河南省TOP二十名校2025届高三（上）调研（12月）数学试卷（解析版）

这是一份河南省TOP二十名校2025届高三（上）调研（12月）数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了 已知，，，则， 过抛物线等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若：，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】.
故选：B.
2. 已知集合，或，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意，.
故选：A
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. 或B.
C. 2D. 4
【答案】D
【解析】，故，解得.
故选：D
4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数在上单调递增，
而函数在区间上单调递增，
则有函数 在区间 上恒为正数且单调递增，
因此 ，
解得 ，
实数的取值范围是 .
故选：C.
5. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，即，
，即，
所以.
故选：D.
6. 已知函数是定义在上的图象∣连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，可知，
又因为为奇函数，且连续不断，则，则，
且，可知，
由奇函数对称性可知：时，，
且，，
所以在定义域的值域为.
故选：B.
7. 如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图知，，，，所以排除A，B；
设的图象在处的点为，
显然的斜率小于在处的切线斜率，
则，且，可转化为，
所以的值最小，排除D.
故选：C.
8. 过抛物线：的焦点作互相垂直的两条直线，使得其中的一条与相交于，，另外一条与相交于，，设，分别是线段，的中点，则的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线的斜率为，则的斜率为，
则直线的方程为，
由 消去并整理，得.
设，，
则，所以，
同理，
所以 ，
因为 ，
所以 的面积，
当且仅当时，等号成立，故的面积的最小值为4 .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，其中i为虚数单位，若，，为纯虚数，为实数，则（ ）
A. B. 的虚部为
C. D.
【答案】ACD
【解析】因为，
且，可得，
对于A：，故A正确；
对于B：的虚部为，故B错误；
对于C：因为为纯虚数，可得，即，故C正确；
对于D：因为实数，可得，即，故D正确；
故选：ACD.
10. 函数的部分图象如图所示，直线与图象的其中两个交点的横坐标分别为，，则（ ）
A.
B.
C. 图象关于轴对称
D. 在上的最小值为
【答案】ABD
【解析】A：由题意得的周期为，又，
所以，故 A 正确；
B：因为，所以，又
所以，又，观察图象可得，
所以，故B正确；
C：由B知，
所以，
所以 的图象不关于轴对称，故C错误；
D：由 ，得，
因为在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知，，，是坐标平面上的两个动点，为正常数，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（ ）
A. 关于轴、轴均对称
B. 当点不在轴上时，
C. 当时，点的纵坐标的最大值大于1
D. 当，有公共点时，
【答案】ACD
【解析】设，由，得，
将代入得到，
将将代入得到，
所以关于轴、轴均对称，A正确；
当不在轴上时，与不共线，可以作为一个三角形的三个顶点，
所以，B错误；
当时，，
当时，可得：，
解得：，此时，
即，故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确；
由，得为椭圆，易得方程为，
所以，代入，
得，
所以，因为，所以，
解得：或舍去，D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知为等差数列前项和，若，，则______.
【答案】16
【解析】由，，
可得：，解得：，
所以，
故答案为：16
13. 在平面直角坐标系xOy中，若点，，，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】设，因为，所以，
化简，得，即的轨迹是圆，
因为点在圆的内部，所以，
所以.
故答案为：.
14. 从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为，，，，若，则球的表面积为______.
【答案】
【解析】由圆的切线长定理得，，
因为，，，则，，
即，可知，
所以为直角三角形，其外心为的中点，
又因为，可知点在平面内的投影为的外心，
即平面，所以必在的延长线上，
且A为切点，则，由射影定理得，
且，即，可得，
则，所以球的表面积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，为AC边的中点，求BD的长.
解：（1），由正弦定理得，
由于，
故，
所以，
因为，所以，故，，
因为B∈0,π，所以；
（2）为AC边的中点，故，
两边平方得，
又，，，所以，故.
16. 已知函数，其中，.
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围.
解：（1）当时，，定义域为，
所以，
所以的图象在处的切线方程为，
即.
（2）当时，，定义域为，
所以，
因为在区间上存在极值，
所以在上必存在变号零点，
令，则上必存在变号零点，
因为，所以，解得，
当时，，且在上单调递增，
又，故存在，使得，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为.
17. 在平面图形AEBCD（如图1）中，已知，，，，将沿着AB折起到的位置，使得，连接DP，得到四棱锥，如图2所示.
（1）求证：；
（2）求平面ADP与平面CDP夹角的余弦值.
解：（1）证明：四棱锥中，取的中点，连接，
由，，得，则，
，又，于是四边形为平行四边形，，，
由，得，则，，而，
平面，于是平面，又平面，
则，又，平面，
因此平面，而平面，所以.
（2）在平面内过点作，由（1）知平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
则，
所以平面ADP与平面CDP夹角的余弦值是.
18. 已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，直线的方程为.
（1）若与的左、右两支分别相交，求的取值范围；
（2）当，2时，对应的曲线分别为，，设直线与的左、右两支依次相交于点，，直线与的左、右两支依次相交于点，，为坐标原点，证明：的面积与的面积相等.
解：（1）因为双曲线的一条渐近线的斜率为，
所以，所以，
联立消去并整理，得，
因为与的左、右两支分别相交，所以，
因为，所以，所以，
即的取值范围为.
（2）证明：设，
当时，由（1）中及韦达定理，得，
当时，由（1）中及韦达定理，得，
所以与中点的横坐标都为.因为，，，在同一直线上，
所以与的中点重合，设该中点为，所以，
所以，所以，
所以的面积与的面积相等.
19. 在数列中，设是数列的前项和，并规定，定义集合，中元素的个数为.
（1）在数列中，若，，，，，，，，求；
（2）若，满足，
①证明：集合非空；
②证明：当，时，.
解：（1）因为，，，，，，，，，
因为，
所以
所以，
（2）证明：①由已知得，
若对中的任意正整数 ，满足，
则，
即，所以；
若在中存在 ，使得为中从左到右出现的第一个正数，
则，所以.
综上所述，集合非空.
②由集合非空，设(不妨设从小到大排列)，
显然.
由集合的定义知，且是使得成立的最小的，
即是中最大的，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
即.
由的定义得，
因为，所以，
因为，所以，即，
因为是中最大的，
所以，即 ，
所以
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以.