2025清远清新区四校高三上学期期末联考试题数学含解析

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满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
3. 在等比数列中，，则（ ）
A. 4B. C. 8D. 5
4. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 过圆上一点作圆两条切线，切点分别为，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．每题至少两项是符合题目要求的．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9. 在正方体中，M，N，P分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 平面D. 与所成角是
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为2
C. 若，则的最大值为2
D. 若，则
11. 已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（ ）
A 若圆与圆无公共点，则
B. 当时，两圆公共弦所在直线方程为
C. 当时，则斜率的最大值为
D. 当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于
12. 已知函数，，其中且．若函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，有且只有一个零点
B. 当时，有两个零点
C. 当时，曲线与曲线有且只有两条公切线
D. 若为单调函数，则
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记为该区代表中被抽到发言的人数，则______.
14. 函数是奇函数，则__________.
15. 已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是______________．
16. 如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，，，，且二面角的正切值为．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱内运动，，则的最小值为______．

四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最小值.
18. 设是等比数列且公比大于0，其前项和为是等差数列，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求满足的最大整数的值．
19. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，，
（1）求四棱锥的体积；
（2）求直线与平面夹角正弦值．
20. 甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．
（1）在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；
（2）赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利（获利=总收入预支球队费用）的期望高于万元？
21. 抛物线：，双曲线：且离心率，过曲线下支上的一点作的切线，其斜率为.
（1）求的标准方程；
（2）直线与交于不同的两点，，以PQ为直径的圆过点，过点N作直线的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说明理由.
22. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．