2024-2025学年上海市杨浦区高三上册11月期中数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年上海市杨浦区高三上册11月期中数学检测试题（附解析），共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则________．
【正确答案】
【分析】先化简集合，再利用集合交集运算求解.
【详解】解：因为集合，，
所以
故
2. 已知复数为虚数单位），表示的共轭复数，则________.
【正确答案】1
【分析】先由复数除法求得，然后再计算．
【详解】，
∴．
故1
本题考查复数的运算，掌握复数四则运算法则是解题基础．本题还考查了共轭复数的概念．
3. 已知向量满足：，与的夹角为，则__________.
【正确答案】
【分析】首先求出，再根据平面向量数量积的定义求出，最后根据及平面向量数量积的运算律计算可得；
【详解】解：因为，所以，又且与夹角为，所以，所以
故
4. 函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是_______.
【正确答案】
【分析】根据正弦型函数的单调性和最值点，结合数形结合思想进行求解即可．
【详解】因为，所以当时，则有，
因为在区间内有最大值，但无最小值，
结合正弦函数图象，得，解得，
则的取值范围是.
故答案为.
5. 袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是___________．
【正确答案】##0.4
【分析】由古典概型概率公式计算即可.
【详解】有两种情况：
①甲摸到红球乙再摸到红球得概率为：
②甲摸到白球乙再摸到红球得概率为：，
故乙摸到红球的概率．
故
6. 展开式中的系数为___________.（答案用数字作答）
【正确答案】
【分析】先求二项式的展开式的通项公式，再由通项公式求展开式中的系数.
【详解】二项式的展开式的通项公式为
，，
令，可得，
所以展开式中含的项为第四项，其系数为，
故答案为.
7. 已知，若，则______.
【正确答案】或
【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可.
【详解】因为且，
所以或，
解得或.
故或
8. 在中，内角的对边分别为，若，，．则边的长度为__________．
【正确答案】4
【分析】利用余弦定理化简即可求解.
【详解】∵csB＝，由余弦定理：42＝a2＋（2a）2－2a×2a×
解得a＝2，从而c＝4
故4.
9. 某同学6次测评成绩的数据如茎叶图所示，且总体的中位数为88，若从中任取两次成绩，则这两次成绩均不低于93分的概率为__________.
【正确答案】##0.2
【分析】根据题意有茎叶图求出，再用古典概率结合组合计算即可.
【详解】依题可得只能，得，
则不低于93分的成绩有三次，
从6次测评成绩中任取两次成绕共有种取法，
其中两次成绩均不低于93分的只有3种情况，
则所求概率为.
故答案.
10. 已知过抛物线的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且．若点在抛物线上，动点在直线上，则的最小值为________．
【正确答案】##
【分析】利用抛物线的性质，求得抛物线方程，先判断直线与抛物线的位置关系，然后设与抛物线相切且与平行的直线并求出来，根据两平行线之间的距离公式即可求得结果.
【详解】由题知，设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，，
又，
所以，抛物线方程，
联立，得，无解，
则直线与抛物线没有公共点，
设与抛物线相切且与平行的直线为，
则联立，得，
则，解得，
则的最小值为.
故
11. 已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】当时，由可得出，令，其中，利用导数分析函数在上的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，由可得，则，
令，其中，则，
当时，令，可得，列表如下：
且，，，，如图所示：

