2024-2025学年陕西师大附中高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西师大附中高二（上）第二次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.椭圆x2a2+y2=1(a>1)的离心率为12，则a=( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 2
2.如果AB>0，BC>0，那么直线Ax−By−C=0不经过的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )
A. −24B. −3C. 3D. 8
4.圆O1：x2+y2−2x+6y=0和圆O2：x2+y2−6x=0的公共弦AB的垂直平分线的方程是( )
A. 2x−3y+3=0B. 2x−3y−5=0C. 3x−2y−9=0D. 3x−2y+7=0
5.已知数列{an}是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“q>1”是“数列{an}是递增数列”的( )
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知M是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)左支上的一个点，F1，F2是双曲线的焦点，MF1⊥MF2，且sin∠MF1F2：sin∠MF2F1=2：1，则双曲线的离心率为( )
A. 2B. 3C. 5D. 7
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S90，则当Sn最小时，n的值为( )
A. 4B. 5C. 8D. 9
8.已知点A(2,−1)，P为椭圆C：x24+y23=1上的动点，B是圆C1：(x−1)2+y2=1上的动点，则|PB|−|PA|的最大值为( )
A. 5B. 2+1C. 3D. 5− 10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程x23−t+y2t−1=1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是( )
A. 若10)，过焦点F的直线与C交于点A，B.当直线AB垂直于x轴时，|AB|=2．
(1)求C的方程；
(2)已知点P(1,0)，直线AP，BP分别与C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.C
5.D
6.C
7.B
8.D
9.BC
10.ABD
11.ABD
12.(x+1)2+(y+5)2=26
13.4 23
14.4，5，6，7
15.(1)解：(1)设数列{an}的首项为a1，公比为q，
因为S2=−3，S3=9，
所以a1+a1q=−3a1+a1q+a1q2=9，解得q=−2a1=3，
所以an=a1qn−1=3⋅(−2)n−1．
(2)解：因为q=−2，所以Sn=a1(qn−1)q−1=3[(−2)n−1]−2−1=1−(−2)n，
所以Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，理由如下：
因为Sn+1=1−(−2)n+1，Sn+2=1−(−2)n+2，
所以Sn+1+Sn+2−2Sn=[1−(−2)n+1]+[1−(−2)n+2]−2[1−(−2)n]=1+2⋅(−2)n+1−22⋅(−2)n−2+2⋅(−2)n=0，
即Sn+1+Sn+2=2Sn，所以Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．
16.解：(1)设动点P(x,y)，由|PO||PA|=12，得|PA|2=4|PO|2，
即(x−3)2+y2=4(x2+y2)，整理得(x+1)2+y2=4，
故动点P的轨迹C的方程为(x+1)2+y2=4．
(2)由题可知圆Q的半径为t，所以圆Q的方程为(x−t)2+(y−t)2=t2，
因为圆Q与曲线C有公共点，所以可得：(2−t)2≤2t2+2t+1≤(2+t)2，
解得−3+2 3≤t≤3，故实数t的取值范围是[−3+2 3,3]．
17.解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，①
则当n≥2时，an=2Sn−1+1，②
①−②得：an+1−an=2an，整理得：an+1=3an．
又当n=1时，a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1，
所以数列{an}是以1为首项3为公比的等比数列，
所以an=3n−1．
(2)由(1)得cn=(2n−1)⋅an=(2n−1)⋅3n−1，
所以Tn=1×30+3×3+⋯+(2n−1)×3n−1，①
3Tn=1×3+3×32+⋯+(2n−3)×3n−1+(2n−1)×3n，②
①−②得：−2Tn=1×30+2×3+⋯+2×3n−1−(2n−1)×3n
=2×3(1−3n−1)1−3−(2n−1)×3n+1=−2(n−1)⋅3n−2，
所以Tn=(n−1)⋅3n+1．
18.解：(1)因为椭圆的离心率为 33，上、下顶点分别为A，B，|AB|=4，
所以2b=4e=ca= 33a2−b2=c2，
解得a= 6b=2，
则椭圆的方程为x26+y24=1；
(2)易知k≠0，
设直线l的方程为y=kx+1，C(x1,y1)，D(x2,y2)，
此时F(−1k,0)，
联立x26+y24=1y=kx+1，消去y并整理得(2+3k2)x2+6kx−9=0，
此时Δ=36k2+36(2+3k2)>0，
由韦达定理得x1+x2=−6k2+3k2,x1x2=−92+3k2，
此时CD中点横坐标为x1+x22=−3k2+3k2，
因为E(0,1),F(−1k,0)，
所以EF中点横坐标为−12k，
因为FC=DE，且C，E，F，D四点共线，取EF中点H，
此时FH=HE，
所以FC−FH=DE−HE，
即HC=DH，
所以H是CD的中点，
即CD，EF的中点重合，
所以−3k2+3k2=−12k．
解得k=± 63．
19.解：(1)抛物线C：y2=2px(p>0)，过焦点F的直线与C交于点A，B.当直线AB垂直于x轴时，|AB|=2．
即抛物线的通径长为2，
即2p=2，
即p=1，
即C的方程为y2=2x．
(2)①证明：设直线AB方程为x=my+12，A(y122,y1)，B(y222,y2)，C(y322,y3)，D(y422,y4)，
联立x=my+12y2=2x⇒y2−2my−1=0，
∴y1y2=−1，
同理y1y3=−2p⋅1=−2，
∴y3=−2y1，
同理y2y4=−2⇒y4=−2y2，
设CD与x轴交于点G，
∴y3⋅y4=−2pxG⇒4y1y2=−2xG⇒xG=2，
∴直线CD过定点(2,0)．
②S△PAB+S△PCD=12⋅12|y1−y2|+12⋅1⋅|2y1−2y2|=54|y1−y2|=54 4m2+4≥52，当且仅当m=0时取“=”，
即△PAB与△PCD面积之和的最小值为52．