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    山东省济南市槐荫区2024-2025学年九年级(上)期中数学试卷(解析版)

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    山东省济南市槐荫区2024-2025学年九年级(上)期中数学试卷(解析版)

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    这是一份山东省济南市槐荫区2024-2025学年九年级(上)期中数学试卷(解析版),共27页。试卷主要包含了选择题,四象限,则m的取值范围是,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1. 已知,则的值是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】解:∵,
    ∴设,
    ∴.
    故选:B.
    2. 如图,在中,,,,则的值为( )

    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】解:∵,,,
    ∴,
    故选:D.
    3. 若反比例函数的图象在第二、四象限,则m的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】解:∵反比例函数的图象在第二、四象限,
    ∴,
    解得:.
    故选:D.
    4. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法,若图中的虚线相互平行,则点P表示的数是( )
    A. B. 2C. D. 5
    【答案】C
    【解析】解:设P点表示的数为x,则根据平行线分线段成比例可得:
    解得,
    经检验,是分式方程的解且符合实际意义,
    即P点表示的数为.
    故选:C.
    5. 如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则sin∠AOC的值为( )

    A.12 B. 33 C.22 D. 32
    【答案】D
    【解析】
    解:连接BC,
    由题意可得:OB=OC=BC,
    则△OBC是等边三角形,
    故sin∠AOC=sin60°=.
    故选D.
    6. 如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点均在格点上,连接交于点,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】解:由网格特点可得:,,,
    ∴,
    ∴,
    ∴;
    故选:D.
    7. 一次函数与二次函数的图象可能是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】解:当时,一次函数的y随x的增大而增大,与y轴的交点在y轴正半轴的正半轴上;二次函数开口方向向上,与y轴的交点在y轴正半轴的正半轴上,且对称轴为;即C选项符合题意,A选项不符合题意;
    当时,一次函数的y随x的增大而减小,与y轴的交点在y轴负半轴的正半轴上;二次函数开口方向向下,与y轴的交点在y轴正半轴的负半轴上,且对称轴为,即B、D都选项不符合题意.
    故选:C.
    8. 如图,矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=(k≠0,x>0)上,若矩形ABCD的面积为8,则k的值为( )
    A. 8B. 3C. 2D. 4
    【答案】D
    【解析】解:如图,延长DA交y轴于点E,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    设A点的坐标为(m,n)则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为,
    ∵矩形ABCD的中心都在反比例函数y=上,
    ∴x=,
    ∴矩形ABCD中心的坐标为(,).
    ∴BC=2(−m)=-2m,
    ∵S矩形ABCD=8,
    ∴(-2m)•n=8.
    4k-2mn=8,
    ∵点A(m,n)在y=上,
    ∴mn=k,
    ∴4k-2k=8.
    解得:k=4.
    故选D.
    9. 如图,正方形的顶点、在抛物线上,点在轴上.若、两点的横坐标分别为、,下列结论正确的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】解:如图,连接、交于点,过点作轴于点,过点作于点,
    四边形是正方形,
    、互相平分,,,
    ,,

    ,,

    ,.
    点、的横坐标分别为、,
    ,.
    ,,,
    设,则,,
    ,,,.
    又,,
    ,.



    点、在轴的同侧,且点在点的右侧,


    故选:A.
    10. 如图,正方形中,M是边的中点,N是边的中点,连接,相交于点E,连接并延长,交于点F.有以下四个结论:①;②平分;③;④.其中正确结论的个数是( )
    A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
    【答案】B
    【解析】解:∵四边形是正方形,

    ∵M是边的中点,N是边的中点,


    在和中,
    ∴,



    ∴,
    设,则
    ∴;


