2025苏州中考数学二轮专题复习-圆的综合应用-专项训练【含答案】

这是一份2025苏州中考数学二轮专题复习-圆的综合应用-专项训练【含答案】，共18页。
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．
3．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF＝4，BF＝2，求AG的长．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．
5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE•DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．
7．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．
（1）求证：△DOE∽△ABC；
（2）求证：∠ODF＝∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若＝，求sinA的值．
8．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，csB＝，E是的中点，求EG•ED的值．
9．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．
（1）求证：ED∥AC；
（2）若BD＝2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且﹣16S2+4＝0，求△ABC的面积．
10．如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，＝，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求劣弧的长；
（2）求证：BF＝BD；
（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系．
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BCD，
∴，
∵，D为AB中点，
∴，
∴BC2＝16，
∴BC＝4；
（2）过点A作AE⊥CD于点E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，
∵在Rt△AED中，，，
∴DE＝1，
∴，
∵△BAC∽△BCD，
∴，
设CD＝x，则AC＝x，CE＝x﹣1，
∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，
∴，即x2+2x﹣8＝0，
解得x＝2，x＝﹣4（舍去），
∴CD＝2，AC＝，
∵∠AFC与∠ADC都是所对的圆周角，
∴∠AFC＝∠ADC，
∵CF为⊙O的直径，
∴∠CAF＝90°，
∴，
∴，即⊙O的半径为．
2．【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∵ 所对的圆周角为∠BDE和∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴△DBE∽△ABC；
（2）解：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，
∴AB＝＝5，
∵CG⊥AB，
∴AG＝ACcsA＝×＝1，
∵AF＝2，
∴FG＝AG＝1，
∴CG是AF的垂直平分线，
∴AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，
∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，
∵△DBE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴ED＝．
3．【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD.
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵FC＝FE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠OED＝∠FEC，
∴∠OED＝∠FCE，
∵AB是直径，D是的中点，
∴∠DOE＝90°，
∴∠OED+∠ODC＝90°，
∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，
∵OC是半径，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：过点G作GH⊥AB于点H．
设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，
在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，
∴r＝3，
∵GH⊥AB，
∴∠GHB＝90°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠GHB＝∠DOE，
∴GH∥DO，
∴＝，
∵G为BD的中点，
∴BG＝BD，
∴BH＝BO＝，GH＝OD＝，
∴AH＝AB﹣BH＝6﹣＝，
∴AG＝＝＝．
4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠1＝∠2，
∴＝，
∴AD＝DC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED；
（2）解：过点D作DM⊥BE于M，
∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，
∴BE＝BC+EC＝10，
∵BD＝ED，DM⊥BE，
∴BM＝ME＝BE＝5，
∴CM＝BC﹣BM＝1，
∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，
∴∠2＝30°，
∴DM＝BM•tan∠2＝5×＝，
∴tan∠DCB＝＝．
5．【解答】解：（1）因为点D是弧BC的中点，
所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，
而∠BOD＝2∠BAD，
所以∠CAB＝∠BOD，
所以DO∥AC；
（2）∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD2＝DE•DA；
（3）∵tan∠CAD＝，连接BD，则BD＝CD，
∠DBC＝∠CAD，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝＝，
设：DE＝a，则CD＝2a，
而CD2＝DE•DA，则AD＝4a，
∴AE＝3a，
∴＝3，
而△AEC∽△DEF，
即△AEC和△DEF的相似比为3，
设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，
tan∠CAD＝，
∴AC＝6k，AB＝10k，
∴sin∠CDA＝．
6．【解答】证明：（1）连接AC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴∠DCO＝∠D＝90°，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OC＝OA，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
在△CDA和△CEA中，
∵，
∴△CDA≌△CEA（AAS），
∴CD＝CE；
（2）证法一：连接BC，
∵△CDA≌△CEA，
∴∠DCA＝∠ECA，
∵CE⊥AG，AE＝EG，
∴CA＝CG，
∴∠ECA＝∠ECG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG，
∵∠D＝90°，
∴∠DCF+∠F＝90°，
∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°，
∴∠AOC＝2∠F＝45°，
∴△CEO是等腰直角三角形；
证法二：设∠F＝x，则∠AOC＝2∠F＝2x，
∵AD∥OC，
∴∠OAF＝∠AOC＝2x，
∴∠CGA＝∠OAF+∠F＝3x，
∵CE⊥AG，AE＝EG，
∴CA＝CG，
∴∠EAC＝∠CGA，
∵CE⊥AG，AE＝EG，
∴CA＝CG，
∴∠EAC＝∠CGA，
∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x，
∵∠DAC+∠EAC+∠OAF＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，
x＝22.5°，
∴∠AOC＝2x＝45°，
∴△CEO是等腰直角三角形．
7．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠ABC，
∴△DOE∽△ABC；
（2）证明：∵△DOE∽△ABC，
∴∠ODE＝∠A，
∵∠A和∠BDC是所对的圆周角，
∴∠A＝∠BDC，
∴∠ODE＝∠BDC，
∴∠ODF＝∠BDE；
（3）解：∵△DOE∽△ABC，
∴，
即S△ABC＝4S△DOE＝4S1，
∵OA＝OB，
∴，即S△BOC＝2S1，
∵，
∴，
∴，
即，
∴sinA＝sin∠ODE＝＝．
8．【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°﹣∠E，
又∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°，
又∵∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝110°；
（3）解：连接OE，
∵∠CFD＝∠E＝∠C，
∴FD＝CD＝BD＝4，
在Rt△ABD中，csB＝，BD＝4，
∴AB＝6，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°，
∵AO＝OE＝3，
∴AE＝3，
∵E是的中点，
∴∠ADE＝∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴＝，
即EG•ED＝AE2＝18．
9．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠E＝∠BAD，
∴∠E＝∠DAC，
∵BE∥AD，
∴∠E＝∠EDA，
∴∠EDA＝∠DAC，
∴ED∥AC；
（2）解：∵BE∥AD，
∴∠EBD＝∠ADC，
∵∠E＝∠DAC，
∴△EBD∽△ADC，且相似比k＝，
∴＝k2＝4，即s1＝4s2，
∵﹣16S2+4＝0，
∴16﹣16S2+4＝0，
即＝0，
∴S2＝，
∵＝＝＝＝3，
∴S△ABC＝．
10．【解答】（1）解：连接OB，OD，
∵∠DAB＝120°，∴所对圆心角的度数为240°，
∴∠BOD＝360°﹣240°＝120°，
∵⊙O的半径为3，
∴劣弧的长为：×π×3＝2π；
（2）证明：连接AC，
∵AB＝BE，∴点B为AE的中点，
∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，
∴BF＝AC，
∵＝，
∴+＝+，
∴＝，
∴BD＝AC，
∴BF＝BD；
（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，
∵BF为△EAC的中位线，
∴BF∥AC，
∴∠FBE＝∠CAE，
∵＝，
∴∠CAB＝∠DBA，
∵由作法可知BP⊥AE，
∴∠GBP＝∠FBP，
∵G为BD的中点，
∴BG＝BD，
∴BG＝BF，
在△PBG和△PBF中，
，
∴△PBG≌△PBF（SAS），
∴PG＝PF．
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