2024-2025学年天津市西青区高三上册11月期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年天津市西青区高三上册11月期中考试数学检测试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3 若，则( )
A. B. C. D.
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则与相交
6. 在中，a，b是∠A，∠B，所对的边，已知，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
7. 下列三个关于函数的命题：
①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象；
②函数的图象关于对称；
③函数在上单调递增．
其中，真命题的序号是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. 以上皆不对
8. 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ）
A B. C. D.
9. 定义在R上的偶函数满足，且当时，若关于x的不等式的整数解有且仅有9个，则实数m的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、填空题
10. 复数__________.
11. 在的展开式中，含的项的系数为____________．
12. ______．
13. 某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则小李第二天去乙家餐厅的概率为 ________．
14. 如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则该六面体的体积等于________，表面积等于______．
15. 在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则__________；若，的面积为，则当__________时，取得最小值．
三、解答题
16. 已知的内角所对的边长分别为，，，且，，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积；
（3）求的值.
17. 在如图所示几何体中，四边形为正方形，，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求点到平面的距离．
18. 已知函数，其图象与直线的交点的横坐标为，且的最小值为．
（1）求的最小正周期和对称中心坐标；
（2）求函数在区间上的取值范围；
（3）求函数的单调递增区间．
19. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求平面ADF与平面BDF夹角余弦值；
（3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值．
20 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处切线的方程；
（2）当时，求函数f(x)的极值；
（3）若，证明对任意恒成立
2024-2025学年天津市西青区高三上学期11月期中考试数学检测试卷
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】分别求出集合，结合补集以及集合的交集、并集运算，一一判断各选项，即得答案.
【详解】由题意可得，，
故，A错误;
由于，故，，所以B正确，C错误；
，则不是A的子集，D错误，
故选：B
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】利用对数函数的单调性及定义域，及条件间的推出关系判断充分、必要性.
【详解】由在上递增，而，则，此时，充分性成立，
若，则，假设时，无意义，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 若，则( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】依次判断与1和2的大小关系得到答案.
【详解】，即；；
，故
故选：
本题考查了数值大小比较，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.
【详解】函数的定义域为，且，
所以函数是奇函数，故排除A，
且当时，，故排除C，
，当时，，故排除D，满足条件的只有B.
故选：B
5. 若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则与相交
【正确答案】C
【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断可得答案.
【详解】对于A，若，，则，或与相交，或与异面，故A错误；
对于B，若，，则或与相交，或与异面，故B错误；
对于C，若，，则，故C正确；
对于D，若，，则与相交，或与异面，故D错误.
故选：C.
6. 在中，a，b是∠A，∠B，所对的边，已知，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【正确答案】D
【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式化简求解即得.
【详解】在中，由及正弦定理，得，
则，而，
因此或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故选：D
7. 下列三个关于函数命题：
①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象；
②函数的图象关于对称；
③函数在上单调递增．
其中，真命题的序号是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. 以上皆不对
【正确答案】C
【分析】对于①，利用三角恒等变换得到，利用左加右减得到平移后的解析式，得到①错误；对于②，计算出，②错误；对于③，求出，由于在上单调递增，得到③正确.
【详解】对于①，
，
的图象向右平移个单位得到，①错误；
对于②，，故图象不关于对称，②错误；
对于③，时，，
由于在上单调递增，
故在上单调递增，③正确．
故选：C
8. 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半径即得.
【详解】如图，设点在底面的射影为点，
因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上，
连接，设球的半径为，则，
由正弦定理，解得，
在中，，则，
在中，由，解得，
则球的表面积为.
故选：B.
9. 定义在R上偶函数满足，且当时，若关于x的不等式的整数解有且仅有9个，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意画出示意图，根据数形结合解题即可.
【详解】因为定义在R上的偶函数满足，
所以，从而函数的周期为4，
根据函数性质画出函数的示意图，
关于x的不等式的整数解有且仅有9个，
从而满足 ，解得实数m的取值范围为.
故选：C.
本题主要考查函数的对称性，奇偶性，周期性等函数性质，利用数形结合进行解题，数形结合思想是高中数学思想方法中非常重要的一个思想方法，平时在学习中注意理解消化吸收.
二、填空题
10. 复数__________.
【正确答案】
【分析】利用复数的除法计算即得.
【详解】依题意，.
故
11. 在的展开式中，含的项的系数为____________．
【正确答案】
【分析】根据二项展开式可得，从而可求解.
【详解】由题意可得的二项展开式的通项公式为，
令，可得，所以，故含的项的系数为80.
故80.
12. ______．
【正确答案】1
【分析】结合指数、对数运算求得正确答案.
【详解】
.
故
13. 某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则小李第二天去乙家餐厅的概率为 ________．
【正确答案】##0.3
【分析】先将事件用字母表示出来，再利用条件概率和全概率公式即可解决.
【详解】解：设A1＝“第1天去甲餐厅用餐“，B1＝“第1天去乙餐厅用餐”，A2＝“第2天去甲餐厅用餐”，B 2＝“第2天去乙餐厅用餐”，
根据题意得，,.
则，，则，
则，则.