    ∴,
    在中,,

    ∴(负值舍去),
    ∴,
    ∴,
    ∴,故①正确;
    过点作于点,如图,

    ∴,




    ∴,



    ∴,故③正确;
    ,故④正确;
    过点F作于点,于点





    ∴是的角平分线,
    又与是对顶角,
    ∴是的平分线,故②正确,
    综上,正确的结论是①②③,共3个,
    故选:B
    二、填空题(本大题共5个小题.每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的横线上.)
    11. 已知直线 y=ax(a≠0)与反比例函数 y=(k≠0)的图象一个交点 坐标为(2,4),则它们另一个交点的坐标是_____.
    【答案】(﹣2,﹣4)
    【解析】∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称,
    ∴两函数的交点关于原点对称,
    ∵一个交点的坐标是(2,4),
    ∴另一个交点的坐标是(-2,-4),
    故答案为(﹣2,﹣4).
    12. 抛物线的顶点坐标为_____.
    【答案】
    【解析】解:∵抛物线的解析式为,
    ∴抛物线的顶点坐标为.
    故答案为:.
    13. 如图,直线y=kx+bk≠0与双曲线相交于点和点,则不等式的解集为_______.
    【答案】或
    【解析】解:∵直线与双曲线相交于点和点,
    ∴由函数图象可得,当或时,一次函数图象在反比例函数图象上方,
    ∴不等式的解集为或.
    故答案为:或.
    14. 如图,在正方形中,取的中点,连接,延长至点,使,以线段为边作正方形,点在线段上,则的值是_____.
    【答案】
    【解析】解:设正方形的边长为,则,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵正方形,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    故答案为.
    15. 如图,反比例函数的图象经过点,点A是该图象第一象限分支上的动点,连接并延长交另一分支于点,以为对角线作菱形,使,顶点在第四象限,与轴交于点,连接.在点A的运动过程中,当平分时,点的坐标是______.
    【答案】
    【解析】解:∵反比例函数的图象经过点,
    ∴,
    ∴反比例函数解析式为,
    如图:连接,
    ∵四边形是菱形,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴是等边三角形,,
    ∴,
    ∴,即,
    ∴,
    ∵,

    如图:过A作轴于点E,轴于点F,则,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    设,则,
    ∴,
    ∴,
    如图:过P作于点G,交延长线于点H,
    ∵平分,
    ∴,
    ∴,
    过A作轴于点N,过C作轴于点M,
    ∴.,
    ∴,即:,解得:,
    ∴.
    三、解答题(本大题共10个小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
    16. 如果,且,求的值.
    解:令,
    ∴,,.
    ∵,
    ∴,
    ∴.
    ∴,,
    ∴.
    17. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,其顶点称为格点,和的顶点都在格点上,则与相似吗?请说明理由.
    解:与相似,理由如下:
    由勾股定理可得:








    18. 如图,在中,,,,求长.
    解:过点A作,垂足为,
    在中,,,
    ,,
    在中,,



    长为.
    19. 在如图的方格纸中,的顶点坐标分别为、、,与是关于点P为位似中心的位似图形.

    (1)在图中标出位似中心P的位置,并写出点P的坐标;
    (2)以原点O为位似中心,在位似中心的同侧画出的一个位似,使它与的位似比为,并写出点B的对应点的坐标;
    (3)的内部一点M的坐标为,写出M在中的对应点的坐标.
    解:(1)如图,点P为所作;

    点P的坐标为;
    (2)如图,为所作,点的坐标为;
    (3)点M在中对应点的坐标为.
    故答案为:.
    20. 中国古代入在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜,西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载:“取大镜高悬,悬水盆于其下,则见四邻矣.”如图所示.其工作原理主要利用光的反射原理,已知共线,于点B,入射角, (入射角等于反射角),米,求OB的高度.(参考数据:)
    解:∵∠COD=30°,(入射角等于反射角),
    ∴∠AOD=30°,
    ∴∠AOC=60°,
    ∵AE⊥AB,OB⊥AB,∠OAE=15°,
    ∴AE∥BO,∠OBA=∠OBC=90°,
    ∴∠OAE=∠AOB=15°,
    ∴∠BOC=∠AOC∠AOB=45°,
    ∴∠C=∠BOC,
    ∴OB=BC,
    作AF⊥OC交OC于点F,
    ∵AC=12,∠C=45°,
    ∴AF=,
    ∵∠AFO=90°,∠AOF=60°,
    ∴,
    设BC=x,则AB=12x,OB=x,
    ∵∠OBA=90°,
    ∴AB2+OB2=OA2,
    ∴(12x)2+x2=()2,
    解得x1=6+,x2=,
    ∵OB>AB,
    ∴不合题意,
    ∴OB=≈6+2×1.7=9.4(米),
    即OB的高度是9.4米.
    21. 如图,为上一点,.

