2023-2024学年河南省漯河市召陵区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年河南省漯河市召陵区八年级上学期期末数学试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形是杭州亚运会部分比赛项目的图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cmB．2cm，2cm，3cm
C．3cm，3cm，2cmD．2cm，3cm，6cm
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x2＝x5B．（x3）2＝x5
C．（x+1）2＝x2+1D．（2x）2＝2x2
4．（3分）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB＝2BFB．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BED．CD⊥BE
5．（3分）八角帽又称“红军帽”，是红军的象征，也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一，其帽顶近似正八边形．正八边形的一个内角的大小为（ ）
A．150°B．140°C．135°D．120°
6．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（m，3）与点B（2，n）关于y轴对称，则m+n的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．3
7．（3分）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠AFB＝∠DECC．AB＝DCD．AF＝DE
8．（3分）已知，如图，△ABC中，∠ABC＝48°，∠ACB＝84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为（ ）
A．45°B．48°C．60°D．66°
9．（3分）小明乘出租车去体育场，有两条线路可供选择，线路一的全程为25km，但交通比较拥堵；线路二的全程为30km，平均车速比走线路一时的平均车速高80%，因此能比走线路一少用10min到达．若设走线路一时的平均速度为x km/h，根据题意可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝10m，BC＝8m，CD＝12m，点E是AB边的中点．小狗汪汪从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿CD向点D跑，若能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则妞妞的运动速度为（ ）
A．B．
C．2m/s或D．2m/s或
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若分式的值为零，则x的值为 ．
12．（3分）分解因式：3x2+6x+3＝ ．
13．（3分）已知A＝2x，B为多项式，小明在计算B+A时，把B+A看成了B×A，结果为3x3﹣2x2﹣2x，则B+A的正确结果为 ．
14．（3分）如图在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝8，AD⊥BC，P为AD上的一动点，E在AB上，则PE+PB的最小值为 ．
15．（3分）如图BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB于F，下列结论：
①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BDC＝180°；
③AD＝AE＝EC；④AB∥CE；
⑤BA+BC＝2BF．其中正确的是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）（1）用简便方法计算：3.14×5.52﹣3.14×4.52；
（2）分解因式：1﹣a2+2ab﹣b2．
17．（8分）小丽解分式方程＝+1的过程如下：
解：去分母，得l﹣x＝1+（x﹣4）…①
去括号，得1﹣x＝1+x﹣4…②
移项，得﹣x﹣x＝1﹣4﹣1…③
合并同类项，得﹣2x＝﹣4…④
系数化为1，得x＝2…⑤
（1）请指出她解答过程中从第 步开始出现错误（填序号）；
（2）写出正确的解答过程．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（﹣4，1），B（﹣3，5），C（﹣1，2）均在正方形网格的格点上．
（1）画出将△ABC沿x轴方向向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
（3）在x轴上找一点M，使得MA+MC的值最小．（保留作图痕迹）
19．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．
20．（10分）“成都成就梦想”，第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日在成都举行，某特许经销商试销售A，B两类大运会纪念品，若A类纪念品每个进价比B类纪念品每个进价少5元，且用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同．求A，B两类纪念品每个进价分别是多少元？
21．（10分）如图①，正方形ABCD是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．
（1）利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出（a+b）2、a2+b2、ab之间的关系式，这个关系式是 ；
（2）若m满足（2024﹣m）2+（m﹣2023）2＝4047，请利用（1）中的数量关系，求（2024﹣m）（m﹣2023）的值；
（3）若将正方形EFGH的边FG、GH分别与图①中的PG、MG重叠，如图②所示，已知PF＝8，NH＝32，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°．
（1）求证：BF平分∠ABE；
