2024-2025学年上海市松江区高三上册11月期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市松江区高三上册11月期中考试数学检测试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则______
2. 已知向量，则在方向上的数量投影为 _________________．
3. 曲线在点处的切线方程是 __________．
4. 某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为______
5. 二项式的展开式中，常数项为______
6. 关于x的方程的解集为______
7. 已知，，，则的最小值为______
8. 《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”.若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为_______.
9. 意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______
10. 已知椭圆，点和分别是椭圆左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为______
11. 在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为______.
12. 已知关于的方程在上有两个不相等的实很，则实数的取值范围是________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分.）
13. 设，则是的（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
14. 在中，，为中点，，则（ ）
A. B. C. D.
15. 已知定义在R上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）
①；②图象关于对称；③；④.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
16. 已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，数列单调递减
B. 当时，数列单调递增
C. 当时，存在正整数，当时，
D. 当时，存在正整数，当时，
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？
（2）采用分层随机抽样方法从成绩为的学生中抽取容量为的样本，再从该样本中随机抽取名学生进行问卷调查，设为其中达到分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望.
18. 已知函数y=fx是定义在−1,1上的奇函数，并且当时，.
（1）求函数y=fx的表达式；
（2）求关于x的不等式的解集.
19. 如图，在三棱锥中，，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．
（1）求证：直线平面；
（2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20. 已知点G是圆T:上一动点（T为圆心），点H的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R，动点R的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）M，N是曲线C上的两个动点，O是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）设P为曲线C上任意一点，延长至Q，使，点Q轨迹为曲线E，过点P的直线l交曲线E于A、B两点，求面积的最大值.
21. 已知函数的表达式为.
（1）当时，求的单调增区间；
（2）若当时，恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：
2024-2025学年上海市松江区高三上学期11月期中考试数学检测试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合，，则______
【正确答案】
【分析】根据一元二次不等式求解集合元素，结合交集
【详解】由，则.
故答案为.
2. 已知向量，则在方向上的数量投影为 _________________．
【正确答案】
【分析】根据数量投影的定义及计算公式直接可得解.
【详解】由已知，，
则
则在方向上数量投影为，
故答案.
3. 曲线在点处的切线方程是 __________．
【正确答案】
【分析】直接求导得，代入求得斜率即可.
【详解】由，则，所以，
所以在点0,1处的切线方程为，即．
故答案为.
4. 某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为______
【正确答案】120
【分析】先将6个数据从小到大进行排列，再根据百分位数的定义和求解步骤即可求解.
【详解】6位老年人的收缩压数据从小到大排列为：96，112，120，136，146，153，
因为，所以这组数据的分位数为120.
故120.
5. 二项式的展开式中，常数项为______
【正确答案】
【分析】先求出二项式的通项公式，令x的指数为0即可求解.
【详解】由题得二项式通项公式为：，
令，
所以二项式的展开式中，常数项为.
故答案为.
6. 关于x的方程的解集为______
【正确答案】
【分析】分类讨论的范围，去绝对值解方程即可.
【详解】关于x的方程，
若，则，
可得，解得，不合题意；
若，则，
可得，解得，不合题意；
若，则，
可得，解得，符合题意；
若，则，
可得，解得，不合题意；
综上所述：方程的解集为.
故答案为.
7. 已知，，，则的最小值为______
【正确答案】9
【分析】将转化为，再由展开后利用基本不等式，即可求出的最小值.
【详解】因为，，，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
故9.
8. 《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”.若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为_______.
【正确答案】
【分析】
根据题意可得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为，从而可得，解方程可得，再利用球的面积公式即可求解.
【详解】由已知得球心在几何体的外部，
设球心到几何体下底面的距离为，
则，解得，
，该球体表面积.
故
本题考查了几何体的外接球问题，需熟记球的表面积公式，属于基础题.
9. 意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______
【正确答案】4048
【分析】根据函数图象平移的性质可得的图象关于对称，即，即可求解.
【详解】由于为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，即，
因此，,
因此,
故
10. 已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为______
【正确答案】
【分析】利用等面积法即可求解，根据取时最大求解.
