江苏省南通市海门中学2024-2025学年高三（上）数学第16周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏省南通市海门中学2024-2025学年高三（上）数学第16周阶段性训练模拟练习【含答案】，共23页。试卷主要包含了记抛物线y2＝2px，已知函数关于x的方程f，已知曲线E，已知函数f，已知a，b∈R+，直线l1等内容，欢迎下载使用。
1．数列{an}是公差不为零的正项等差数列，{bn}为等比数列，若b1＝a2，b2＝a5，b3＝a11．则数列{bn}的公比为（ ）
A．2B．3C．5D．11
2．记抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A（4，m）为抛物线上一点，|AF|＝6，直线AF与抛物线另一交点为B，则＝（ ）
A．B．C．2D．3
3．P是直线3x﹣4y+5＝0上的一动点，过P作圆C：x2+y2﹣4x+2y+4＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数关于x的方程f（x）＝t有且仅有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．（﹣∞，﹣e）C．（0，e）D．（e，+∞）
5．已知曲线E：y＝ex与y轴交于点A，设E经过原点的切线为l，设E上一点B横坐标为m（m≠0），若直线AB∥l，则m所在的区间为（ ）
A．﹣1＜m＜0B．0＜m＜1C．1＜m＜D．＜m＜2
二．多选题（共6小题）
（多选）6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，P为正方体表面上一个动点，则（ ）
A．当P在线段BC1上运动时，A1P与AD1所成角的最大值是
B．当P在棱B1C1上运动时，存在点P使PE＝PD
C．当P在面BB1C1C上运动时，四面体P﹣AA1D的体积为定值
D．若P在上底面A1B1C1D1上运动，且正方体棱长为1，AP与AA1所成角为，则点P的轨迹长度是π
（多选）7．已知函数f（x）和g（x）是定义域为R的函数．若f（x﹣2）＝f（﹣x），f（x）+g（x+3）＝3，f（﹣x﹣2）﹣g（x+1）＝﹣1，且f（﹣1）＝2．则下列结论正确的是（ ）
A．函数y＝g（x）的图象关于直线x＝1对称
B．g（1）＝2
C．函数y＝f（x）的图像关于直线x＝﹣1对称
D．
（多选）8．若直线y＝ax+b与曲线y＝2+lnx相切，则a+b的取值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．6
（多选）9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D，E，F分别为AA1，BB1，CC1的中点，P为棱CC1上的动点，则（ ）
A．平面AB1F⊥平面ABB1A1
B．点B1到平面BCD的距离为
C．DB1与DP所成角的余弦值的取值范围为
D．以F为球心，为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为
（多选）10．已知a，b∈R+，直线l1：x+（a﹣2）y+1＝0，l2：2bx+y﹣2＝0，且l1⊥l2，则（ ）
A．ab的最大值是1B．a2+b2的最小值是
C．2a+4b的最小值是4D．的最小值是3
（多选）11．定义在R上的函数f（x）满足2f（3﹣x）﹣f（x）＝x2﹣12x+18，f′（x）是函数f（x）的导函数，则（ ）
A．f（0）+f′（0）＝0
B．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣1＝0
C．f（x）﹣f′（x）≥m在R上恒成立，则m≤﹣2
D．
三．填空题（共5小题）
12．已知（x+1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝ .（用数字作答）
13．若不等式eax+（2a﹣1）x﹣2lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是 ．
14．已知椭圆C：的左焦点为F（﹣c，0），直线l：x﹣3y+c＝0与C交于A，B两点，若|AB|＝3|AF|，则C的离心率是 ．
15．已知抛物线Γ：x2＝2py（p＞0）的顶点为O，焦点为F，准线为l，过F的直线与Γ在y轴右侧交于点E．若E在l上的射影为Q且|FQ|＝4|FO|，则直线EF的斜率为 ．
16．将正方形ABCD沿对角线BD折起，当AC＝2时，三棱锥A﹣BCD的体积为，则该三棱锥外接球的体积为 ．