（2）连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°；
（3）在（2）的条件下，当BE＝3，AG＝4.5时，求线段AB的长．
23．（11分）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法l：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．
、
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形是杭州亚运会部分比赛项目的图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
2．（3分）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cmB．2cm，2cm，3cm
C．3cm，3cm，2cmD．2cm，3cm，6cm
【分析】直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
【解答】解：A．∵3+4＝7＞5，
∴能组成三角形，不符合题意；
B∵2+2＞3，
∴能组成三角形，不符合题意；
D．∵2+3＝5＞3，
∴能组成三角形，不符合题意；
C．∵2+3＝5＜6，
∴不能组成三角形，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3•x2＝x5B．（x3）2＝x5
C．（x+1）2＝x2+1D．（2x）2＝2x2
【分析】把原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、x3•x2＝x5，此选项正确；
B、（x3）2＝x6，此选项错误；
C、（x+1）2＝x2+2x+1，此选项错误；
D、（2x）2＝4x2，此选项错误；
故选：A．
【点评】此题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB＝2BFB．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BED．CD⊥BE
【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
【点评】考查了三角形的角平分线、中线和高，根据是熟悉它们的定义和性质．
5．（3分）八角帽又称“红军帽”，是红军的象征，也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一，其帽顶近似正八边形．正八边形的一个内角的大小为（ ）
A．150°B．140°C．135°D．120°
【分析】多边形的外角和等于360°，正多边形的每个内角相等，每个外角相等，并且每个内角和每个外角互补，由此即可求解．
【解答】解：∵正八边形的一个外角的度数是360°÷8＝45°，
∴正八边形的一个内角的大小为180°﹣45°＝135°．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个内角相等，每个外角相等，并且每个内角和每个外角互补．
6．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（m，3）与点B（2，n）关于y轴对称，则m+n的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．3
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（m，3）与点B（2，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣2，n＝3，
则m+n＝﹣2+3＝1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
7．（3分）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠AFB＝∠DECC．AB＝DCD．AF＝DE
【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
8．（3分）已知，如图，△ABC中，∠ABC＝48°，∠ACB＝84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为（ ）
A．45°B．48°C．60°D．66°
【分析】根据角平分线的性质定理证得PF＝PH，PF＝PG，进而得出PH＝PG，从而判定PA平分∠CAD，再利用外角的性质求出∠CAD即可．
【解答】解：作PF⊥BE于点F，PH⊥BD于点H，PG⊥AC于点G，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴PF＝PH，PF＝PG，
∴PH＝PG，
∵PH⊥BD，PG⊥AC，
∴AP平分∠CAD，
∵∠ABC＝48°，∠ACB＝84°，
∴∠CAD＝∠ABC+∠ACB＝48°+84°＝132°，
∴∠PAC＝∠CAD＝66°．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线．
9．（3分）小明乘出租车去体育场，有两条线路可供选择，线路一的全程为25km，但交通比较拥堵；线路二的全程为30km，平均车速比走线路一时的平均车速高80%，因此能比走线路一少用10min到达．若设走线路一时的平均速度为x km/h，根据题意可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据走走线路一及走线路二时平均速度间的关系，可得出走线路二时的平均速度为（1+80%）x km/h，利用时间＝路程÷速度，结合走线路二比走线路一少用10min，可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵走线路二的平均车速比走线路一时的平均车速高80%，且走线路一时的平均速度为x km/h，
∴走线路二时的平均速度为（1+80%）x km/h．
根据题意得：＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．（3分）现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝10m，BC＝8m，CD＝12m，点E是AB边的中点．小狗汪汪从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿CD向点D跑，若能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则妞妞的运动速度为（ ）
