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）①当时，；理由如下：如图，
由题意可得：，
∴，
∵始终平分，
∴，
∴，
∴；
②当时，，理由如下：
由题意可得：，
∴，

∵始终平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．(1)10度
(2)
(3)5或75
【分析】（1）根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案；
（2）根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案；
（3）分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案；
【详解】（1）解：如图1，

∵平分，平分，与重合，
∴，，
∴；
（2）如图2，

∵平分，平分，
∴，，
∴
＝
＝
＝
＝
＝，
∵绕点O逆时针旋转一个角，
∴，
∵，
∴；
（3）①当时，如图3，

由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：；
②当时，如图4，

由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
③当时，如图5，

由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
④当时，如图6，

由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：；
综上，t的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义．本题是探究型题目，利用类比的方法解答是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查角的和差倍分，角平分线的定义，第三问需分情况讨论：
（1）根据角的和差关系求出，再根据角平分线的定义求出，，即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得，，代入，可得；
（3）分两种情况：当在三角形内部时，根据角的和差关系，结合可得；当在三角形外部时，根据角的和差关系，结合可得，即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
射线分别是和的角平分线，
，，
；
（2）解：射线分别是和的角平分线，
，，
，
故答案为：；
（3）解：分两种情况：
当在三角形内部时，如下图所示：
射线分别是和的角平分线，
，，
，
，
，
，
；
当在三角形外部时，如下图所示：
射线分别是和的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
综上可知，的度数为或．
10．(1)60°
(2)①的度数为、②当直角三角板的边在的外部时：；当直角三角板的边在的内部时：
【分析】本题主要考查余角、补角及角平分线的定义，解决本题的关键是牢记这些知识点并灵活运用，在最后一问一定要根据的位置进行分类讨论．
（1）根据补角的定义即可求得；
（2）①先求出的度数，再根据角平分线定义求出，最后根据平角的定义即可求得答案；
②根据在的左右两侧进行分类讨论．
【详解】（1）解：（1），
．
故答案为：60．
（2）①，
，
平分，
，
，
．
②若在的左侧时（图，
，
，
，
，
，
；
若在的右侧时（备用图），
，，
，
，
；
综上所述：或．
11．(1)80
(2)①；②240秒或600秒
【分析】本题考查动角问题，角平分线的定义和性质，几何中角度的计算，平角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质并灵活运用．
（1）根据平角的定义即可得到结论；
（2）根据平角的定义及角平分线的定义分两种情况讨论，即可得到结论．
【详解】（1）解：，，
，
故答案为：80；
（2）解：①由题意，知．
点O为直线上一点，
．
，，
；
②如图1，当时，．
当直线正好是的平分线，有两种情况：
Ⅰ．如图2，此时边旋转了．
（秒），
Ⅱ．如图3，此时边旋转了．
（秒）．
综上所述，直角三角板旋转到240秒或600秒时，直线恰好是的平分线．
12．（1），2，和；（2）①，，；②
【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的运算、余角和补角的定义：
（1）根据旋转的性质得，进而可得角平分线的答案，根据，，进而可求解；
（2）①根据旋转的性质及角度之间的计算找出与相加等于的角即可；②利用角度之间的计算即可求解；
熟练掌握角度之间的计算，理解平角、余角和补角的定义是解题的关键．
【详解】解：（1）由旋转的性质得：，
，
，
，
平分，
，，
的余角有2个（本身除外），分别是和，
故答案为：；2；和；
（2）①，，
，
，
的补角是，
，
，
的补角是，
，
的补角是，
综上所述，的补角分别是、、，
故答案为：、、．
②∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
13．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可；
（2）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可；
（3）分点在直线上方和下方，两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵是直角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）同法（1）可得：，
即：；
（3）设，则，
∵平分，
∴，
①当点在直线上方时：
，
∵，
∴，
解得：；
②当点在直线下方时：
，
∵，
∴，
解得：；
综上：当的度数是或时，．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的计算．正确的识图，理清角之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．
14．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据平角的定义，结合已知条件得出，然后根据角平分线的定义，即可求解．
（2）由角平分线的定义得出，，．
（3）当射线在内部时，设，则，，根据平角的定义列等式求出结果即可，当射线在外时，同理可得结论．
【详解】（1）解：∵，且，
∴，
∵平分，
∴；
（2）如图所示，即为所求
∵平分，平分，
∴，，
∴．
（3）当射线在内部时，如图，设，
根据题意得．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴．
解得：．
∴．
∴．
当射线在外时，如图
∵，
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
15．(1)和
(2)
(3)1或13或25
【分析】（1）根据补角的定义，进行判断即可；
（2）利用求出，利用角平分线求出，求出，求出，角平分线，求出，即可得解；
（3）分平分，平分，平分三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴互补的角是：和；
故答案为：和；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：①当平分时，
∵，
∴，即：，
∴，
∴；
②平分时，
则：，
∴
∴；
③当平分时：
则：，
∴，
∴点旋转的角度为：，
∴；
综上：的值为：1或13或25．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，进而求出，再根据平角的定义即可得到答案；
（2）根据，求出，则；
（3）先求出，再分当时，如图3-1所示，当12