辽宁省沈阳市省五校协作体2023-2024学年高一（上）1月期末数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省沈阳市省五校协作体2023-2024学年高一（上）1月期末数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】“，”的否定为.
故选：C.
2. 集合，则间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，得，则，
，得，则，所以.
故选：B.
3. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】，
又，故，解得.
故选：A.
4. 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ）
A. 3，7B. 5，13C. 2，12D. 5，12
【答案】D
【解析】由题意可得：数据，，，的平均数为，
方差是.
故选：D.
5. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当时，，而函数在上单调递增，
又是增函数，
因此函数在上单调递增，，
即函数在上的值域为，
当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此，
而当时，，必有，解得，
所以a的取值范围是.
故选：C.
6. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A，因为，，且，
所以，
当且仅当时取等号，故，故选项A错误；
对于B，，
当且仅当时取等号，故选项B错误；
对于C，因为，即，故，
所以，故选项C错误；
对于D，因，当且仅当时取等号，
即，故选项D正确.
故选：D.
7. 已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】由题知是奇函数，则有：，fx关于对称，
且，x>1时，，
恒过，且关于对称，
方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和，
根据对称性及解析式画出图象如下：
由图像可知有5个交点，其中一个交点横坐标为1，
另外四个，两两分别关于对称，故五个交点横坐标和为，即所有根之和5.
故选：C.
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
故，，，
即，故.
故选：D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A. B. 与互斥
C. 与相互独立D. 与互为对立
【答案】ACD
【解析】设2个白球为，2个黑球为，
则样本空间为：
，共12个基本事件.
事件，共4个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，
共8个基本事件，
对于A，由，故A正确；
对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误；
对于C，因为，，，
则，故事件A与B相互独立，故C正确；
对于D，因为，，所以事件A与D互为对立，故D正确．
故选：ACD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数定义域为，则函数f2x+1的定义域为0，1
B. 若定义域为R的函数值域为，则函数f2x+1的值域为0，2
C. 函数与的图象关于直线对称
D. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则x∈0，+∞时，函数解析式为
【答案】AC
【解析】A，函数定义域为，，则满足，解得，
即的定义域为，，A正确；
对于B，定义域为的函数的值域为，，则的值域也是，，
B错误；
对于C，与互为反函数，图象关于对称，C正确；
对于D，当时，，且为奇函数，
设，，D错误．
故选：AC．
11. 已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 点P一定内部B.
C. D. 点P在直线AD上
【答案】ABC
【解析】由，所以，
设、分别是、的中点，所以，
于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，
故A正确，D错误；
又，所以，则，
故B正确；
由A可知，，且，
所以，，即，故C正确.
故选：ABC.
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增B. 是偶函数
C. 的最小值为D. 方程有解
【答案】ABD
【解析】因为，
所以，所以为偶函数，B正确；
当时，，
令，
则，(也可利用复合函数的单调性说明的单调性)
故与均增函数，
所以在区间上单调递增，A正确；
由偶函数对称性可知，在区间上单调递减，
所以，C错误；
令，所以，
由零点存在性定理可知方程有解，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共40分，每小题5分，共20分.
13. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】解不等式得，
记，
因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
所以，解得，所以的取值范围为.
14. 化简式子的值为__________.
【答案】
【解析】
.
15. 在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】等腰梯形ABCD中，，，，
故梯形的高为，
根据题意，以为坐标原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
则，，设，其中，
，
则，
则，
则当时，取得最小值27，
则的最小值．
16. 已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】构造函数，
依题意，的定义域是，是偶函数，
所以，所以是偶函数，
由于对，，，
则，
所以在上单调递增，则在上单调递减.
对于，且，
若，可得，即，可得；
若，可得，即，可得；
所以不等式的解集为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
解：（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，
则，，（k=1，2，3），记“甲获胜”为事件C，
则
.
（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D.
则
.
18. 如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.
（1）试用和表示，
（2）若，，求的最小值.
解：（1）由题意，为的中点，所以，
又为的中点，
所以；
，即，
；
故，.
（2）由，，，
得，，
所以，
因为E，F，G三点共线，则，
则，
当且仅当，即，时取等号所以的最小值3.
19. 已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为4，设gx=fx-ax.
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间0，2上的最小值；
（3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围.
解：（1）因为，
则的图象关于直线对称且在x轴上截得的线段长为4，
的图象与x轴的交点分别为，，所以设.
该函数的图象经过点，解得，所以.
（2）因为，其对称轴方程为，
当，即时，.
当，即时，，
当，即时，，
综上所述，当时，，
当时，，
当时，.
（3）若对于任意，总存在，使得成立，
等价于，
函数，
因为，所以，所以当时，取得最小值，
当时，，所以，不成立，
当时，，所以，
解得或，所以，
当时，，所以，解得，所以，
综上所述，a的取值范围是.
20. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求，的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.
解：（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，
解得，
所以前两组的频率之和为，即，所以.
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以第65百分位数在65和75之间，即为.
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，
第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况，
其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，
共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为.
21. 已知函数为幂函数，且在上单调递增.
（1）求m的值，并写出的解析式；
（2）解关于x的不等式，其中.
（3）已知，，且.求.
解：（1）因为为幂函数，且在0，+∞上单调递增，
则，解得，所以.
（2）函数为奇函数且在0，+∞上单调递增，则在R上递增，
由，则，
故，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为.
（3）且，则，即，
则，
考察函数，由于函数均在1，+∞单调递增，且值为正，
故在在1，+∞单调递增，
故 ，则，，
则.
22. 已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数.
（1）解关于x的不等式；
（2）若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围；
（3）设函数，.当时，求的最大值.
解：（1）依题意得，则，所以，
所以原不等式的解集为.
（2）由题意得，所以，
所以的“伴随”函数为.
依题意，对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，
即当时，恒成立①，
由，对任意的总成立，结合题设条件有，在此条件下，
①等价于当时，恒成立，即，
即.
设，要使当时，hx