山东省潍坊市安丘市等四区县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省潍坊市安丘市等四区县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知，，若，则( )
A.B.-4C.4D.
2．设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b( )
A.平行B.相交
C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线
3．已知直线：与直线：平行，则( )
A.6B.5C.4D.3
4．已知直线l与平面相交，点A，B在l上，，且线段在内的射影长为，则l与所成角的大小为( )
A.B.C.D.
5．如图，在四面体中，M为棱的中点，点N，P分别满足，，则( )
A.B.
C.D.
6．已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为( )
A.B.C.D.
7．已知圆C：，直线l：，若l与C交于A,B两点，则的最小值为( )
A.B.2C.D.
8．已知球O是正三棱柱的内切球，，P是球O表面上一点，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．以下说法正确的是( )
A.过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行
B.过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直
C.如果两个平面不相交，则它们就没有公共点
D.若一条直线与一个平面不垂直，则这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直
10．已知圆：和圆：，点P，Q分别是，上的动点，过点Q作的两条切线，切点分别为G，H，则( )
A.的圆心在直线上
B.和相离
C.的最小值为
D.若，则四边形面积的最大值为
11．如图所示，正四棱锥与正三棱锥的棱长均为1，一凸多面体是由该四棱锥与该三棱锥组合而成，其中点P，B，C分别与点Q，F，E重合，在该多面体中( )
A.二面角的余弦值为
B.P，A，B，G四点共面
C.平面
D.三棱锥的外接球体积为
三、填空题
12．已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角为____.
13．已知圆：，写出一条过点且与C相切的直线方程.____.
四、双空题
14．在四面体中，点M，N分别为，的重心，过M作直线与棱，交于点E,F，已知，，则____.若四面体的体积为3，则四棱锥的体积最大值为____.
五、解答题
15．已知的三个顶点分别是，，.
(1)求边的高所在直线方程；
(2)求的面积.
16．如图，在四棱锥中，平面，，，，E为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知圆C经过，两点，且圆心在直线上.
(1)求C的方程；
(2)设直线l：与C交于D，E两点.
①证明：直线l与平行；
②求四边形的面积.
18．在四棱台中，平面，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)已知四边形为梯形，，，，二面角的大小为.
①求点到平面的距离；
②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19．已知圆：，圆：，若平面内一点P到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点P为“型切圆关联点”，记时，点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线交C于A，B两点，过与垂直的直线交C于D，E两点.
①求四边形面积的最大值；
②设M为线段的中点，N为线段的中点，证明：直线过定点.
参考答案
1．答案：B
解析：向量，，
由，得，所以.
故选：B
2．答案：D
解析：如图，长方体中，
当所在直线为a，所在直线为b时，a与b相交；
当所在直线为a，所在直线为b时，a与b异面.
故选：D.
3．答案：B
解析：由于两直线平行，所以，，
此时，符合题意.
故选：B
4．答案：B
解析：设l与所成角为，
因为点A，B在l上，，且线段在内的射影长为，
依题意作图如下，则，
所以l与所成角的大小为.
故选：B
5．答案：D
解析：由已知
.
故选：D.
6．答案：A
解析：设点关于直线的对称点为，
则，解得，
因此反射光线所在直线过点，方程为，即.
故选：A
7．答案：C
解析：直线l：过定点，圆C：的圆心，
半径，，即点在圆内，当且仅当时，最短，
所以的最小值为
故选：C
8．答案：B
解析：设等边三角形内切圆的半径为r，
则,，
则正三棱柱的内切球半径，则正三棱柱的高为2.
设等边三角形外接圆半径为，则，
所以，设是等边三角形的中心，D是的中点，
连接，则，，
P是球O表面上一点，
则
，
，（同向时为0，反向时为），
所以，所以的取值范围是.
故选：B
9．答案：AC
解析：对于A，过直线外一点可作一条直线与这条直线平行，经过所作直线有无数个平面与该直线平行，A正确；
对于B，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，B错误；
对于C，两个平面不相交，则它们平行，没有公共点，C正确；
对于D，正四面体的相对棱垂直，而任意棱都不垂直于对棱所在的平面，
D错误.