    (1)求证:;
    (2)若平分,,求的长.
    解:(1)证明:∵,,
    ∴,
    又∵,
    ∴.
    (2)解:∵平分,
    ∴,
    由(1)知,,
    ∴,
    又∵,
    ∴,
    ∴ ,即 ,
    ∴.
    22. 心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中分别为线段,为双曲线的一部分):

    (1)分别求出学生注意力增强阶段和分散阶段的函数关系;
    (2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?
    (3)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?若能,最好第几分钟开始讲;若不能,说明理由.
    解:(1)如图,,
    设直线的解析式为,得
    ,解得,
    ∴注意力增强阶段函数关系式为.
    设双曲线的解析式为,得,
    ∴分散阶段的函数关系式为.
    (2)时,;
    时,;
    ∴时学生注意更集中.
    (3)能,理由如下:
    时,令,得;
    令,得
    ∴老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目,最好第分钟开始讲.
    23. 已知,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点.
    (1)求点、、的坐标;
    (2)过点作交抛物线于点,求四边形的面积;
    (3)在线段上是否存在一点,使的周长最小?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
    解:(1)当时,,
    解得;
    点坐标为点坐标为;
    当时,,
    点坐标为.
    (2),
    直线解析式:.
    设直线的解析式为:,把代入得:

    则直线解析式为:,
    联立解析式有:
    解得,;
    点坐标为;

    (3)存.
    延长到点,使,过点作轴于点,连接,则与的交点即为点.

    与关于对称.




    点坐标为;
    直线的解析式为;
    联立方程组,
    解得
    点的坐标为;
    在线段上存在一点,使的周长最小.
    24. 如图,已知直线与双曲线交第一象限于点.

    (1)求点的坐标和反比例函数的解析式;
    (2)将点绕点逆时针旋转至点,求直线的函数解析式;
    (3)在(2)的条件下,若点C是射线上的一个动点,过点作轴的平行线,交双曲线的图像于点,交轴于点,且,求点的坐标.
    解:(1)点在直线y=2x,


    ∵点在第一象限,且点的纵坐标为4,
    ∴,
    将点代入直线


    (2)根据题意,找出点位置,过点作轴于点,过点作于点,




    由旋转可知,


    ∴,
    ∴直线的解析式为:;
    (3)如图, ,,



    即 ,
    即 ,
    设点的横坐标为,由(1)可知双曲线的解析式为,



    解得 或(负值舍去) ,
    ∴点的坐标为 或
    25.

    【问题情境】
    (1)古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理,又称.欧几里得定理.:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.其符号语言是:如图1,在中,,垂足为,则:①,②,③;请你证明定理中的结论③.
    【结论运用】
    (2)如图2,正方形边长为6,点是对角线、的交点,点在上,过点作,垂足为,连接.
    ①求证:;
    ②若,求的长.
    (3)如图3,正方形的边长为6,点是对角线、的交点,点是上一动点,过点作,垂足为,连接,取的中点,连接,当点在上运动时,是否存在最小值,若存在,请直接写出最小值.若不存在,请说明理由.
    解:(1)证明:于点,







    (2)①证明:四边形是正方形,对角线、交于点,






    于点,









    ②解:正方形的边长为6,
    ,,








    的长为.
    (3)解:存在最小值,的最小值为,
    理由:如图3,取的中点,连接、、,

    正方形的边长为6,对角线、交于点,
    ,,,
    于点,





    点为的中点,点为的中点,



    存在最小值,的最小值为.

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