A．B．
C．2m/s或D．2m/s或
【分析】根据三角形全等性质分BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ两类讨论求解即可得到答案．
【解答】解：∵AB＝10m，E是AB边的中点，
∴BE＝5m，
∵∠B＝∠C，且△BEP与△CPQ全等，
∴BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ，
当BP＝CQ，BE＝CP时，
∵BE＝5m，BC＝8m，
设运动时间为t，8﹣2t＝5，解得，
∴，
此时妞妞的运动速度为：m/s，
当CP＝BP，BE＝CQ时，，t＝2，
此时CQ＝5，妞妞的运动速度为：，
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的性质，进行分类讨论．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若分式的值为零，则x的值为 3 ．
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到3﹣|x|＝0且x+3≠0，从而得到x的值．
【解答】解：依题意得：3﹣|x|＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．（3分）分解因式：3x2+6x+3＝ 3（x+1）2 ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3x2+6x+3，
＝3（x2+2x+1），
＝3（x+1）2．
故答案为：3（x+1）2．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．（3分）已知A＝2x，B为多项式，小明在计算B+A时，把B+A看成了B×A，结果为3x3﹣2x2﹣2x，则B+A的正确结果为 x2+x﹣1． ．
【分析】先根据小明计算结果得到多项式B，在计算B+A即可．
【解答】解：由B×A，结果为3x3﹣2x2﹣2x，可得B＝（3x3﹣2x2﹣2x）÷2x＝x2﹣x﹣1，
∴B+A＝x2﹣x﹣1+2x＝x2+x﹣1，
故答案为：x2+x﹣1．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是根据已知求出多项式B．
14．（3分）如图在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝8，AD⊥BC，P为AD上的一动点，E在AB上，则PE+PB的最小值为 4 ．
【分析】由等腰三角形的性质可知点C是点B关于AD的对称点，过点C作CE⊥AB于E，连接CE，根据“垂线段最短”可得线段CE的长度即为PE+PB的最小值，根据含30度直角三角形的性质即可求出CE．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点C是点B关于AD的对称点，
过点C作CE⊥AB于E，
连接CE，则CE的长度即为PE+PB的最小值，
∵Rt△ABC中，AC＝8，∠BAC＝30°，
∴CE＝AC＝×8＝4，
故答案为：4.
【点评】本题考查的是最短线路问题及等腰三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质，能够证得线段CE的长度即为PE+PB的最小值是解答此题的关键．
15．（3分）如图BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB于F，下列结论：
①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BDC＝180°；
③AD＝AE＝EC；④AB∥CE；
⑤BA+BC＝2BF．其中正确的是 ①②③⑤ ．
【分析】根据SAS易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，AD＝EC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE＝∠DCE，即③AD＝AE＝EC正确，根据AD＝AE＝EC可求得⑤正确．
【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵BD＝BC，BD＝BC，
∴△ABD≌△EBC（SAS），即①正确；
②∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BDC＝∠BDA+∠BDC＝180°，即②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC，即③正确；
④根据已知条件，可得AB∥CE不一定成立，故④错误；
⑤如图，过E作EG⊥BC于G点，
∵E是BD上的点，
∴EF＝EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），
∴AF＝CG，
∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF，即⑤正确．
故答案为：①②③⑤
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）（1）用简便方法计算：3.14×5.52﹣3.14×4.52；
（2）分解因式：1﹣a2+2ab﹣b2．
【分析】（1）灵活运用提取公因式法和公式法分解因式，即可简便求解；
（2）分组分解，然后根据完全平方公式和平方差公式，进行因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝3.14×（5.52﹣4.52）
＝3.14×（5.5+4.5）×（5.5﹣4.5）
＝3.14×10×1
＝31.4；
（2）原式＝1﹣（a2﹣2ab+b2）
＝12﹣（a﹣b）2
＝（1+a﹣b）（1﹣a+b）；
【点评】本题考查了公式法，提取公因式法进行因式分解，以及因式分解的应用，熟练掌握公式法、提取公因式法，以及正确地分组是本题的关键．
17．（8分）小丽解分式方程＝+1的过程如下：
解：去分母，得l﹣x＝1+（x﹣4）…①
去括号，得1﹣x＝1+x﹣4…②