由全概率公式得：，
即
∴小李第二天去乙家餐厅的概率为．
故．
14. 如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则该六面体的体积等于________，表面积等于______．
【正确答案】 ①. 6 ②. 22
【分析】根据，，均垂直于平面，所以，在上取，连接，从而根据线线平行可得故为三棱柱，为三棱柱，根据柱体体积公式即可得该六面体的体积，根据几何体外表面的线线关系结合勾股定理、余弦定理、三角形面积公式、梯形面积公式、正方形面积公式，即可得几何体的表面积.
【详解】如图，在上取，连接，
因为，，均垂直于平面，所以，
则，因为正方形，所以，
又平面，所以平面，
由可得四边形为平行四边形，所以，
因为面为正方形，则，所以，
则四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为平面平面，则，
所以四边形为平行四边形，所以，
故为三棱柱，为三棱柱，
则该六面体的体积；
如图，连接，
又，，
所以，
则在四边形中，由余弦定理得，
所以，则，
该六面体的表面积
.
故；.
关键点点睛：解决本题的关键是确定六面体的线线关系.关于求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
15. 在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则__________；若，的面积为，则当__________时，取得最小值．
【正确答案】 ①. ##0.5 ②. 2
【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面积公式得到，结合和平面向量数量积公式，基本不等式得到的最小值，此时，由余弦定理得到.
【详解】由题意得
，
故，故；
由三角形面积公式得，
故，
其中，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时
，
故.
故，2
三、解答题
16. 已知的内角所对的边长分别为，，，且，，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积；
（3）求的值.
【正确答案】（1）
（2）5 （3）
【分析】（1）根据题意利用余弦定理运算求解即可；
（2）利用面积公式运算求解即可；
（3）利用余弦定理先求，利用倍角公式以及两角和差公式运算求解.
【小问1详解】
因为，，，
由余弦定理可得，
且，所以.
【小问2详解】
由（1）可得的面积.
【小问3详解】
因为，，，
由余弦定理可得，
且，则，
可得，
所以.
17. 在如图所示的几何体中，四边形为正方形，，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求点到平面的距离．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）连结，设，设为的中点，连结，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．
（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的大小．
（3）利用向量法可求点到平面距离
【小问1详解】
连结，设，
因为四边形为正方形，所以为中点．设为的中点，连结，
则，且．
由已知，且，
所以，．所以四边形为平行四边形．
所以，即．
因平面DEF，平面，
所以平面．
【小问2详解】
由已知平面，所以，，
因为四边形为正方形，所以，所以两两垂直，
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图），
因为，
所以A0,0,0，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得．
设直线与平面所成角为，则，
因为，所以．
即直线与平面所成角为．
【小问3详解】
，平面的一个法向量为，
则点到平面的距离．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角大小的求法，考查点到面的距离的求法，属中档题．
18. 已知函数，其图象与直线的交点的横坐标为，且的最小值为．
（1）求的最小正周期和对称中心坐标；
（2）求函数在区间上的取值范围；
（3）求函数的单调递增区间．
【正确答案】（1），
（2）
（3）
【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数表达式，由题意得函数周期进而得表达式，整体代入求解对称中心即可.
（2）由题意得，由此即可得解.
（3）由复合函数单调性令，即可得解.
【小问1详解】
因为图象与直线的交点的横坐标为，且的最小值为，
所以函数的最小正周期为，得到．
则，
由，得，
所以图象的对称中心坐标为．
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以
即的取值范围为.
【小问3详解】
由，得
所以的单调递增区间为.
19. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求平面ADF与平面BDF夹角余弦值；
（3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【分析】（1）设，连结，，证明为平行四边形，得，然后由线面平行的判定定理得证；
（2）以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；
（3）设，利用，用表示出，根据的范围得出的范围，从而得的最大值．
【小问1详解】
设，连结，，
矩形中是线段的中点，是线段的中点，
所以，，所以为平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，
面面，，面，所以面，
以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，是线段的中点，
则，，，，
从而，，
设平面的一个法向量是，
则，取，得，
易知平面的一个法向量是，,
所以平面ADF与平面BDF夹角余弦值是；
【小问3详解】
在（2）的坐标坐标系中，，，，在上，设，，
从而，
因为，所以，
，又，则，即，
所以的最大值是．
结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两异面直线所成的角为，；
②直线与平面所成的角为，；
③二面角的大小为，.
20. 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处切线的方程；
（2）当时，求函数f(x)的极值；
（3）若，证明对任意恒成立．
【正确答案】（1）；（2）极大值为，极小值为；（3）证明见解析.
【分析】
（1）把代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到曲线在点处的导数值，再求出，代入直线方程的点斜式，求切线方程；
（2）求函数的导函数，得到导函数的零点，利用导函数在各个区间段内的符号，判断原函数的单调性；
（3）当，在内是减函数，又，不妨设，则，于是等价于，即，构造，利用导数证明其为减函数得到答案.
【详解】（1）当时，，，
，，
故切线方程为：，整理得；
（2）
令，解得或，
又，，
故当时，取极大值为，
当时，取极小值为.
（3），在内是减函数，
又，不妨设，则，
于是等价于，
即，
令，
在内是减函数，
故，
从而在内是减函数，
对任意，有，
即，
当，对任意恒成立．
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增