广西贺州市2023-2024学年高一（上）期末质量检测数学试卷（解析版）

这是一份广西贺州市2023-2024学年高一（上）期末质量检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，或，则集合等于（ ）
A. 或B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为集合，或，
所以或．
故选：C.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】或，
，故“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
3. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，
．
故选：D．
4. 下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“”是真命题.
A 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】对①，“有些”为存在量词，所以命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题，故①正确；
对②，“”为任意，即为全称量词，所以命题“”是全称量词命题，故②正确；
对③，命题“”的否定为“”；故③错误；
对④，，故该命题为真命题，故④正确，
所以正确的有个.
故选：D.
5. 下列函数的最小值为2的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对A： ，，当且仅当时取等号，
其最小值为2；故A正确；
对B：时，，其2不为最小值；故B错误；
对C：，当时等号成立，故C错误；
对D：，当时等号成立，故D错误.
故选：A.
6. 当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，
由题意知，所以，即，
所以.
故选：B.
7 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，
，
正弦函数在是单调递增的，．
又 ，．
故选：A．
8. 若定义在上奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，设，，
是定义在，，上的奇函数，即，
故，函数为偶函数，
由题意当时，有，函数在上为减函数，
又由为偶函数，则在上为增函数，
又由，则，同时，
或，
必有或，即的取值范围为.
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各说法，正确的是（ ）
A. 半圆所对的圆心角是rad
B. 1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C. 是第一象限角
D. 若是第四象限角，则
【答案】AB
【解析】对A，根据角度制和弧度制的定义可知，半圆所对的圆心角是，即rad，
所以A正确；
对B，由圆周角的定义知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正确；
对C，是第四象限角，故C错误；
对D，若是第四象限角，则，故D错误.
故选：AB．
10. 若，，则下列不等关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】对A，，，由不等式性质易知 ，故A正确；
对B，，，则，故B正确；
对C，，，由不等式性质易知，故C错误；
对D，若，则，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象
C. ，都有
D. 函数的减区间为
【答案】AC
【解析】由图知，，，即，所以.
将代入中，得，
解得，
又因为，所以当时，
所以的解析式为：.
对A，，故A正确；
对B，将的图象向右平移个单位，
得的图象，故B错误；
对C，由三角函数的性质知，，所以，
都有，故C正确；
对D，由，得，
所以函数的减区间为，故D错误.
故选：AC.
12. 已知函数，则（ ）
A. 函数有3个零点
B. 若函数有2个零点，则
C. 若关于的方程有4个不等实根，，，，则
D. 关于的方程有5个不等实数根
【答案】BCD
【解析】根据题意，函数，
由此作出函数的草图：
依次分析选项：
对于A：由图象易知曲线与y轴有两个交点，故函数有2个零点，故A错误；
对于B：令，可得，
则函数的零点个数即为与的图象的交点个数，
若函数有两个零点，由图象可知，B正确；
对于C：若关于的方程有四个不等实根，则与的图象有四个交点.
不妨设，
由图象可得：，且，，
所以，故C正确；
对于D：因为，解得或，
结合图象可知：有一个根，有四个根，
所以关于的方程有5个不等实数根，D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设函数，则的值为___________.
【答案】1
【解析】，.
14. 已知扇形的面积为，圆心角弧度数为，则其弧长为________.
【答案】6
【解析】设弧长为，半径为，圆心角为，
故，故.
15. 已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为 ________(结果保留)；
【答案】
【解析】不妨设矩形的一条边为，则矩形的另一条边为，
则旋转后的圆柱的底面圆半径为，高为，
从而圆柱侧面积为，
当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值.
16. 已知函数的最大值是3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则_____
【答案】4048
【解析】函数的最大值是3，
故，得，则，
由于函数的图象与轴的交点坐标为，
故即，
函数图象其相邻两个对称中心的距离为2，故，
所以；
当，2，3，时，的值依次为1，0，，0，成周期变化；
且周期为4，相邻4个之和为0，
由于，
所以
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算下列各式的值．
（1）；
（2）且.
解：（1）原式.
（2）原式.
18. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的范围．
解：（1）由时，集合，
，
所以.
（2）当，即时，集合，符合，
当时，由，有，解得，
综上可知，若，则的范围是.
19. 已知.
（1）求的值；
（2）若为钝角，且，求的值．
解：（1）因为，所以.
（2）因为为钝角，由，得，
则，，
又因为，
所以.
20. 已知函数，（其中且）．
（1）若函数定义域为R，求实数的取值范围；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．
解：（1）由题意得，
因为函数定义域为，所以恒成立，
即，解得，
故实数的取值范围.
（2）设，
定义域需满足：，解得，
故函数的定义域为，定义域关于原点对称，
则，
又因为，
即，所以是偶函数，即是偶函数.
21. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为m，已知H关于t的函数解析式满足（其中），求摩天轮转动一周的函数解析式；
（2）若甲、乙两人分别坐1号和9号座舱（即甲乙中间间隔7个座舱），在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．
解：（1）设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，
与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.
设时，游客甲位于，得到以为终边的角为，
根据摩天轮转一周需要30，可知座舱转动的速度约为，
由题意可得，，（）.
（2）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则，
经过后，甲距离地面的高度为，
点相对于始终落后，
此时乙距离地面的高度，
则甲、乙高度差为
，，
所以当（或）时，的最大值为55，
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为55米.
22. 设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，．
（1）若，求函数的不动点；
（2）若函数在上存在不动点，求实数的取值范围．
解：（1）由“不动点”定义知：当时，，
所以，即，
解得或（舍去），所以，且，
所以函数在上的不动点为.
（2）根据已知，得在上有解，
所以上有解，
令，，所以，即在上有解，
所以在上有解，
设，，则在上单调递增，故，
所以，可得，
又在上恒成立，所以在上恒成立，
则，则，
综上，实数的取值范围是.