江西省上饶市2023-2024学年高一（上）期末教学质量测试数学试卷（解析版）

这是一份江西省上饶市2023-2024学年高一（上）期末教学质量测试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意集合，，则.
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“，”的否定是“，”.
故选：A.
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易知为增函数，
又，，
故零点所在的区间是.
故选：B.
4. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点有种可能，
其中满足的数对有，
共5种可能，所以点在直线上的概率是.
故选：C.
5. 已知是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为在R上是减函数，所以，解得，
即.
故选：D.
6. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意已知函数在上是奇函数，当时，，
所以当时，，
当时，，，
当时，若，只需，，解得，
当时，若，只需，解得，
综上所述，不等式的解集是.
故选：C.
7. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
【答案】C
【解析】A选项，若，，如，则，
所以A选项错误；
B选项，若，则，所以B选项错误；
C选项，若，则，所以由两边乘以得，
所以C选项正确；
D选项，若，，则，所以D选项错误.
故选：C.
8. 若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，，
当时，画出与的图象如下所示：
则不等式的整数解有无数多个，不符合题意；
当或时，画出与的图象如下所示：
则不等式无解，不符合题意；
当时，画出与的图象如下所示：
则不等式的整数解有无数多个，不符合题意；
所以；
当时，，，
画出与的图象如下所示：
要使关于的不等式恰好有个整数解，则整数解为、、，
联立，解得，则，解得，
故实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据：3，4，4，6，7，8，10，则这组数据的（ ）
A. 极差为7B. 众数为4
C. 平均数为6D. 第60百分位数为6.5
【答案】ABC
【解析】对于A，该组数据的极差为，A正确；
对于B，这组数据中4出现了2次，出现次数最多，因此众数是4，B正确；
对于C，该组数据的平均数为，C正确；
对于D，由，所以该组数据的第60百分位数为第5个数，D错误.
故选：ABC.
10. 下列式子中，使不等式成立的充分不必要条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】由题意，
根据充分不必要条件与集合之间的关系可知，只需要找集合的子集，
对比选项可知，使不等式成立的充分不必要条件可以是
或.
故选：BD.
11. 北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功.某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人.则下列结论正确的有（ ）
A. 样本容量为30 B. 120名社团成员中男生有72人
C. 高二与高三年级的社团成员共有80人 D. 高一年级的社团成员中女生最多有48人
【答案】ABC
【解析】对于A，从中随机抽取30名，则样本容量为30，正确；
对于B，设120名社团成员中男生有人，因为按性别比例分层随机抽样时男生抽取18人，
所以，解得，所以120名社团成员中男生有72人，正确；
对于C，设高二与高三年级的社团成员共有人，
因为按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样时高一年级抽取10人，
所以，解得，所以高二与高三年级的社团成员共有80人，正确；
对于D，根据选项C可知高一年级的社团成员有人，
故高一年级的社团成员中女生最多有40人，错误.
故选：ABC.
12. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet.1805-1859）是解析数论的创始人之一.以他的名字命名的函数“狄利克雷函数”改变了数学家们对“函数是连续的”的认识.已知狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.则下列关于“狄利克雷函数”的命题中，属于真命题的有（ ）
A. 方程的解为
B. 对任意，都存在，
C. 对任意，恒成立
D. 存在三个点，，，使得为等边三角形
【答案】ABD
【解析】A选项，若，则，
若，则（舍去），所以，A选项正确；
B选项，对任意，都存在，，B选项正确；
C选项，若，则，
此时，，
C选项错误；
D选项，为等边三角形，则高为，则边长为，
如时，为等边三角形，D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数（且）图象恒过的定点坐标为___________.
【答案】
【解析】令，解得，所以，
所以函数（且）图象恒过的定点坐标为.
14. 若函数是上的偶函数，则的值为____________.
【答案】
【解析】由题意首先，解得，
即函数是上的偶函数，
由，解得，此时，经检验符合题意，
所以.
15. 据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为______.
【答案】
【解析】记2名男生为，2名女生为，
任选2人参加围棋比赛，则可能情况有，共6个，
所以“至少有1名男生”的情况有，共5个，
故所选2人中至少有1名男生的概率为.
16. 定义：如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点.已知在上存在均值点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据题意，函数，则，
函数在上存在均值点，
则在区间上有解，设，则，
则有在区间上有解，
而二次函数的对称轴为，
故有，即，解得，则m的取值范围为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，，.
（1）求，；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）依题意，集合，，
所以，或，
所以或.
（2）由于，若，则.
18. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）求不等式的解集.
解：（1）由题意若不等式的解集为，
所以，
所以，解得.
（2）由题意，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
19. 某校在上饶市期末数学测试中为统计学生的考试情况，从学校的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，……第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
（1）求第八组的频率，并完成频率分布直方图；
（2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）和中位数（保留小数点后面一位）
解：（1）因为各组的频率和等于1，故第八组的频率为：
，
则第八组对应矩形的高为，补全频率分布直方图如图所示：
（2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分为：
（分）；
因为，
，
所以中位数在内，
设中位数为x，则，解得；
所以估计中位数是分.
20. 甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
（2）求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.
解：（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，
则.
（2）设事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”，““博学队”猜对三个数学名词”，
所以，
，
则，
由事件的独立性与互斥性，得
，
故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为.
21. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?
解：（1）由题意可得，
所以.
（2）当时，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为，
故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）.
22. 已知，.
（1）求函数在区间上的最小值.
（2）对于任意，都有成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题意当时，，
所以，等号成立当且仅当，即，
所以函数在区间上的最小值2.
（2）对于任意，都有成立，
则只需，由（1）可知，
所以只需恒成立，
首先有，即，
由得，所以，
进一步可以化为
，
所以恒成立，即，
即对于任意恒成立，
因为，所以对于任意恒成立，
即对于任意恒成立，所以，
综上所述，实数的取值范围为.