四．解答题（共7小题）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，当n⩾2时，2（n﹣1）Sn＝2nSn﹣1+n2﹣n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：．
18．已知函数f（x）＝alnx+x，g（x）＝+1，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若0＜a≤1，证明：对任意的x＞0，f（x）＜g（x）恒成立．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，是椭圆上的点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A为C的左顶点，过F2的直线交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ分别交直线x＝4于M，N两点，B是线段MN的中点，在x轴上求出一定点D，使得BD⊥PD．
20．已知双曲线C：的离心率是3，点在C上．
（1）求C的标准方程．
（2）已知直线l与C相切，且与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，试问•是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝x﹣x3．
（1）求f（x）的极值；
（2）已知，证明：．
22．已知函数f（x）＝ex﹣aln（x+1）（a∈R）．
（1）若f（x）的最值为a，求实数a的值；
（2）当a＝（n∈N*）时，证明：f（x）≥（n+1）a．
23．在平面直角坐标系中，已知F1（﹣1，0），F2（1，0），Q为动点，且|F2Q|＝4，线段F1Q的垂直平分线交线段F2Q于点P，设P的轨迹是曲线C，射线PF1，PF2分别与C交于A，B两点．
（1）求C的方程；
（2）若，，求证：λ1+λ2为定值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：因为数列{an}是公差不为零的正项等差数列，{bn}为等比数列，
若b1＝a2，b2＝a5，b3＝a11，则b1＝a1+d，b1q＝a1+4d，，
则（a1+4d）2＝（a1+d）（a1+10d），
整理得，a1＝2d，
所以q＝＝＝2．
故选：A．
2．【解答】解：A（4，m）为抛物线上一点，|AF|＝6，
则，解得p＝4，
A（4，m）为抛物线上一点，
则2×4×4＝m2，解得m＝，
由对称性，不妨取m＝，
A（4，4），F（2，0），
故，
直线AF的方程为y＝，
联立，化简整理可得，x2﹣5x+4＝0，解得x1＝4或x2＝1，
故xB＝1，
所以|BF|＝，
故＝．
故选：C．
3．【解答】解：将圆C化为标准方程：（x﹣2）2+（y+1）2＝1，
所以圆心C（2，﹣1），半径r＝1，点C到直线3x﹣4y+5＝0的距离，
显然|PC|≥d＝3，由于PA，PB切圆C于点A，B，
则
所以四边形PACB的面积＝＝，当且仅当直线PC垂直于直线3x﹣4y+5＝0时取等号，
所以四边形PACB面积的最小值为．
故选：B．
4．【解答】解：当x≤0时，f′（x）＝（1+x）ex，
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，当﹣1＜x≤0时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，0]单调递增．
当x＞0时，f′（x）＝lnx+1，
当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
所以f（x）在单调递减，在单调递增，
所以f（x）的最小值为．
画出函数f（x）的图象，如下图所示．
f（x）＝t有四个不同的实数根，由图象可知，，
所以t的取值范围是．
故选：A．
5．【解答】解：∵曲线E：y＝ex与y轴交于点A，∴A（0，1），
设直线l与曲线E相切于点（x0，），
∵曲线E：y＝ex，∴y′＝ex，
∴切线l的斜率k＝，
∴切线l的方程为y﹣＝（x﹣x0），
又∵切线l过原点，∴﹣＝（﹣x0），
∴x0＝1，
∴切线l的斜率k＝e，
∵直线AB∥l，∴kAB＝e，
∵A（0，1），B（m，em），
∴，
即em﹣em﹣1＝0，
则m是方程em﹣em﹣1＝0的不等于0的根，
设f（m）＝em﹣em﹣1（m≠0），
则m是函数f（m）的不等于0的零点，
∵f（1）＝e﹣e﹣1＜0，f（）＝﹣﹣1＜0，f（2）＝e2﹣2e﹣1＞0，且函数f（m）的图象在（，2）上连续，
