湖南省五市十校教研教改共同体2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，结合选项逐项分析即可.
【详解】由题意可得：，
所以，，，，即不是集合M的子集，
故B正确，ACD错误.
故选：B.
2. 函数的零点所在的区间为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先计算区间端点的函数值，根据函数值正负以及零点存在性定理可求得零点所在的区间.
【详解】函数在单调递增
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
则，
由零点存在定理知零点所在的区间为，
故选：D.
3. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数及指数函数的单调性比较对数式及指数式大小即可.
【详解】，，，所以.
故选:A.
4. 已知，则“”是“二次函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可.
【详解】由，得或，
由二次函数在单调递增，得，
由或不能推出，而能推出或，
所以“”是“二次函数在上单调递增”的必要不充分条件，
故选：B.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 若角的终边经过点，则
B. 第一象限角都是锐角
C. 是第三象限角
D. 若扇形的圆心角是，半径为2，则扇形的弧长为120
【答案】C
【解析】
【分析】对于A：根据任意角三角函数的定义运算求解；对于BC：根据象限角的定义分析判断；对于D：根据弧长公式运算即可.
【详解】对于选项A：由题，，则，
所以，故A错误；
对于选项B：例如在第一象限，但不是锐角，故B错误；
对于选项C：因为，且是第三象限角，
所以是第三象限角，故C正确；
对于选项D：因为，所以弧长，故D错误.
故选：C.
6. 8月15日是全国生态日，2024年全国生态日的主题是加快经济社会发展全面绿色转型.2005年8月15日，习近平同志在浙江安吉首次提出“绿水青山就是金山银山”，这一科学论断是习近平生态文明思想的核心理念，已经成为全党全社会的共识，在祖国大地上生根、开花.党的十八大以来，我国经济发展与生态环境保护更加协调，绿色发展空间进一步拓展.在生态环境质量明显好转的同时，经济总量从2012年53.9万亿元升至2023年126万亿元，则我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率约为（ ）（参考数据，，，，）
A. 6%B. 7%C. 8%D. 9%
【答案】C
【解析】
【分析】设年平均增长率为，列式运算得解.
【详解】设我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率为，
则由题意，
即，即，
.
故选：C.
7. 已知函数（，且）满足对任意都有，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件得到函数单调递增，从而分段函数的每一段均递增且在端点连接处保证后一段端点函数值不小于前一段端点函数值，可得到关于的不等式组，求解即可.
【详解】根据对任意都有，得到该函数在上为增函数，
则.
故选：D.
8. 定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令求出，即可求出，再令求出，最后根据计算可得.
【详解】，，
令，得，又，，
，
再令，，，
.
故选：B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据代入特殊值法，可判断A和C，根据不等式的性质可判断B，根据幂函数的单调性可判断D.
【详解】对于A，当时，，A错误；
对于B，，，可得且，，即，故B正确；
对于C，举反例，时，，故C错误；
对于D，因在上为增函数，所以，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数（且）恒过定点，若点在一次函数，的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为4B. 的最大值为
C. 的最小值为9D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意可得，进而可得，对A，B，C利用基本不等式求解判断；对D，消去，转化为求二次函数的最小值.
【详解】由题可得，所以，则，
对于A，，当且仅当，即时取等号，故A正确；
对于B，由，得，故B正确；
对于C，，
当且仅当，即时等号成立，故C错误；
对于D，，，当时，取最小值为，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若的解集为，则的取值范围是
B. 存在实数，使在区间内有两个零点
C. 若的两个零点为，，且，则
D. 若有且只有整数零点，则所有正整数的值为16，18，25
【答案】ACD
【解析】
【分析】由判别式小于零可得A正确；由一元二次方程根的分布性质解不等式组可得B错误；由韦达定理结合对勾函数的单调性可得C正确；由韦达定理得到，再分整数零点的情况讨论即可得到D正确；
【详解】对于A选项，由，故A正确；
对于选项B，由无解，故B错误；
对于C选项，由，又，，
则，
令，因为函数在上单调递增，
，则
，故C正确；
对于D选项，设仅有的两个整数零点分别为，，则由，，消去后，得到，
情况
①
②
③
④
⑤
⑥
1
2
4
故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ________.
【答案】##
【解析】
【分析】应用指数及对数运算律化简求值.
【详解】原式.
故答案为：.
13. 已知对数函数图象经过点，则函数的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】设出对数函数表达式，求得参数的值，得出表达式，进而得出定义域.
【详解】由题意，，
在对数函数中，图象经过点，
设，
，
解得：，
16
8
4
25
18
16
不合题意
不合题意
不合题意
∴，
∴，解得：
定义域为.
故答案为：.
14. 设函数若方程有四个解，，，，且.
（1）的取值范围是________；
（2）若有意义，则的取值范围是________.
