2024-2025学年北京市东城区高三上册12月月考数学学情检测试卷

这是一份2024-2025学年北京市东城区高三上册12月月考数学学情检测试卷，共4页。
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第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 设为等差数列的前项和.已知，，则（ ）
A. 为递减数列B. 数列为递增数列C. 为递增数列D.
4. 已知向量，且向量，方向相同，则可以是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知实数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
6. 过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
7. 已知动圆的半径为，其圆心到点的距离为2，点为圆上的一点，则点到直线距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在△中，“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为，Peukert常数为；第二块蓄电池的容量为，Peukert常数为.第一块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间；第二块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
10. 已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间的距离的最大值，S是表示的图形的面积，则（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线的渐近线方程为_____.
12. 过点且与直线（为常数）垂直的直线方程为_____.
13. 若对任意的实数，恒成立，则满足条件的一组，的值为_____，_____.
14. 已知，若对，都有，则的取值范围是_____.
15. 已知是直角三角形，是直角，内角，，所对的边分别为，，，面积为，，.给出下列四个结论：
①当，时，；
②，；
③存在，使得，为等腰直角三角形；
④任取，为递增数列.
其中所有正确的结论是_____.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，，，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
17. 平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称.
（1）求的半径；
（2）过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程.
18. 已知函数在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在.
①；②的图像关于直线对称；③的最大值为.
（1）求函数单调增区间；
（2）已知且，求最小值.
注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求的方程；
（2）若，为上的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点.
20. 已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值：
（2）求证：有且只有一个零点；
（3）记的零点为，曲线在处的切线与轴交于.若，求的取值范围.
21. 对给定的整数，若在数集中任取个元素，都可以通过这个元素进行加减乘除四则运算（每个元素都必须使用且只能使用1次），使其结果为的整数倍，则称整数具有性质.
（1）若，，请分别判断5是否具有性质和，并说明理由；
（2）求证：3具有性质，其中表示整数集；
（3）若12具有性质，求的最小值，其中表示整数集.