要使得存在唯一的负整数，使得，即，
只需，即，
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
12. 已知函数，若实数满足，则的最大值为__________.
【正确答案】
【分析】先证明，进而可得，设，则直线与椭圆有交点，联立方程，则，即可得解.
【详解】由题意，，
则，又，
所以，即，
设，则直线与椭圆有交点，
联立，得，
则，解得，
所以的最大值为.
故答案为.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【正确答案】D
【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，若，，，则或者异面，故A错误，
对于B，若，，且与，的交线垂直，才有，否则与不一定垂直，故B错误，
对于C，若，，则或者，故C错误，
对于D，若，，则，D正确，
故选：D
14. 已知，，．求的最大值（ ）
A. B. C. 5D. 2
【正确答案】B
【分析】由基本不等式和题目条件得到，求出的最大值.
【详解】因为，，由基本不等式得，
故，解得，
当且仅当时，等号成立，
故的最大值为.
故选：B
15. 设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和再上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】①由得，符合题意；②构造函数，分析函数单调性可知不具有性质；③由可知具有性质；④构造函数，求导分析单调性可知不具有性质.
【详解】①，令，解得(舍去)或，
存在非零实数，使得.
②，令
结合指数函数的单调性，在定义域内单调递减，，故无其他零点，
不存在非零实数，使得.
③，存在，使得.
④，
，在上单调递增，又，故无其他零点，
不存在非零实数，使得.
故选：B.
16. 一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断：
①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（ ）
A. ②③④B. ②④C. ②③D. ①②③④
【正确答案】C
【分析】对于①，举例判断；对于②，由数列的偶数项都相等，奇数项都相等判断；对于③，由为周期数列，则一个周期能必存在最大值判断；对于④，举例判断.
【详解】对于①，若为:，，满足题意，但是数列不是周期数列，故①错误;
对于②，由可知，，...，
即数列的偶数项都相等，奇数项都相等，
所以当时，能使得当取每一个正整数时，都有，
故数列为周期数列，故②正确;
对于③，若为周期数列，则一个周期内必存在最大值，它是有界的，
故存在正整数，使得恒成立，故③正确;
对于④，首项为1，公比为2的等比数列:，，
可任取一个符合题意的数，不妨取，满足题意，
但很明显数列：不是周期数列，故④错误.
故选：C.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，．
（1）求证：；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．
【正确答案】（1）详见解析；
（2）
【分析】（1）先论证平面PAD，从而，再由，得到平面PBC即可；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，求得平面PAB的一个法向量，设直线与平面所成的角为，由求解.
【小问1详解】
证明：因为底面是边长为2的正方形，
所以，又，且，
所以平面PAD，又平面PAD，
所以，又，且，
所以平面PBC，又平面PBC，
所以；
【小问2详解】
由题意建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
设平面PAB的一个法向量为，
则，即，
令，则，，所以，
设直线与平面所成的角为，
所以.
18. 学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表：
（1）现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：
请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关．
（2）从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望．
参考公式：，其中．附表见上图．
【正确答案】（1）列联表见解析，有关；
（2）分布列见解析，.
【分析】（1）根据题意，补全列联表，求得，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，得到随机变量的可能有0，1，2，3，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【小问1详解】
这100位学生中，“公序良俗”达人有20人，由此补全列联表如下：
零假设：“公序良俗”达人与性别无关，
可得，
所以根据小概率值的独立性检验，我们可推断不成立，即认为“公序良俗”达人与性别有关．
【小问2详解】
由题意，随机变量的可能有，，，，
可得，
，
，
，
所以的分布列如下：
所以数学期望.
19. 已知数列和满足，（为常数且）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）已知为数列的前项和，且，记，为数列的前项和，求使得取到最大值时的值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）或
【分析】（1）由等比数列的定义即可判断；
（2）通过单调性即可判断.
【小问1详解】
证明：因为，（为常数，且），
上述两个等式相加可得，则，所以，，
因为，则，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，所以，，
则，即数列是公比为的等比数列.
【小问2详解】
解：因为为数列的前项和，且，则，
由（1）可知，，所以，，
所以，，则，
由（1）可得，
所以，，
所以，，
因为数列单调递减，且当且时，，且，
所以，当且时，，
当且时，，
所以，数列从第项开始单调递减，
所以当或使得取到最大值，.
20. 已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，
（1）求的方程；
（2）证明：为定值；
（3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程．
【正确答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）
【分析】（1）由离心率及所过点求椭圆方程；
（2）设点，且，得，点差法及斜率两点式求，即可证；
（3）设弦的中点，点重心,，联立直线与椭圆，应用韦达定理及重心坐标性质得坐标与m的表达式，代入椭圆求参数，即可得直线方程.
【小问1详解】
由已知，得，解得，则椭圆的方程为；
【小问2详解】
依题意，可设点，且，

点关于原点的对称点为，
点在上，，作差得，
直线的斜率为，直线的斜率为，
，即为定值；
【小问3详解】
设弦的中点，点重心,，

由，得，
，且，
的重心在轴上，，
，
则，
在上的投影向量相等，则，且，
则直线的方程为，
，得，又点在上，
，即
又，则直线的方程为
21. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
【正确答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出在上有零点，从而得到结果；（3）整理出，可知为的两根，从而得到，；根据的范围可确定的范围后，将两式代入进行整理；构造函数，，利用导数可求得函数的最小值，该最小值即为的最大值.
【详解】（1）由题意得：
，
曲线在处切线为：，即
（2）由（1）知：
当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增
又，，
由零点存定理知：在上有一个零点
在上单调递增 该零点为上的唯一零点
（3）由题意得：
为的两个极值点，即为方程的两根
，
，又，解得：
令，
则
在上单调递减
即
即实数的最大值为：
本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到求解曲线在某一点处的切线方程、结合零点存在性定理讨论零点所在区间、极值点与导数之间的关系、恒成立问题的求解等；本题解题的关键是能够通过极值点与导数的关系，将不等式转化为参数与某一函数最值之间的比较问题，通过构造函数的方式来使问题得以解决，属于难题.
增
极大值
减
选答④、⑥、⑧、⑩的题目数
1道
2道
3道
4道
人数
性别
“公序良俗”达人
非“公序良俗”达人
总计
男性
女性
总计
性别
“公序良俗”达人
非“公序良俗”达人
总计
男性
13
30
43
女性
7
50
57
总计
20
80
100
0
1
2
3