移项，得﹣x﹣x＝1﹣4﹣1…③
合并同类项，得﹣2x＝﹣4…④
系数化为1，得x＝2…⑤
（1）请指出她解答过程中从第 ① 步开始出现错误（填序号）；
（2）写出正确的解答过程．
【分析】（1）根据等式的两边同乘（x﹣4），即可判断；
（2）根据解分式方程正确的步骤求解即可．
【解答】解：（1）她解答过程中从第①步开始出现错误．
故答案为：①；
（2）去分母，得1﹣x＝﹣1+（x﹣4），
去括号，得1﹣x＝﹣1+x﹣4，
移项，得﹣x﹣x＝﹣1﹣4﹣1，
合并同类项，得﹣2x＝﹣6，
系数化为1，得x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
∴原方程的解为x＝3．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（﹣4，1），B（﹣3，5），C（﹣1，2）均在正方形网格的格点上．
（1）画出将△ABC沿x轴方向向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
（3）在x轴上找一点M，使得MA+MC的值最小．（保留作图痕迹）
【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形即可；
（2）利用在成本和的性质作出图形即可；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接CA′交x轴于点M，连接AM，点M即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作三角形；
由图可知，点B2的坐标为（2，﹣5）；
（3）如图所示，点M即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是周围轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
19．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据角平分线的作法，画出图形即可；
（2）作DH⊥AB于H．只要证明CD＝DH，根据三角形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：（1）∠ABC的平分线如图所示．
（2）作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝3，
∴△ABC的面积＝S△BCD+S△ABD＝BC•CD+AB•DH＝×3BC+3AB＝（BC+AB）＝3×16＝24．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
20．（10分）“成都成就梦想”，第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日在成都举行，某特许经销商试销售A，B两类大运会纪念品，若A类纪念品每个进价比B类纪念品每个进价少5元，且用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同．求A，B两类纪念品每个进价分别是多少元？
【分析】设A类纪念品每个进价是x元，则B类纪念品每个进价是（x+5）元，利用数量＝总价÷单价，结合用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设A类纪念品每个进价是x元，则B类纪念品每个进价是（x+5）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是所列方程的解，且符合题意，
∴x+5＝45+5＝50，
答：A类纪念品每个进价是45元，B类纪念品每个进价是50元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．（10分）如图①，正方形ABCD是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．
（1）利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出（a+b）2、a2+b2、ab之间的关系式，这个关系式是 （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
（2）若m满足（2024﹣m）2+（m﹣2023）2＝4047，请利用（1）中的数量关系，求（2024﹣m）（m﹣2023）的值；
（3）若将正方形EFGH的边FG、GH分别与图①中的PG、MG重叠，如图②所示，已知PF＝8，NH＝32，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．
【分析】（1）由正方形ABCD的面积等于边长的平方，或者等于两个小正方形的面积加两个小长方形的面积，可得关系式；
（2）设2024﹣m＝a，m﹣2023＝b，由完全平方公式可求解；
（3）设正方形EFGH的边长为x，则PG＝x﹣8，NG＝32﹣x，S阴＝S正方形APGM+2S长方形PBNG+S正方形CQGN，代入后利用完全平方公式即可求解．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab，
（2）设2024﹣m＝a，m﹣2023＝b，
则（2024﹣m）（m﹣2023）＝ab，a+b＝1，
由已知得：a2+b2＝4047，
（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴12＝4047+2ab，
∴ab＝﹣2023，
∴（2024﹣m）（m﹣2023）＝﹣2023；
（3）设正方形EFGH的边长为x，则PG＝x﹣8，NG＝32﹣x，
∵S阴＝S正方形APGM+2S长方形PBNG+S正方形CQGN，
∴，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积来得到数学公式．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°．
（1）求证：BF平分∠ABE；
（2）连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°；
（3）在（2）的条件下，当BE＝3，AG＝4.5时，求线段AB的长．
