鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在等差数列中，，，则( )
A.1B.0C.-1D.-2
2．若双曲线的离心率为，则( )
A.2B.C.1D.
3．已知向量，，且，那么( )
A.B.C.D.5
4．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为( )
A.B.
C.D.
5．在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点P的轨迹方程为( )
A.B.C.D.
6．如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合A中元素个数为( )
A.3B.4C.6D.9
7．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段的长为( )
A.B.C.2D.
8．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前n项和( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．直线与圆的公共点的个数可能为( )
A.0B.1C.2D.3
10．已知数列满足，，则下列说法正确的是( )
A.B.为递减数列
C.数列中有两项的值最小D.数列中有16项的值为负数
11．已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则( )
A.若A的纵坐标为2，则
B.若直线过点F，则的最小值为4
C.若，则直线恒过定点
D.若垂直C的准线于点，且，则四边形的周长为
三、填空题
12．数列满足，若，则________.
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，则的取值范围为________.
14．已知圆和点，，若点M在圆C上，且，则实数m的最小值是________.
四、解答题
15．设为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值及此时的n值
16．已知抛物线的准线为l，点P在C上，且点P到直线l的距离与其到x轴的距离都等于2.
(1)求C的方程；
(2)设F为抛物线C的焦点，过的直线与C交于A，B两点，若的面积为3，求直线的斜率
17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，E为的中点
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值
18．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，上、下顶点分别是，，四边形的面积为24，四边形的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与圆相切，与椭圆C交于M，N两点，若的面积为，求由点M，N，，四点围成的四边形的面积
19．在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比
(1)若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明:是与平行的直线;
(2)已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与x轴有A，B两个交点（A在B的左侧），过点且斜率为k的直线l与在y轴的右侧有M，N两个交点
①求k的取值范围;
②若直线，，的斜率分别为，，证明：为定值
参考答案
1．答案：A
解析：由等差数列的性质可知，
所以.
故选：A.
2．答案：D
解析：由题意知，双曲线的离心率，
所以.
故选：D.
3．答案：C
解析：由向量，，且，
得，
则，则.
故选：C
4．答案：D
解析：由，，
，，
可得的一个通项公式为.
故选：D.
5．答案：B
解析：由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等，
由抛物线的定义知，点P的轨迹是以为焦点，
为准线的抛物线，
所以，点P的轨迹方程为.
故选：B.
6．答案：A
解析：因为平面，平面，
平面均与直线垂直，
所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同，
且互不相等，故共有3个不同的值
故选：A
7．答案：B
解析：在中，，，
所以，即，
故左焦点为，而，
故直线l的方程为，
联立得，
，设，，
由韦达定理得，，
则由弦长公式得.
故选：B.
8．答案：A
解析：由题意可得，
则数列是以为首项，2为公差的等差数列，
则，由，
故，即（负值舍去），
故，故，
则
，
故.
故选：A.
9．答案：BC
解析：圆的圆心为，半径，
当时，点到直线l的距离，
因此直线l与圆相切或相交，
所以直线l与圆C的公共点个数为1或2.
故选：BC.
10．答案：CD
解析：当时，，所以，A错误；
由，得当时，
，
，将上式相加，
得，
所以，
由二次函数的性质可知，不为递减数列，B错误；
因为，
所以当或时，取得最小值-68，C正确；
当时，，解得，，
所以数列中有16项的值为负数，D正确
故选：CD
11．答案：BC
解析：由题意得，，，准线方程.
A.由A的纵坐标为2得，，故，选项A错误
B.如图，设直线方程为：，，
由
得，
∴，
∴，
当时，，选项B正确
C.如图，设直线方程为：，，
由
得，
∴，
∴，解得，
∴直线方程为：，
恒过定点，选项C正确
D.如图，设点B在第四象限
由题意得，，则.
由准线方程为得，，
故，，
∴，
∴四边形的周长为，选项D错误
故选：BC.
12．答案：
解析：由，得，，
所以，.
故答案为：
13．答案：
解析：由题意知，，所以，
设，则，
由，得，
故，
所以当时，取得最大值9，
当或时，取得最小值5，
故的取值范围为.
故答案为：
14．答案：
解析：设，由，
得，
即点M在圆上，
圆心为，半径.
圆C的圆心为，半径，
又点M在圆C上，故圆C与圆N有公共点，
所以，
解得，
所以或，
即m的最小值为.
故答案为：
15．答案：(1)
(2)，-16，
解析：(1)设等差数列的公差为d，
因为，，
所以，解得，
所以的通项公式是.
(2)由(1)知，
所以，
当时，取最小值-16.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可知，准线l的方程为，
由点P到直线l的距离与其到x轴的距离都等于2可知，，
因为点P在C上，所以，
整理得，，解得，
故C的方程为.
(2)由(1)可知，，则，
由题意可知，直线的斜率不为0，
设其方程为，，，
由，
消去x整理得，
则，
可得，，
所以，
又因为的面积为3，则，
即，解得，
故直线的斜率为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)，所以得，
又,
所以，
又，，平面，
所以平面，
(2)知，，
以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的一个法向量
则有，
令，则有，，
平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)设椭圆C的焦距为，
根据题意可得，
解得，，，
所以椭圆C的方程是.
(2)设，，
因为直线l与圆相切，
则，可得，
联立方程，
消去y得，
因为圆O在椭圆C的内部，所以恒成立，
则，，
可得
，
所以的面积，
即，解得，
此时直线轴，即，
所以四边形的面积为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)\①
②证明见解析
解析：(1)证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且a，b不同时为，
则曲线的方程是，且，
即，因为都是常数，
且a，b不同时为0，，
所以曲线是一条直线，且与直线平行
(2)①伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”
得到的曲线是，
所以曲线的方程是，
即.
与x轴的两个交点A，B的坐标分别是，
因为直线l点，斜率为k，
所以直线l的方程为，代入，
消去y并整理得，
设，
则
，，
因为l与在y轴的右侧有两个交点，
所以，
且，
解得或，
所以k的取值范围是.
②证明:由①知或，所以，
，
，
所以为定值