辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三（上）12月月度质量监测数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三（上）12月月度质量监测数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设集合，
可得：，且，故.
故选：C.
2. 已知i是虚数单位，则复数，，若是实数，则实数a的值为（ ）
A. B. 2C. 0D.
【答案】A
【解析】因为，
因为是实数，则，解得.
故选：A.
3. 不等式成立的一个充分不必要条件是( )．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不等式化为，
即，解得
不等式成立的充要条件是
所以不等式成立的一个充分不必要条件是，
故选A.
4. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（ ）
A. 八层B. 十层C. 十一层D. 十二层
【答案】D
【解析】设该塔共有层，
则，
即，
解得或（舍），
即该塔共有层.
故选：D
5. 已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S，体积为V，则当取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，为圆锥底面的中心，则底面圆，
则即为圆锥母线与底面所成的角，
设圆锥的半径为，则圆锥的高为，
所以，
当且仅当即，
则母线与底面所成角的正弦值为.
故选：A.
6. 已知函数，将图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】依题意，为奇函数，
则，即，
由于，所以，，
因为，则，
由于在上单调递增，
可得，解得，所以的最大值为.
故选：C.
7. 已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为直线与圆相切，设圆的半径为r，
则，
所以圆的标准方程为.
故选：A.
8. 如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（ ）

A. 对于任意点，平面
B. 直线被球截得的弦长为
C. 过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
D. 当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】C
【解析】对于A，根据已知条件圆为以为圆心，半径的圆；在棱上移动，
当与点重合时，平面即为平面，因为在直线上，
所以平面，所以与平面相交，A错误；
对于B，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
则，，，
设直线与直线夹角为，则，
由此可知，连结，过作直线的垂线，垂足为，
则在中，有，解得，
设直线被球O截得的弦长为，则，B错误；
对于C，过直线的平面截球O所得的所有截面圆半径最小时，有垂直于过的平面，
此时圆的半径为，圆的面积为，C正确；
对于D，根据题意当为的中点时，
过，，的平面截该正方体所得截面为正六边形，，
在中，，所以边长，
所以截面面积为，D错误.
故选：C
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABD
【解析】对于A，由于，故数列是递增数列；
对于B，由于，故数列是递增数列；
对于C，由于，，故数列不是递增数列；
对于D，由于，
当时，，，即，
又，所以数列是递增数列．
故选：ABD.
10. 已知，.若，则（ ）
A. 的最小值为9B. 的最小值为9
C. 的最大值为D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】由题意知，.
A.，
当，即时，等号成立，
所以的最小值是4，故A不正确；
B. ，
当，时，等号成立，
所以的最小值为9，故B正确；
C.由于，，故，
当时等号成立，即时等号成立，
所以的最大值为，故C正确；
D.，
当且仅当时，即时，等号成立，
但，所以等号不能成立，故D不正确.
故选：BC.
11. 已知内角对边分别为a,b,c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为锐角三角形
D. 若的三角形有两解
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，则由正弦定理可得，
，所以，即，故A正确；
对于B，由余弦定理得，
化简得，故为等腰三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理，
因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误；
对于D，若，则由正弦定理得，
因为，所以三角形有两解，故D正确；
故选：ABD.
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若函数是奇函数，则________.
【答案】
【解析】若，则，故，
而，
所以.
故答案为：
13. 在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的面积是_____，体积是_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
由三视图可知，该几何体的直观图如下图所示：
该几何体为直三棱柱，正视图为等腰直角三角形，且斜边长上的高为，斜边长为，
故该“堑堵”的正视图的面积是，体积为.
故答案为：；.
14. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点，，若点，且，则直线的斜率为________.
【答案】
【解析】设直线的斜率为，，则直线，，
联立方程，消去得，，
则，，
故，，
设直线的倾斜角为，则，
则，
故，
令，解得．
故答案为：．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数.
（1）函数取得最大值或最小值时的x组成集合A，将集合A中的所有x的值，从小到大排成一数列，记为，求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
解：（1）由，
所以且时，最小值为，且时，最大值为，
结合题意知，，故
（2）由，
所以.
16. 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数，
（1）求出这个常数；
（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.
解：（1）因为
，
故常数为；
（2）推广：当时，．
证明：因为，则，
．
17. 在如图所示的五面体中，四边形为直角梯形，，平面平面，，是边长为2的正三角形.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面．
证明：（1）因为四边形为直角梯形，
所以AB//CD，又平面CDEF，平面CDEF，
所以AB//平面CDEF，
又平面BAEF，平面平面，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，依题意易知，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，所以，
所以，又，所以平面，
又平面，所以，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，，由（1）有：，所以，
在和中， ，，
又，所以，所以.
因为， 平面，所以平面.
18. 已知双曲线的焦点为，且过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作斜率分别为直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
解：（1）由题意知，
解得，
所以双曲线的方程是；
（2）直线的方程为，设．
由，得，
所以，
所以，所以，
所以，
同理可得，
因为，所以，即，
当且时，，
所以直线的方程为，
，
，
，
，
所以，
所以直线过定点；
当或时，直线的方程为，所以直线过定点．
综上，直线过定点．
19. 已知函数为自然对数的底数
（1）求在处的切线方程；
（2）当时，，求实数的最大值；
（3）证明：当时，在处取极小值.
解：（1）
，且，则
所以在处的切线方程为
（2）当时，，即
当时，，
当时，，
即，
令，
则，
因为，所以
当时，，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以，所以
所以实数的最大值为.
（3）证明：令，
若，当，和都单调递增，所以单调递增，
①当，即时，则，则在上单调递增，而，
所以当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以在处取极小值；
②当，即时，，
，单调递增，所以存在，使得，
当时，，则在上单调递增，而，
所以当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以在处取极小值.
综上，当时，在处取极小值.；
；
.