广东省清远市四校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省清远市四校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,，则( )
A.B.C.D.
2．命题“,”的否定是( )
A.,B.,C.,D.,
3．已知，，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4．下列函数中与函数相等的函数是( )
A.B.C.D.
5．,m下列不等式恒成立的是( )
A.B.
C.D.
6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图,其对应的函数可能是( )
A.B.
C.D.
7．已知偶函数的图像经过点且当时，不等式恒成立，则使得成立的x取值范围为( )
A.B.C.(1，3)D.[1，3]
8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是( )个.
①函数偶函数；
②函数的值域是；
③若且T为有理数，则对任意的恒成立；
④在图象上存在不同的三个点A，B，C，使得为等边角形.
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题
9．已知幂函数的图象经过点，则( )
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.当时，
D.当时，
10．若正实数x,y满足,则下列说法正确的是( )
A.有最大值为B.有最小值为
C.有最小值为D.有最大值为
11．定义在R上的连续函数满足，，，则( )
A.
B.当时，
C.若，则为偶函数
D.当时，
三、填空题
12．已知，则____.
13．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则____.
四、双空题
14．定义，若函数，则的最大值为____；若在区间上的值域为，则的最大值为____.
五、解答题
15．已知集合，.
(1)求；
(2)求.
16．已知关于x的不等式的解集为或.
(1)求a,b的值；
(2)求关于x的不等式的解集.
17．已知函数，.
(1)若过点，求解析式；
(2)若.
(i)当函数不单调，求a的取值范围；
(ii)当函数的最小值是关于a的函数，求表达式
18．生产A产品需要投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需要另外投入流动成本万元，且，每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完.
(1)写出利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
(2)年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？
19．已知有限集,如果A中的元素满足,就称A为“完美集”.
(1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由;
(2) ,是两个不同的正数,且是“完美集”,求证：,至少有一个大于2;
(3)若为正整数,求：“完美集”A.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意，，而，
所以.
故选：C
2．答案：B
解析：命题“，”的否定是“，”.
故选：B.
3．答案：B
解析：因，故由得不出，
即p不是q的充分条件；
而由可得，，故必有成立，即p是q的必要条件，
故p是q的必要不充分条件.
故选：B.
4．答案：B
解析：对A,的定义域为R,而的定义域,故两者不是相等函数,故A错误;
对B,,其定义域为R,则其与为相等函数,故B正确;
对C,的定义域为,而的定义域为R,故两者不是相等函数,故C错误;
对D,,与的对应法则不同,故两者不是相等函数,故D错误.
故选：B.
5．答案：B
解析：对于A,若,则,选项不成立,故A错误;
对于B,因为,故,故B成立,
对于C､D,若,则选项不成立,故C､D错误;
故选：B.
6．答案：A
解析：因为函数的定义域为,函数的定义域为R,
函数与的定义域均为.
由图知的定义域为,排除选项B、D,
又因为当时,,不符合图象,所以排除选项C.
故选：A.
7．答案：B
解析：由题意知，偶函数的图像经过点，
所以点也在图像上，即，
当时，不等式恒成立，
则，所以函数在上单调递减，
所以等价于，
所以，解得或，
所以x的取值范围为.
故选：B.
8．答案：D
解析：对于①:当时,；当时，,故,所以函数为偶函数,故①正确;
对于②:函数的值域是,故②正确;
对于③:T为有理数,则当时,；当时,,所以,故③正确;
对于④:因为，，,故,,构成等边三角形,故④正确,
故选:D.
9．答案：ACD
解析：设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：对于A：因为,则,当且仅当,即,时取等号,故A正确,
对于B,,当且仅当,即,时取等号,故B正确,
对于C：因为,则,当且仅当,即,时取等号,故C正确,
对于D：因为,
当且仅当,即,时取等号,这与x,y均为正实数矛盾,故D错误,
故选：ABC.
11．答案：BC
解析：对于A项，令，则满足题中所给条件，但此时有，A项错误；
对于B项，当时，取，则，所以，
所以，B项正确；
对于C项，由题意得定义域关于原点中心对称，且，
则，所以为偶函数，C项正确；
对于D项，令，则满足题中所给条件，
但当时，，故不成立，D项错误.
故选：BC
12．答案：4
解析：因，则.
故答案为：4.
13．答案：
解析：设，则，则，
函数是R上的奇函数，
则当时，.
又，
所以
故答案为：.
14．答案：3;/1.75
解析：根据定义作出的大致图像，如图，
其中,，
即
由图可知，当时，取最大值3.
当时，当或时，
由，解得：或；
当时，当时，
由，解得：.
由图可知，若函数在区间上的值域为，
则最大值为.
故答案为：3，.
15．答案：(1)；
(2).
解析：(1)由，又，
所以.
(2)由(1)知：，或，
所以.
16．答案：(1),;
(2)
解析：(1)关于x的不等式的解集为或，
，且-3和4是方程的两实数根，
由根与系数的关系知，，解得,;
(2)由(1)知，,时，
不等式为，
所以不等式的解集是.
17．答案：(1)；
(2)(i)；
(ii)
解析：(1)因为函数过点，
将点代入函数的解析式，可得，解得，
所以函数解析式为.
(2)(i)由函数，
可得其图像对应的抛物线开口向上，且对称轴为，
要使得函数不单调，可得，解得，
所以实数a的取值范围；
(ii)由(i)知，函数的图像对应的抛物线开口向上，
且对称轴为，
当时，即时，在单调递增，
所以；
当时，即时，在单调递减，在单调递增，
所以；
当时，即时，在单调递减，
所以，
所以表达式为
18．答案：(1)
(2)当年产量为7万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
解析：(1)依题意，.
(2)由(1)得，
当，所以的最大值为；
当时，，
当且仅当，时等号成立，
当时，；
当时，；
由于，
所以当年产量为7万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
19．答案：(1)是,理由见解析
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)由,,则集合是“完美集”,
(2)若,是两个不同的正数,且是“完美集”,
设,
根据根和系数的关系知,和相当于的两根,
由,解得或（舍去）,
所以,又,均为正数,
所以,至少有一个大于2.
(3)不妨设A中,
由,得,
当时,即有,又为正整数,所以,
于是,则无解,即不存在满足条件的“完美集”;
当时,,故只能,,求得,
于是“完美集”A只有一个,为.
当时,由,即有,
而,
又,因此,故矛盾,
所以当时不存在完美集A,
综上知,“完美集”A为.