故选：AC
10．答案：BC
解析：圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
对于A，点的坐标不满足方程，A错误；
对于B，，
和相离，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，当时，，，，
四边形的面积，D错误.
故选：BC
11．答案：BCD
解析：设H是的中点，连接,,，
设，连接，则平面.
由于三角形、三角形都是等边三角形，
所以,，
所以是二面角的平面角，
,，
所以，所以A选项错误.
由于，所以是二面角的平面角，
,，
所以，所以，
所以P,Q,B,G四点共面，B选项正确.
，所以四边形是菱形，所以，
由于平面,平面，所以平面，
所以C选项正确.
由于，所以P是三棱锥外接球的球心，
且外接球的半径为1，所以外接球的体积是，所以D选项正确.
故选：BCD
12．答案：
解析：依题意，直线l的斜率，其倾斜角为.
故答案为：
13．答案：或（只写一条即可）.
解析：圆C的标准方程是，圆心为，半径为5，
过且斜率不存在的直线为，它与圆相切，
过且斜率存在的直线设其方程为，即，
由，解得，
直线方程为，即，
故答案为：或（只写一条即可）.
14．答案：;
解析：设G是的中点，所以A,N,G三点共线，D,M,G三点共线，
，，
所以，由于E,M,F三点共线，
所以,.
依题意，,.
.
由于，
所以N到平面的距离是A到平面的距离的三分之一，
所以
，当且仅当时等号成立.
所以四棱锥的体积最大值为.
故答案为：；
15．答案：(1);
(2)5
解析：(1)，边的高所在直线的斜率为，
所以边的高所在直线方程为.
(2)，直线的方程为,，
到直线的距离为，
所以.
16．答案：(1)证明见解析;
(2)
解析：(1)由于E为棱的中点，所以,，
所以四边形是平行四边形，
所以，由于平面，平面，
所以平面.
(2)依题意可知平面，而平面，所以，
，所以.而，
由此可以B为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
,,，
,,,，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
所以.
17．答案：(1);
(2)①证明见解析；
②
解析：(1)设圆心为，由，则，
所以，解得.
且，，
所以圆C的方程为.
(2)①直线的方程为,，
直线l：，即，
所以直线l与平行；
②由解得，
即,，则B,C,E三点共线，所以是圆C的直径，
，，
所以四边形的面积为.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)①；
②.
解析：(1)作，垂足为E，作，垂足为F，
平面，平面，所以，
又，,平面，所以平面，
平面平面，平面平面，
，平面，
平面，与重合，
即为平面与平面的交线，
平面;
(2)由题意，以D为原点，
,,为x,y,z,轴建立空间直角坐标系，如图，
由(1)平面，平面，，
在直角梯形中，，
，
所以，
，
是棱台，则，
因此
则，，，设，，
则，，
,，
设平面的一个法向量是，
则，
取，可得，，
则为平面的一个法向量，
平面的一个法向量是，
二面角的大小为，
则，
解得（负值舍去），
①，，，又，
点到平面的距离为，
②,，
设平面的一个法向量是，
则，
取，则，，
则为平面的一个法向量，
，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
19．答案：(1)（坐标原点除外）；
(2)①；
②证明见解析
解析：(1)圆：的圆心为，半径为2，
圆：的圆心为，半径为2，
设，点P到圆的切线长为，
点P到圆的切线长为，
所以，
两边平方并化简得（坐标原点除外）.
所以C的方程为（坐标原点除外）.
(2)①当直线的斜率不存在时，
直线与C只有一个交点，不符合题意，
所以直线的斜率存在且不为零，
设直线的斜率为k（），直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
所以，
用替换k，可得，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以四边形面积的最大值为17.
②由消去y化简得，
所以,,，
用替换k，可得,，
当时，，
所以直线的方程为，
即，
所以直线恒过定点，
当时，,，
此时直线恒过定点，
当时，,，
此时直线恒过定点，
综上所述，直线恒过定点.