【分析】（1）先利用AE是∠BAD的角平分线得到∠BAD＝2∠BAF，再利用三角形外角性质得到∠FBA+∠BAF＝45°，则2∠FBA+2∠BAF＝90°，接着利用∠EBF+∠FBA+2∠BAF＝90°得到2∠FBA＝∠EBA+∠FBA，所以∠EBF＝∠FBA；
（2）过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，先根据角平分线的性质得到FM＝FN，则根据三角形面积公式得到AB＝BC，接着证明△ABF≌△CBF得到∠AFB＝∠CFB，然后利用∠AFB＝∠CFB＝135°得到∠CFE＝90°，从而得到∠AFC＝90°；
（3）先由△ABF≌△CBF得到AF＝FC，再利用等角的余角相等得到∠FAG＝∠FCE，接着证明△AFG≌△CFE得到AG＝EC＝4.5，所以BC＝BE+EC＝7.5，然后利用△ABF≌△CBF得到AB＝BC．
【解答】（1）证明：∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAD＝2∠BAF，
∵∠BFE＝45°，
∴∠FBA+∠BAF＝45°，
∴2∠FBA+2∠BAF＝90°，
∵AD为BC边上的高，
∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF＝90°，
∴2∠FBA＝∠EBA+∠FBA，
∴∠EBF＝∠FBA，
∴BF平分∠ABE；
（2）证明：过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，
∵BF平分∠ABE，FM⊥BC，FN⊥AB，
∴FM＝FN，
∵S△ABF＝S△CBF，
即AB•FN＝BC•FM，
∴AB＝BC，
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠AFB＝∠CFB，
∵∠BFE＝45°
∴∠AFB＝135°，
∴∠CFB＝135°，
∴∠CFE＝∠CFB﹣∠BFE＝135°﹣45°＝90°，
∴∠AFC＝90°；
（3）解：∵△ABF≌△CBF，
∴AF＝FC，
∵∠AFC＝∠ADC＝90°，∠AGF＝∠CGD，
∴∠FAG＝∠FCE，
在△AFG和△CFE中，
，
∴△AFG≌△CFE（ASA），
∴AG＝EC＝4.5，
∵BE＝3，
∴BC＝BE+EC＝7.5，
∵△ABF≌△CBF，
∴AB＝BC＝7.5．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
23．（11分）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法l：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．
【分析】（1）方法1：在BC上截取BM＝BA，连接DM，证明△ABD≌△MBD（SAS），由全等三角形的性质得出∠A＝∠BMD，AD＝MD，则可得出结论；
方法2：延长AB到N，使BN＝BC，连接DN，证明△NBD≌△CBD（SAS），由全等三角形的性质得出∠BND＝∠C，ND＝CD，证出DN＝DA，则可得出结论；
（2）延长CB到P，使BP＝BA，连接AP，证明△PAC≌△BAD（SAS），由全等三角形的性质得出PC＝BD，则可得出结论；
（3）连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，证明△DFA≌△DEC（AAS），由全等三角形的性质得出DF＝DE，AF＝CE，证明Rt△BDF≌和Rt△BDE（HL），由全等三角形的性质得出BF＝BE，则可得出结论．
【解答】解：（1）方法1：在BC上截取BM＝BA，连接DM，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△MBD中，
，
∴△ABD≌△MBD（SAS），
∴∠A＝∠BMD，AD＝MD，
∵∠BMD+∠CMD＝180°，∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝∠CMD，
∴DM＝DC，
∴DA＝DC；
方法2：延长AB到N，使BN＝BC，连接DN，
∵BD平分∠ABC，
∴∠NBD＝∠CBD，
在△NBD和△CBD中，
，
∴△NBD≌△CBD（SAS），
∴∠BND＝∠C，ND＝CD，
∵∠NAD+∠BAD＝180°，∠C+∠BAD＝180°，
∴∠BND＝∠NAD，
∴DN＝DA，
∴DA＝DC；
（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC＝BD．
理由：延长CB到P，使BP＝BA，连接AP，
由（1）知AD＝CD，
∵∠DAC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC＝AD，∠ADC＝60°，
∵∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝360°﹣180°﹣60°＝120°，
∴∠PBA＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵BP＝BA，
∴△ABP为等边三角形，
∴∠PAB＝60°，AB＝AP，
∵∠DAC＝60°，
∴∠PAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，
即∠PAC＝∠BAD，
在△PAC和△BAD中，
，
∴△PAC≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，
∵PC＝BP+BC＝AB+BC，
∴AB+BC＝BD；
（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC﹣AB＝2CE．
连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠FAD＝180°，
∴∠FAD＝∠C，
在△DFA和△DEC中，
，
∴△DFA≌△DEC（AAS），
∴DF＝DE，AF＝CE，
在Rt△BDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BDF≌和Rt△BDE（HL），
∴BF＝BE，
∴BC＝BE+CE＝BA+AF+CE＝BA+2CE，
∴BC﹣BA＝2CE．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．