2024-2025学年上海市杨浦区高三上册11月期中数学检测试题

这是一份2024-2025学年上海市杨浦区高三上册11月期中数学检测试题，共5页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则________．
2. 已知复数为虚数单位），表示的共轭复数，则________.
3. 已知向量满足：，与的夹角为，则__________.
4. 函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是_______.
5. 袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是___________．
6. 展开式中系数为___________.（答案用数字作答）
7. 已知，若，则______.
8. 在中，内角的对边分别为，若，，．则边的长度为__________．
9. 某同学6次测评成绩的数据如茎叶图所示，且总体的中位数为88，若从中任取两次成绩，则这两次成绩均不低于93分的概率为__________.
10. 已知过抛物线的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且．若点在抛物线上，动点在直线上，则的最小值为________．
11. 已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是______．
12. 已知函数，若实数满足，则的最大值为__________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
14. 已知，，．求的最大值（ ）
A B. C. 5D. 2
15. 设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和再上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
16. 一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列一个周期．给出下列四个判断：
①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（ ）
A. ②③④B. ②④C. ②③D. ①②③④
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，．
（1）求证：；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表：
（1）现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：
请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关．
（2）从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望．
参考公式：，其中．附表见上图．
19. 已知数列和满足，（为常数且）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）已知为数列的前项和，且，记，为数列的前项和，求使得取到最大值时的值．
20. 已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，
（1）求的方程；
（2）证明：为定值；
（3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程．
21. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
选答④、⑥、⑧、⑩的题目数
1道
2道
3道
4道
人数
性别
“公序良俗”达人
非“公序良俗”达人
总计
男性
女性
总计