山东省济南市槐荫区2024-2025学年九年级(上)期中数学试卷(解析版)
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这是一份山东省济南市槐荫区2024-2025学年九年级(上)期中数学试卷(解析版),共27页。试卷主要包含了选择题,四象限,则m的取值范围是,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. 已知,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解:∵,
∴设,
∴.
故选:B.
2. 如图,在中,,,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解:∵,,,
∴,
故选:D.
3. 若反比例函数的图象在第二、四象限,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解:∵反比例函数的图象在第二、四象限,
∴,
解得:.
故选:D.
4. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法,若图中的虚线相互平行,则点P表示的数是( )
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】解:设P点表示的数为x,则根据平行线分线段成比例可得:
解得,
经检验,是分式方程的解且符合实际意义,
即P点表示的数为.
故选:C.
5. 如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则sin∠AOC的值为( )
A.12 B. 33 C.22 D. 32
【答案】D
【解析】
解:连接BC,
由题意可得:OB=OC=BC,
则△OBC是等边三角形,
故sin∠AOC=sin60°=.
故选D.
6. 如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点均在格点上,连接交于点,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解:由网格特点可得:,,,
∴,
∴,
∴;
故选:D.
7. 一次函数与二次函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解:当时,一次函数的y随x的增大而增大,与y轴的交点在y轴正半轴的正半轴上;二次函数开口方向向上,与y轴的交点在y轴正半轴的正半轴上,且对称轴为;即C选项符合题意,A选项不符合题意;
当时,一次函数的y随x的增大而减小,与y轴的交点在y轴负半轴的正半轴上;二次函数开口方向向下,与y轴的交点在y轴正半轴的负半轴上,且对称轴为,即B、D都选项不符合题意.
故选:C.
8. 如图,矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=(k≠0,x>0)上,若矩形ABCD的面积为8,则k的值为( )
A. 8B. 3C. 2D. 4
【答案】D
【解析】解:如图,延长DA交y轴于点E,
∵四边形ABCD是矩形,
设A点的坐标为(m,n)则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为,
∵矩形ABCD的中心都在反比例函数y=上,
∴x=,
∴矩形ABCD中心的坐标为(,).
∴BC=2(−m)=-2m,
∵S矩形ABCD=8,
∴(-2m)•n=8.
4k-2mn=8,
∵点A(m,n)在y=上,
∴mn=k,
∴4k-2k=8.
解得:k=4.
故选D.
9. 如图,正方形的顶点、在抛物线上,点在轴上.若、两点的横坐标分别为、,下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:如图,连接、交于点,过点作轴于点,过点作于点,
四边形是正方形,
、互相平分,,,
,,
.
,,
.
,.
点、的横坐标分别为、,
,.
,,,
设,则,,
,,,.
又,,
,.
.
.
.
点、在轴的同侧,且点在点的右侧,
.
.
故选:A.
10. 如图,正方形中,M是边的中点,N是边的中点,连接,相交于点E,连接并延长,交于点F.有以下四个结论:①;②平分;③;④.其中正确结论的个数是( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】解:∵四边形是正方形,
∴
∵M是边的中点,N是边的中点,
∴
∴
在和中,
∴,
∴
又
∴
∴,
设,则
∴;
又
∴
∴,
在中,,
∴
∴(负值舍去),
∴,
∴,
∴,故①正确;
过点作于点,如图,
∴
∴,
∴
∴
∴
又
∴,
∴
∴
∴
∴,故③正确;
,故④正确;
过点F作于点,于点
∵
∴
∴
∴
∴
∴是的角平分线,
又与是对顶角,
∴是的平分线,故②正确,
综上,正确的结论是①②③,共3个,
故选:B
二、填空题(本大题共5个小题.每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的横线上.)
11. 已知直线 y=ax(a≠0)与反比例函数 y=(k≠0)的图象一个交点 坐标为(2,4),则它们另一个交点的坐标是_____.
【答案】(﹣2,﹣4)
【解析】∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称,
∴两函数的交点关于原点对称,
∵一个交点的坐标是(2,4),
∴另一个交点的坐标是(-2,-4),
故答案为(﹣2,﹣4).
12. 抛物线的顶点坐标为_____.
【答案】
【解析】解:∵抛物线的解析式为,
∴抛物线的顶点坐标为.
故答案为:.
13. 如图,直线y=kx+bk≠0与双曲线相交于点和点,则不等式的解集为_______.
【答案】或
【解析】解:∵直线与双曲线相交于点和点,
∴由函数图象可得,当或时,一次函数图象在反比例函数图象上方,
∴不等式的解集为或.
故答案为:或.
14. 如图,在正方形中,取的中点,连接,延长至点,使,以线段为边作正方形,点在线段上,则的值是_____.
【答案】
【解析】解:设正方形的边长为,则,,
∴,
∴,
∴,
∵正方形,
∴,
∴,
∴.
故答案为.
15. 如图,反比例函数的图象经过点,点A是该图象第一象限分支上的动点,连接并延长交另一分支于点,以为对角线作菱形,使,顶点在第四象限,与轴交于点,连接.在点A的运动过程中,当平分时,点的坐标是______.
【答案】
【解析】解:∵反比例函数的图象经过点,
∴,
∴反比例函数解析式为,
如图:连接,
∵四边形是菱形,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,,
∴,
∴,即,
∴,
∵,
∴
如图:过A作轴于点E,轴于点F,则,
∵,
∴,
∴,
∴,
设,则,
∴,
∴,
如图:过P作于点G,交延长线于点H,
∵平分,
∴,
∴,
过A作轴于点N,过C作轴于点M,
∴.,
∴,即:,解得:,
∴.