【详解】
如图所示，由椭圆定义，，，
则，故，
要使最大，则，
故
故
11. 在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为______.
【正确答案】2023
【分析】由已知可利用余弦定理转化为新的关系式，再由已知可用切化弦思想及正弦定理的边角互化思想就可得到结果.
【详解】因为，
由余弦定理得，
所以，
所以
，
故2023.
12. 已知关于的方程在上有两个不相等的实很，则实数的取值范围是________.
【正确答案】
【分析】原方程可化为，令，，即得在有两个不相等的实根，再转化为和，有两个不同的交点，利用导数研究函数图象，并结合图象得到结果即可.
详解】由，可得方程
可化为，
令，，
因为在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
故时，值域为.
方程可化为，
当时，方程可化为，不成立，
故，故原方程可化为，
由已知在有两个不相等的实根，
即和，有两个不同的交点.
，
当和时，，
即在上递减，在上递减；
当时，，在递增.
另外，时，；时，；
，当时，，
当，且时，，
当，且时，，
根据以上信息，函数，大致图象如下，
当时，和，的图象有两个不同的交点.
所以的取值范围是.
故答案为.
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)或已知零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分.）
13. 设，则是的（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【正确答案】B
【分析】由“”不能推出“”， “”能推出“”，据此可判断选项.
【详解】令，则，但，故“”不能推出“”.
设，由得，
，
故“”能推出“”.
综上得，是的必要非充分条件.
故选：B.
14. 在中，，为中点，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由题意作图，根据图象，利用平面向量的线性运算，结合数量积的运算律，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
则，，由为的中点，则，
.
故选：A.
15. 已知定义在R上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）
①；②的图象关于对称；③；④.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【正确答案】B
【分析】对于①，根据求导运算，利用赋值法，可得答案；
对于②，取关于已知对称中心的两个点，代入函数解析式建立方程组，整理等式，结合题意，可得答案；
对于③，根据求导运算，结合题目中的等式，可得答案；
对于④，根据等式可得函数的对称性，结合对称性可得点的坐标，可得等差数列，可得答案.
【详解】对于①，由等式，两边求导可得，
则，令，则，解得，故①错误；
对于②，取点在函数的图象上，
易知点关于0,2的对称点为，假设该点也在函数的图象上，
可得，消去可得，
整理可得，故②正确；
对于③，由等式，两边求导可得，
则，显然与题意不符，故③错误；
对于④，由等式，可得函数的对称中心为0,2，
由等式，可得函数的对称中心为1,0，
点0,2关于1,0的对称点为也是对称中心，点1,0关于的对称点为3,−4也是对称中心，
归纳可得函数图象的对称中心为，
当时，，成立；
假设当时，成立；
当时，
，
由数学归纳法，则，
所以函数图象对称点为，则，
易知数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，故④正确.
故选：B.
16. 已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，数列单调递减
B. 当时，数列单调递增
C. 当时，存在正整数，当时，
D. 当时，存在正整数，当时，
【正确答案】D
【分析】构建，结合导数分析fx,gx的单调性和大小关系，利用递推法分析数列的单调性和取值范围，结合选项即可判断.
【详解】设，可知fx,gx在0,+∞内单调递增，
构建，则，
可知Fx在0,+∞内单调递减，且
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
可得fx,gx的函数图象，如图所示：
对于选项AC：若，则，
且，可得，
若，则，
且，可得，
依此类推，可得，
可知数列单调递增，且，
即不存在正整数，当时，，故AC错误；
对于选项BD：若，则，
且，可得，
若，则，
且，可得，
依此类推，可得，
可知数列单调递减，且，
所以存在正整数，当时，（只需即可），故B错误，D正确；
故选：D.
关键点点睛：构建，分析两个函数的单调性哈大小关系，结合图象分析数列性质.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为的样本，再从该样本中随机抽取名学生进行问卷调查，设为其中达到分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望.
【正确答案】（1）分
（2）分布列见解析，
【分析】（1）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图，可得答案；
（2）写出变量的可能取值，分别求得概率，写出分布列，利用期望公式，可得答案.