∴m∈（，2）．
故选：D．
二．多选题（共6小题）
6．【解答】解：对于A，A1P与AD1所成角等价于A1P与BC1所成的角，
当P为BC1的中点时，A1P⊥BC1，此时所成的角最大，为，如图1所示，选项A错误；
对于B，过P作BC的垂线交BC于P′，若PE＝PD，则P′E＝P′D，如图2所示，选项B正确；
对于C，因为P到平面AA1D的距离不变，三角形AA1D面积不变，
所以四面体P﹣AA1D的体积为定值，如图3所示，选项C正确；
对于D，由题意知，P所在的轨迹是以A1为圆心1为半径的弧B1D1，
所以轨迹长度是×2π×1＝，如图4所示，选项D错误．
故选：BC．
7．【解答】解：由f（x﹣2）＝f（﹣x）可知f（﹣2+x）＝f（x），即f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，C正确，
所以f（﹣x﹣2）＝f（x），则g（x+3）+g（x+1）＝4①，
则f（﹣x﹣2）+g（﹣x+1）＝3，g（﹣x+1）+g（x+1）＝4②，
即g（x）的图象关于点（1，2）对称，g（1）＝2，g（3）＝2，故B正确；
由①②可知g（x+3）＝g（﹣x+1），所以g（x）的图象关于直线x＝2对称．故A错误，
所以4是g（x）的周期，
由f（﹣1）＝2，f（﹣1）+g（2）＝3，得g（2）＝1，
令x＝﹣1，由①得g（0）＝3，4是g（x）的周期，g（0）+g（1）+g（2）+g（3）＝8，
所求和共有2024项，故，故D错误．
故选：BC．
8．【解答】解：设切点为 （x0，2+lnx0），
∵y′＝，∴．
又∵切点（x0，2+lnx0）在直线y＝ax+b上，
∴2+lnx0＝ax0+b＝1+b，解得b＝1+lnx．
∴lnx0．
令，则g′（x）＝，
可得g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）mn＝g（1）＝2，故a+b 的取值范围为[2，+∞）．
由选项可知，a+b的取值可能为2，3，6．
故选：BCD．
9．【解答】解：对于A，取AB1的中点G，连接FG，DE，易知G也是DE的中点，在△AB1F中，
因为FA＝FB1，G为AB1的中点，
所以FG⊥AB1，
在△DEF中，因为FD＝FE，G为DE的中点，
所以FG⊥DE．又因为AB1，DE⊂平面 ABB1A1，
所以FG⊥平面ABB1A1，
又因为FG⊂平面AB1F，所以平面AB1F⊥平面ABB1A1，故A正确；
对于B，设点B1到平面BCD的距离为h，
易知S△BCD＝＝2，＝＝2，
因为，所以，解得，故B错误；
对于C，取BC的中点Q，连接AQ，易知AQ⊥BC，
以A为坐标原点，向量，， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，1），，
设，0≤t≤2，
则，，t﹣1），设DB1与DP所成的角为θ，
则，令u＝t﹣1（﹣1≤u≤1），
则csθ＝，
当u＝0，即t＝1时，；
当0＜u≤1，即1＜t≤2时，csθ＝，由对勾函数的性质可知，
当﹣1≤u＜0，即0≤t＜1时，由对勾函数的性质可知，
综上所述，DB1与DP所成角的余弦值的取值范围为，故C正确；
对于D，由A选项中的结论知FG⊥平面ABB1A1，，
又因为球面的半径为，
所以以F为球心，为半径的球面与侧面ABB1A1的交线（圆的一部分）的半径为，如图，
，GE＝1，所以，
解得，由圆与正方形的对称性知＝，
因为以F为球心，为半径的球面与侧面ABB1A1的交线为4段弧长，这4段弧长均相等，
所以球面与侧面ABB1A1的交线长为，故D正确．
故选：ACD．
10．【解答】解：直线l1：x+（a﹣2）y+1＝0，l2：2bx+y﹣2＝0，且l1⊥l2，则2b+（a﹣2）＝0，即a+2b＝2．
对于A，2＝a+2b≥，两边平方得4≥8ab，即，
当且仅当a＝2b＝1时，ab的最大值是，故A项不正确；
对于B，a2+b2＝（2﹣2b）2+b2＝5b2﹣8b+4，当时，a2+b2的最小值为，故B项正确；
对于C，2a+4b≥，当且仅当a＝2b＝1时，2a+4b的最小值是4，故C项正确；
对于D，（a+1）+2b＝3，则，
因为，所以，
当且仅当a+1＝b，即a＝0，b＝1时，等号成立，这与条件a、b均为正数矛盾，故D项不正确．
故选：BC．
11．【解答】解：由2f（3﹣x）﹣f（x）＝x2﹣12x+18，可得2f（3﹣x）＝f（x）+x2﹣12x+18，
则2f（3+x﹣3）＝f（﹣x+3）+（﹣x+3）2﹣12（﹣x+3）+18，
所以2f（x）＝f（3﹣x）+x2+6x﹣9，
所以，
