山东省名校2025届高三（上）12月校际联合检测数学试卷（解析版）

这是一份山东省名校2025届高三（上）12月校际联合检测数学试卷（解析版），共13页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置，并在答题卡规定位置贴条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的答题区域内.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，可得，即，
由，所以．
故选：D．
2. 若复数满足（其中i为虚数单位），则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】由，得，
所以．
故选：B．
3. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，若，则，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
4. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设公差为，
因为数列为等差数列，则，
又，则，即，
因为，，所以，
故．
故选：C．
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，又，所以，
又，所以，所以，
又因为，故，
且，
又，所以，
所以．
故选：D．
6. 若是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
当时，，
所以在区间上单调递增，
当时，，
由题意知，在上恒成立，
即在上恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，所以，
又由，得到，所以，
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
7. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】对于A，当时，，故A错误；
对于B，由，则，
所以，故B正确；
对于C，由，得，所以，
又，所以，因此，故C正确；
对于D，由，得，即，
当时，命题不成立，故D错误．
故选：BC．
8. 函数的图象，如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 函数是奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 若在上有且仅有三个零点，则
【答案】BCD
【解析】依题意，，
由，得，
解得，而，则，
所以，则的最小正周期为，故A错误；
是奇函数，故B正确；
，
令，得，
所以的对称中心为，
当时，函数的对称中心为，故C正确；
，当时，，
因为函数在上有且仅有三个零点，
所以，解得，故D正确．
故选：BCD．
9. 在正方体中，分别为棱的中点，则（ ）
A. 平面
B.
C. 直线与直线所成角为
D. 平面经过棱的三等分点
【答案】ABD
【解析】在正方体中，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
对于A，，
设平面的一个法向量，
因为平面，
所以平面，A正确；
对于B，因为，
所以，B正确；
对于C，设直线与直线所成角为，
则，又，
所以，C错误；
对于D，在棱上取一点，如下图所示：
则，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，解得平面的一个法向量，
又，解得平面的一个法向量，
因为平面平面，所以当时，共面，
此时，即解得，
所以平面经过棱的三等分点，可得D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
10. 已知等比数列的前项和为，若，则______．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，显然．
由题意，得，即，所以．
故答案为：.
11. 已知正数满足．则的最小值为______．
【答案】9
【解析】由，得，
所以，
因为，所以，
所以，即，所以，
当且仅当，且，即时，上式取“”，
所以的最小值为9．
故答案为：9．
12. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
则在点Px1,y1处的切线方程为，即；
在点Qx2,y2处的切线方程为：，即，
由已知，得，解得，
所以，因此．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13. 已知在中，角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若为边上一点，且，求的值．
解：（1）依题意，，
由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
即，
所以，即，
因为，所以，所以，即．
（2）不妨设，则，
因为，所以为等边三角形，
则，
由余弦定理得，
所以，解得或（舍去），
所以．
14. 已知函数．
（1）证明：函数的图像关于点对称；
（2）若时，不等式恒成立，求实数取值范围．
解：（1）证明：函数的定义域为，
依题意，
，
所以函数的图像关于点对称．
（2）当时，，
由已知，不等式恒成立，
因为，所以，
以上不等式可化为：，
整理得，，
设，由，，则，
即，上式可转化为恒成立，
因为，由，知，所以，
所以实数的取值范围为．
15. 已知函数．（其中e是自然对数的底，）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若恒成立，求整数的最大值．
解：（1）函数定义域为0,+∞，．
当时，在0,+∞上是增函数；
当时，由f'x>0，解得，
由f'x