【小问1详解】
成绩在区间的比例为：；
成绩在区间的比例为：，
因此分位数位于区间；
因此入围分数为：，因此入围分数应设为分.
【小问2详解】
在这六个人中，有两人的分数在分及以上，因此，
，，，
变量的分布列为：
所以的数学期望为.
18. 已知函数y=fx是定义在−1,1上的奇函数，并且当时，.
（1）求函数y=fx的表达式；
（2）求关于x的不等式的解集.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）当时，化简，再根据为奇函数求解当时，函数的解析式；
（2）判断函数在上单调性，再根据奇函数的性质解不等式即可.
【小问1详解】
当时，函数
.
当时，；
当时，，
即；
因为，
所以.
因此；
【小问2详解】
当时，，
因此有在上严格单调递增；
而当时，
因此有在上严格单调递增；
原不等式可化为：；
而是定义在上的严格增函数，
所以；
因此不等式的解集为.
19. 如图，在三棱锥中，，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．
（1）求证：直线平面；
（2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）先证明，再证明平面，从而得到平面；
（2）建立空间直角坐标系，然后再求出相关平面的法向量，最后用夹角公式计算即可.
【小问1详解】
证明：∵，分别是，的中点，∴，
又平面，平面，
∴平面，又平面，平面平面，∴，
又，平面平面，平面平面，平面，
∴平面，则平面．
【小问2详解】
以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
由题意得：A2,0,0，，，，，
∴，，设，则．
依题意可得：，即：
又与都在的同侧，所以，即
于是：，
设平面的法向量为
则，取，可得
再设平面的法向量为m=x,y,z，
则，取，得
于是
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
20. 已知点G是圆T:上一动点（T为圆心），点H的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R，动点R的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）M，N是曲线C上的两个动点，O是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）设P为曲线C上任意一点，延长至Q，使，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线l交曲线E于A、B两点，求面积的最大值.
【正确答案】（1）
（2）为定值，
（3）
【分析】（1）由已知得，可得动点的轨迹为椭圆，然后求出即可得解；
（2）设两点的坐标，表示出△的面积，利用椭圆的参数方程结合三角函数的运算，求△的面积；
（3）求出点的轨迹方程曲线，，分类讨论设直线方程，利用韦达定理表示，由直线与曲线有交点确定参数范围，求面积最大值．
【小问1详解】
，则，
则曲线C是以和1,0为焦点，4为长轴的椭圆；
设椭圆方程为，则，，，曲线.
【小问2详解】
设
所以
则
化简得：，则，
又，
直线
则到直线的距离，
所以为定值；
【小问3详解】
设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；
当直线l的斜率不存在时：设，
代入E中有，则

当直线l斜率存在时：设，Ax1,y1，Bx2,y2，
代入E的方程：，
则，，
；
而l与椭圆C有公共点，代入得：，
由有，记，则，
综上，面积的最大值为.
方法点睛：设而不求结合换元是解决圆锥曲线解答题最常用的方法，也是本题核心解题思路.
21. 已知函数的表达式为.
（1）当时，求的单调增区间；
（2）若当时，恒成立，求a的取值范围；
（3）证明.
【正确答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）将代入函数解析式，对函数二次求导，判断出函数的单调性即可；
（2）分、、三种情况，对函数二次求导，借助函数单调性判断不等式是否成立即可求解；
（3）借助（2）中结论，化为，取，得到，两边求和化简即可求解.
【小问1详解】
时，，
则，
令，则，
则在上严格减，上严格增，
则，即在上严格增，
因此函数的增区间为；
【小问2详解】
，
记，则，
令，解得；
若，则，即时，
在上严格增，，满足要求；
若，则，时，
则在上严格减，故当时，，不满足要求；
若，则，在上严格减，
则，不满足要求；
综上，a的取值范围是.
【小问3详解】
由（2）可知时，
则，取，
则，即；
，
即.
关键点点睛：
本体关键在于能够将（2）中结论整理变形并应用到不等式的证明中.