所以f（x）＝x2，则f′（x）＝2x，
所以f（0）＝0，f′（0）＝0，所以f（0）+f′（0）＝0，故A正确；
f（1）＝1，f′（1）＝2×1＝2，则切线方程为2x﹣y﹣1＝0，故B正确；
f（x）﹣f′（x）＝x2﹣2x≥m在R上恒成立，
由x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，可得m≤﹣1，故C错误；
，
令，则g′（x）＝，
所以当x∈（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）时，g′（x）＜0；当x∈（﹣1，5）时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（﹣∞，﹣1）、（5，+∞）上单调递减，在（﹣1，5）上单调递增，
所以g（x）极小值＝，
所以当x＞5时，x2﹣2x﹣7＝（x﹣1）2﹣8＞42﹣8＞0，
所以g（x）≥﹣4e，所以，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共5小题）
12．【解答】解：将已知关系式两边求导得：，
令x＝2，可得．
故答案为：405．
13．【解答】解：令F（x）＝ex+2x，可知F（x）单调递增，
eax+（2a﹣1）x﹣2lnx≥0恒成立，
则eax+2ax≥x+2lnx，
即恒成立，
令，
当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）的最大值为，则，
故a的取值范围是．
故答案为：．
14．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为|AB|＝3|AF|，所以，
所以y2＝﹣2y1．联立，整理得（a2+9b2）y2﹣6b2cy﹣b4＝0，
则，，
从而，
整理得81c2＝10a2，
故＝．
故答案为：．
15．【解答】解：设准线l与y轴交于点H，
则H，
又F，
因为E在l上的射影为Q且|FQ|＝4|FO|，
则，
即，
则∠FQH＝60°，
则，
则，
则点E的横坐标为，
设点E的纵坐标为t，其中t＞0，
则，
即，
则，
则直线EF的斜率为＝．
故答案为：．
16．【解答】解：将正方形ABCD沿对角线BD折起，如图：
设正方形ABCD边长为a，则OA＝OB＝OC＝OD＝a，
则点O为三棱锥A﹣BCD外接球的球心，半径为a，
在三角形AOC中，作AM⊥OC，设AM＝h，
由于ABCD为正方形，则OA⊥BD，OC⊥BD，
OA∩OC＝O，则BD⊥平面AOC，则BD⊥AM，又AM⊥OC，
BD∩OC＝O，则AM⊥平面BCD，在△AOC中，
根据面积相等有：＝，
又三棱锥A﹣BCD的体积为，则＝，
可得h＝，a2＝8，
三棱锥A﹣BCD外接球半径为×＝2，
则其体积为＝．
故答案为：．
四．解答题（共7小题）
17．【解答】解：（1）∵当n⩾2时，，
则2（n2﹣n）≠0，
∴，
当 n＝1时，S1＝a1＝2，
∴，
∴数列是首项为2，公差为的等差数列，
∴，∴，
当n⩾2时，，
当 n＝1时，a1＝1+1＝2，
∴数列{an}的通项公式an＝n+1；
（2）证明：由（1）得数列{an}的通项公式an＝n+1，
∵（n+1）2﹣n（n+2）＝1＞0，
∴，
当n＝1时，，
当n⩾2时，，
综上所述，．
18．【解答】解：（1）f（x）＝alnx+x（x＞0），f′（x）＝+1＝，
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，
由f′（x）＜0，解得x＜﹣a，所以x∈（0，﹣a），此时f（x）单调递减，
由f′（x）＞0，解得x＞﹣a，此时f（x）单调递增，
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．
（2）要证f（x）＜g（x），x＞0，
即证alnx+x＜+1，
只需证+1＜，
只需证（+1）max＜（）min，
设h（x）＝+1，φ（x）＝，
则h'（x）＝，0＜a≤1，
0＜x＜e时，h'（x）＞0，x＞e时，h'（x）＜0，故h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
当x＝e时，h（x）取得最大值h（e）＝，
φ'（x）＝＝，
故0＜x＜2时，φ'（x）＜0，x＞2时，φ'（x）＞0，故φ在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
当x＝2时，φ（x）取得最小值φ（2）＝，
∵0＜a≤1，
∴﹣﹣1＞＞0，
∴＞，即（+1）max＜（）min，