三、解答题(本大题共10个小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
16. 如果,且,求的值.
解:令,
∴,,.
∵,
∴,
∴.
∴,,
∴.
17. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,其顶点称为格点,和的顶点都在格点上,则与相似吗?请说明理由.
解:与相似,理由如下:
由勾股定理可得:
,
,
,
,
,
,
,
.
18. 如图,在中,,,,求长.
解:过点A作,垂足为,
在中,,,
,,
在中,,
,
,
,
长为.
19. 在如图的方格纸中,的顶点坐标分别为、、,与是关于点P为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心P的位置,并写出点P的坐标;
(2)以原点O为位似中心,在位似中心的同侧画出的一个位似,使它与的位似比为,并写出点B的对应点的坐标;
(3)的内部一点M的坐标为,写出M在中的对应点的坐标.
解:(1)如图,点P为所作;
点P的坐标为;
(2)如图,为所作,点的坐标为;
(3)点M在中对应点的坐标为.
故答案为:.
20. 中国古代入在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜,西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载:“取大镜高悬,悬水盆于其下,则见四邻矣.”如图所示.其工作原理主要利用光的反射原理,已知共线,于点B,入射角, (入射角等于反射角),米,求OB的高度.(参考数据:)
解:∵∠COD=30°,(入射角等于反射角),
∴∠AOD=30°,
∴∠AOC=60°,
∵AE⊥AB,OB⊥AB,∠OAE=15°,
∴AE∥BO,∠OBA=∠OBC=90°,
∴∠OAE=∠AOB=15°,
∴∠BOC=∠AOC∠AOB=45°,
∴∠C=∠BOC,
∴OB=BC,
作AF⊥OC交OC于点F,
∵AC=12,∠C=45°,
∴AF=,
∵∠AFO=90°,∠AOF=60°,
∴,
设BC=x,则AB=12x,OB=x,
∵∠OBA=90°,
∴AB2+OB2=OA2,
∴(12x)2+x2=()2,
解得x1=6+,x2=,
∵OB>AB,
∴不合题意,
∴OB=≈6+2×1.7=9.4(米),
即OB的高度是9.4米.
21. 如图,为上一点,.
(1)求证:;
(2)若平分,,求的长.
解:(1)证明:∵,,
∴,
又∵,
∴.
(2)解:∵平分,
∴,
由(1)知,,
∴,
又∵,
∴,
∴ ,即 ,
∴.
22. 心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中分别为线段,为双曲线的一部分):
(1)分别求出学生注意力增强阶段和分散阶段的函数关系;
(2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?
(3)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?若能,最好第几分钟开始讲;若不能,说明理由.
解:(1)如图,,
设直线的解析式为,得
,解得,
∴注意力增强阶段函数关系式为.
设双曲线的解析式为,得,
∴分散阶段的函数关系式为.
(2)时,;
时,;
∴时学生注意更集中.
(3)能,理由如下:
时,令,得;
令,得
∴老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目,最好第分钟开始讲.
23. 已知,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点.
(1)求点、、的坐标;
(2)过点作交抛物线于点,求四边形的面积;
(3)在线段上是否存在一点,使的周长最小?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)当时,,
解得;
点坐标为点坐标为;
当时,,
点坐标为.
(2),
直线解析式:.
设直线的解析式为:,把代入得:
;
则直线解析式为:,
联立解析式有:
解得,;
点坐标为;
.
(3)存.
延长到点,使,过点作轴于点,连接,则与的交点即为点.
,
与关于对称.
,
.
,
,
点坐标为;
直线的解析式为;
联立方程组,
解得
点的坐标为;
在线段上存在一点,使的周长最小.
24. 如图,已知直线与双曲线交第一象限于点.
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式;
(2)将点绕点逆时针旋转至点,求直线的函数解析式;
(3)在(2)的条件下,若点C是射线上的一个动点,过点作轴的平行线,交双曲线的图像于点,交轴于点,且,求点的坐标.
解:(1)点在直线y=2x,
,
,
∵点在第一象限,且点的纵坐标为4,
∴,
将点代入直线
,
;
(2)根据题意,找出点位置,过点作轴于点,过点作于点,
,
,
,
由旋转可知,
,
,
∴,
∴直线的解析式为:;
(3)如图, ,,
,
,
即 ,
即 ,
设点的横坐标为,由(1)可知双曲线的解析式为,
,
,
,
解得 或(负值舍去) ,
∴点的坐标为 或
25.
【问题情境】
(1)古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理,又称.欧几里得定理.:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.其符号语言是:如图1,在中,,垂足为,则:①,②,③;请你证明定理中的结论③.
【结论运用】
(2)如图2,正方形边长为6,点是对角线、的交点,点在上,过点作,垂足为,连接.
①求证:;
②若,求的长.
(3)如图3,正方形的边长为6,点是对角线、的交点,点是上一动点,过点作,垂足为,连接,取的中点,连接,当点在上运动时,是否存在最小值,若存在,请直接写出最小值.若不存在,请说明理由.
解:(1)证明:于点,
,
,
,
,
,
,
.
(2)①证明:四边形是正方形,对角线、交于点,
,
,
,
,
,
,
于点,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
②解:正方形的边长为6,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
的长为.
(3)解:存在最小值,的最小值为,
理由:如图3,取的中点,连接、、,
正方形的边长为6,对角线、交于点,
,,,
于点,
,
,
,
,
,
点为的中点,点为的中点,
,
,
,
存在最小值,的最小值为.
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