北京市平谷区2023-2024学年高一（上）期末教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份北京市平谷区2023-2024学年高一（上）期末教学质量检测数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．
1. 已知集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以.
故选：D.
2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A项，由于函数在上单调递增，
所以在上单调递减，故A项错误；
B项，由于在上是减函数，故B项错误；
C项，由于在上单调递增，故C项正确；
D项，由于是对称轴为，开口向上的二次函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，故D项错误.
故选：C.
3. 若，，则一定有（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据，有，由于，
两式相乘有.
故选：A.
4. 设，且，则（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】A
【解析】因为，且，则或.
故选：A.
5. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，，则.
故选：B.
6. 如果函数的一个零点是，那么可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，解得，对比选项可知只有，符合题意.
故选：D.
7. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意.
故选：B.
8. 函数的定义域为．则其值域为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，所以，.
故选：C.
9. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，
所以或，，
即或，
因此题中应是必要不充分条件．
故选：B．
10. 已知函数为坐标原点，若对于图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转后，点落在的图象上，则实数（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】设图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转，
如图，设为旋转后的点，过作于，过作于，
则易知，得到，
所以点，依题有，得到，所以.
故选：B.
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.
11. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】由题意函数有意义，当且仅当，解得，
即函数的定义域为.
12. 能说明“若函数满足，则在内不存在零点”为假命题的一个函数是______．
【答案】
【解析】可举函数，可得，即有，
但在内存在零点1，可说明“若定义在R上的函数 满足，
则在区间上不存在零点”假命题.
13. 已知函数，那么当______时，函数取得最小值为______．
【答案】
【解析】因为，又，所以，
当且仅当，即时，取等号.
14. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则____________．
【答案】
【解析】由余弦值的定义得，则.
15. 已知函数，用表示的最小值，记为，那么的最大值为______．
【答案】
【解析】由，得到或，在同一坐标系中，
画出的图像，如图所示，
因为，由图知，当时，取到最大值为.
16. 设，函数，当时，的值域是______；若恰有一个零点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】当时，，
当时，，当时，，
所以此时的值域是；
当时，若，则令，解得，
若，则，
所以此时恰有一个零点，故，满足题意，
当时，若，则，
若恰有一个零点，则只能当时，有解，
即当时，有解，所以，
综上所述，若恰有一个零点，则的取值范围是.
17. 在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论：
①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多；
②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数相等；
③在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆；
④在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆．
依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】②③④
【解析】对于①，因为，
令；
则在内单调递减，在内单调递增，
所以先增后减，命题①错误；
对于②，因为是二次函数，函数图象的对称轴是，所以，
所以，命题②正确；
对于③，因为的最小值是，
所以的最大值是，
即在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆，命题③正确；
对于④，因为，，
且，
所以的最小值为，
即在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆，命题④正确.
综上，所有正确结论的序号是②③④.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）当时，求的最大值与最小值．
解：（1）因为，
所以.
（2）由，得到，
所以函数的单调递减区间为.
（3）当，，令，则，
由的图像知，
当时，最小为，当时，最大为，
所以的最大值为，最小值为.
19. 设集合．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）由，得到，即，
由，得到，即，
所以.
（2）由（1）知，由，得到，
又，由图知，.
20. 已知函数如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的最大值：
（3）将的图象向右平移2个单位长度后得到函数的图象，直接写出不等式的解集．
解：（1）由图知，函数过点，所以，
解得，
所以的解析式为.
（2）由（1）知，二次函数的对称轴为，开口向下，
所以函数在处取到最大值为.
（3）因为，所以，
在同一直角坐标系中，作出和的图像，如图所示，
当时，，，
由，解得，所以不等式的解集.
21. 已知函数的图像过原点，且．
（1）求实数的值；
（2）若，写出的最大值；
（3）设，直接写出的解集．
解：（1）由题意，解得.
（2）由（1）可知，若，则，
所以的最大值为.
（3）由题意不等式等价于，且注意到，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象如图所示：
由图可知：不等式的解集为.
22. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）直接写出的值；
（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若函数在区间上恰有1个零点，求实数的取值范围．
条件①：当时，函数取得最小值；
条件②：为函数的一个零点．
解：（1）由对称性可知函数的周期满足，解得.
（2）若选条件①：当时，函数取得最小值，
则，解得，又，
所以只能，由图可知，解得，
所以此时函数的解析式为；
若选条件②：为函数的一个零点，
由图可知，则当时，函数取得最小值，
这又回到了条件①，由以上可知此时同样有，
综上所述，无论是选条件①还是选条件②，函数的解析式均为.
（3）由题意结合题图可知，在（2）的条件下，若函数在区间上恰有1个零点，
则该零点只能是，
所以，即实数的取值范围为.
23. 已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集．
（1）若，写出的所有子集；
（2）若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值．
解：（1）当时，，
所以的所有子集为：.
（2）当时，取，
因为，所以是子集，此时符合题意；
若，设且，
根据题意，，其中，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，与矛盾，
综上所述，只有满足题意.