【答案】 ①. （1） ②. （2）
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式画出函数图象，根据函数图象可求得结果；
（2）先根据图象以及得到的取值，结合取值构造新的函数，可求得结果.
【详解】（1）当时，，
画出的图象，如图所示：
，
方程有四个解，，，，
则；
（2）对于时，此时，
所以据图可得，
，
要使有意义，则，
设，则，
当时，，再令，
则；
当时，，，
则，即.
综上，的取值范围是.
故答案为：（1）；（2）.
【点睛】本题考查了分段函数，关键点点睛：
（1）画出函数图象，数形结合有易于分析题意；
（2）根据根的情况可得到交点的个数，从而得到的取值范围；
（3）根据解析式的情况构造出新的函数，然后根据单调性求得值域.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）为的内角，已知，求，的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数之间的关系可求得结果；
（2）根据求出，再将原式转化可求得结果.
【详解】（1）为的内角，，
又，，，
由，得，
；
（2），
又，
原式
.
16. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式以及二次不等式，根据集合的运算可求得结果；
（2）根据包含关系可求得取值.
【小问1详解】
对于集合，，则，解得，
所以，
当时，，所以，
，
；
【小问2详解】
根据，，
①当时，，符合题意；
②当时，，由题得；
③当时，，由题得，
综上，的取值范围为.
17. 首届全国青少年三大球运动会于年月日在长沙、岳阳成功举办，这次运动会的举办激发了青少年对三大球（篮球、排球、足球）的爱好兴趣.王先生现有资金万元，准备全部用于投资销售篮球和足球器材.已知投资万元销售篮球器材，获得利润（万元）与成正比；投资万元销售足球器材，获得利润为（万元）（没有投资时的利润为万元），且满足.
（1）求、的解析式；
（2）王先生应投资销售篮球器材和足球器材各多少万元时，他所获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）75万元，25万元；50万元
【解析】
【分析】（1）根据可求出的值，可得出函数的解析式，设，由题意得出
，可得出的值，由此可得出函数的解析式；
（2）设王先生投资（万元）销售足球器材，则投资（万元）销售篮球器材，设他所获得的利润为（万元），可得出，化简函数解析式，利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
由题意可知，所以，则，
所以，所以.
由题意可设，所以，所以
【小问2详解】
设王先生投资（万元）销售足球器材，则投资（万元）销售篮球器材，
设他所获得的利润为（万元），
则由题意有
，
当且仅当，即时等号成立.
所以当王先生投资（万元）销售足球器材，投资（万元）销售篮球器材时，
他所获得的利润最大，最大利润为（万元）.
18. 设函数（且，为常数）.
（1）若为奇函数，求不等式的解集；
（2）若为偶函数，且，证明：在单调递增；
（3）设函数，在第（2）问的条件下，若，，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义得到的值，即可求得解集；
（2）先根据函数时偶函数得到的值，再根据得到的值，即可根据定义证明函数的单调性；
（3）根据（2）中的单调性以及解析式，求得的最小值，再结合能成立问题可求得取值.
【小问1详解】
由于有意义，奇函数满足，
此时，满足，符合题意，
由得，当时，得，即，
即不等式的解集为；
当时，得，即，
即不等式的解集为；
综上，当时，的解集为，当时，的解集为；
【小问2详解】
因为为偶函数，则，得，
移项可得，所以，即，
由得，解得或，
所以，
任取，且，
则
，
因为，则，，所以，
所以，所以在单调递增；
【小问3详解】
由（2）可知在上单调递增，
时，的最小值为；
由题意得，使，
即在有解，
令，由（2）知在单调递增，
，则，
则转化为在有解，
只需，
在单调递减，且在单调递减，
当时，取最大值为，
，即的取值范围为.
19. 给出定义：若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，都有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的凸函数.若是区间上的凸函数，则对任意和任意满足的正实数，都有当且仅当时等号成立，请利用上述定义和性质完成下列问题：
（1）证明：函数在上凸函数；
（2）求函数的最大值；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）应用基本不等式结合凸函数定义证明；
（2）应用凸函数的定义求解最大值即可；
（3）应用基本不等式结合凸函数定义再分和两种情况分别求解最值列式得出参数范围即可.
【小问1详解】
对任意，，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以函数在上是凸函数.
【小问2详解】
函数在上是凸函数，令，，则由凸函数的性质有
，其中，
即，当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最大值为.
【小问3详解】
法一：因为函数在上是凸函数，所以对任意都有，
即，
当且仅当时等号成立.因为函数在上是增函数，
所以，当且仅当时等号成立.
当时，函数在上单调递增，所以，符合题意；
当时，因，所以，
当且仅当，即时等号成立；
所以在上的最小值为，
由题意有，解得，
综上得实数的取值范围为.
法二：因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
由法一可知对任意，都有
当且仅当时等号成立
所以当时，
当且仅当即时等号成立；
所以的最大值为，所以.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是对凸函数定义的理解及结合应用基本不等式.