所以0＜a≤1时，对任意的x＞0，f（x）＜g（x）恒成立．
19．【解答】解：（1）因为是椭圆C上的点，
所以b＝，①
因为椭圆C的离心率为，
所以e＝，②
又a2＝b2+c2，③
联立①②③，
解得a＝2，c＝1，
则椭圆C的标准方程为；
（2）易知点D在以BP为直径的圆上，
不妨设直线PQ的方程为x＝my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
此时，
易知A（﹣2，0），
此时直线AP的方程为y＝，
令x＝4，
解得y＝，
即，
同理得，
此时MN中点，
则以BP为直径的圆的方程为，
令y＝0，
此时，
，
所以（x﹣4）（x﹣x1）﹣3my1＝0，
即x2﹣（4+x1）x+4x1﹣3my1＝0，
因为点P在直线PQ上，
所以x1＝my1+1，
此时x2﹣（5+my1）x+my1+4＝0，
即（x﹣1）（x﹣my1﹣4）＝0，
解得x＝1，
故D点坐标为（1，0）．
20．【解答】解：（1）由双曲线C离心率是3，点在C上，
可得，解得，
所以C的标准方程为；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，可得（8k2﹣1）x2+16kmx+8m2﹣8＝0，
则Δ＝（16km）2﹣4（8k2﹣1）（8m2﹣8）＝0，即8k2+m2＝1．
由（1）可知C的渐近线方程为和，
不妨设直线l与直线的交点为A，与直线的交点为B，
联立，解得，即，
联立，解得，即，
则，
得，
因为8k2+m2＝1，所以m2＝1﹣8k2，
所以，即，
故是定值，且该定值为﹣7．
21．【解答】解：（1）f（x）＝x﹣x3，f′（x）＝1﹣3x2，
令f′（x）＝0，可得．
令f′（x）＞0，可得；
令f′（x）＜0，可得，或．
所以f（x）在上单调递增，在和上单调递减．
所以f（x）的极大值为，f（x）的极小值为．
（2）证明：由，
可得，
所以．
由对称性，不妨设，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以．
由（1）可知f（x）在上的最大值为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因为等号不能同时取到，所以．
22．【解答】解：（1）由f（x）＝ex﹣aln（x+1），得（x＞﹣1），
①若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）为单调递增函数，无最值；
②若a＞0，令函数g（x）＝（x+1）ex﹣a，则g′（x）＝（x+2）ex，
当x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）为单调递增函数，
又g（﹣1）＝﹣a＜0，g（a）＝（a+1）ea﹣a＞（a+1）﹣a＝1＞0，
∴g（x）在区间（﹣1，a）上存在唯一零点，不妨设其为x0，
则g（x0）＝0，即（*），
∴当x∈（﹣1，x0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在区间（﹣1，x0）上单调递减；
∴当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（x0，+∞）上单调递增，
∴f（x）存在唯一的最值（最小值），且最小值为，
由题意可知，（**），
∵，∴，代入（**），
得，又a＞0，∴，
令函数，则，
∴h（x）为单调递减函数，易知h（0）＝1，
∴由可知，x0＝0，∴由可知，a＝1，
综上，实数a的值为1．
（2）证明：由（1）可知，当时，f（x）的最小值为，
且，∴（*），
对（*）式两边取对数，得x0＝lna﹣ln（x0+1）＝﹣n﹣ln（x0+1），∴x0+n＝﹣ln（x0+1），
∵，
∴由基本不等式，可得，
∴，
又f（x）≥f（x0），∴f（x）≥（n+1）a．
23．【解答】解：（1）易知|PF1|＝|PQ|，
因为|PF1|+|PF2|＝|PQ|+|PF1|＝|QF|＝4＞|F1F2|＝2，
所以P的轨迹是以F1（﹣1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆，
且2a＝4，2c＝2，
解得a＝2，c＝1，
则b2＝a2﹣c2＝3，
故C的方程为；
（2）证明：不妨设直线PA的方程为x＝my﹣1，P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
此时Δ＞0，
因为点P在直线PA和曲线C上，
所以，，
由韦达定理得，
同理得，
因为，，
所以
＝＝．
故λ1+λ2为定值．