安徽省部分学校2023-2024学年高一（上）期末质量检测数学试卷（解析版）

这是一份安徽省部分学校2023-2024学年高一（上）期末质量检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以或，
所以.
故选：A.
2. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意可得，所以，
又的图象经过点，所以，解得，
所以.
故选：D.
3. 若，则为（ ）
A. 第一、二象限角B. 第二、三象限角
C. 第一、三象限角D. 第一、四象限角
【答案】D
【解析】因为，所以同号，
在第一象限时，
在第四象限时，
所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号.
故选：D.
4. 已知函数是奇函数，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】因为的定义域为，所以，解得，
经验证满足题意，
故选：B.
5. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，则.
故选：C.
6. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，）
A. 33B. 35C. 37D. 39
【答案】B
【解析】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍，
列方程得，
解得，
即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．
故选：．
7. 已知函数，则（ ）
A. 4047B. 4048C. 4049D. 4050
【答案】C
【解析】因为函数，所以，
所以，
所以
.
故选：C.
8. 已知数若且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，
则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且，
由，得，则，
根据对勾函数的性质可知在上单调递减，
在上单调递增，且，，，
所以的取值范围是．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论成立的是（ ）
A. B. 若．则
C. 若，则D.
【答案】AC
【解析】对于，因为，所以，
即，，即故，故正确；
对于，若则，故错误；
对于，即，故正确；
对于，，故错误.
故选：.
10. 下列计算结果正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于，故错误；
对于，故正确；
对于，，故正确；
对于，解得，故正确．
故选：BCD.
11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的一个单调递增区间为
C. 函数的图象关于点对称
D. 若函数在上没有零点，则
【答案】ACD
【解析】：由函数图象可得，则，所以，
又，则，则，结合其范围有，
由，解得，所以，故正确；
：当时，，
则函数在不单调递增，故错误；
：当时，，
所以的图象关于点，对称，故正确；
图象是由的图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到的，
由题图知 在上没有零点，则 在上没有零点，
由题意得，所以，故正确．
故选：ACD.
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，有一个用其名字命名的“高斯函数”；设x∈R，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如，则下列说法正确的是（ ）
A. 是周期函数
B. 函数在区间上单调递增
C. 关于x的不等式的解集为
D. 若函数，则函数的值域是
【答案】ABD
【解析】对于，因为，
所以函数以4为周期，故正确；
对于，当时，，则，
此时 单调递增，故正确；
对于，由 得，所以，
所以，不等式的解集为，，故错误；
对于，因为，所以，
当时，，当时，，
即函数的值域是，故正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，
13. 已知集合，，若，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】，即，解得，
，
，
，，
即的取值范围是.
14. 已知实数m，n满足，则_________.
【答案】1
【解析】，所以，，
所以．
15. 已知，则_________.
【答案】
【解析】
.
16. 已函数则函数的零点个数为_________.
【答案】6
【解析】函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，
当时，，所以，
所以当时，是周期为4的函数；
当时，；
所以的图象如图所示，在同一坐标系下画出的图象，
因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设函数的定义域为集合A，集合．
（1）求；
（2）设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围.
解：（1）根据题意，可得 或，
因，则.
（2）函数在上单调递减，
所以，且，
因为“”是“ ”的必要不充分条件，所以是的真子集，
则，解得，即的取值范围是．
18. 已知，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．
（1）求
（2）设函数，求的最小正周期．
解：（1），，
的终边经过点，
由三角函数的定义可知，
.
（2），
又由（1）可知，
所以
，
，所以的最小正周期为π.
19. （1）已知正数a，b满足，若．求最小值；
（2）求的解集．
解：（1）因为，均为正数，，所以，即，．
所以可转化
，
当且仅当，即，且时，等号成立．
所以的最小值为16．
（2）原不等式等价于①或②．
解①求得或，解②求得．
所以原不等式的解集为．
20. 已知函数分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足．
（1）求的解析式；
（2）设函数，求在上的最小值，并求对应的的值．
解：（1）由题意得，
因为分别是上的奇函数和偶函数，
所以，
解得.
（2）由（1）可知，
令，当时，，
故，
由对称轴，可得时，取得最小值0，
此时，解得，即，
所以在上的最小值为0，此时．
21. 对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中.
（1）若是函数的好区间，求实数m，n的值；
（2）若函数为闭函数，求实数k的取值范围.
解：（1）若是函数的好区间，分2种情况讨论：
若在上单调递增．则，解可得，
此时 在上单调递增，符合条件；
若在上单调递减，则，解可得，此时，符合题意，
综合可得：或.
（2）函数为闭函数，易得在定义域上单调递增，
则有，故和是方程，即的两根，
令，原方程等价于，则方程有两个不等的正根，
则有，解可得，即的取值范围为．
22. 已知函数在区间上单调递增，且直线和为函数的图象的两条对称轴．
（1）求的一个解析式；
（2）将的的象先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数p的取值范围．
解：（1）根据题意可知，，
取，则，
又根据"五点法"可得，
，
.
（2）将的图象向左平移个单位长度得到
的图象，
再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到的图象，故.
对任意的，不等式恒成立.
即对任意，
即恒成立.
当时，，
当时，不等式恒成立.
当时，，
令，
设，，则
.
令，其值域为，
，即.
综上，的取值范围是.