云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷(含答案)

这是一份云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.B.C.D.
2．直线的斜率是( )
A.1B.C.D.
3．已知圆关于直线对称,则m的值为( )
A.B.2C.D.4
4．已知A,B,C三点不共线,点O不在平面内,（x,）,若A,B,C,D四点共面,则的最大值为( )
A.B.C.1D.2
5．如图,二面角等于,A,B是棱l上两点,,分别在半平面,内,,,且,则的长等于( )
A.4B.C.D.
6．在空间中,“经过点,法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系）是:”.如果给出平面的方程是,平面的方程是,则由这两平面所成的角的正弦值是( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线,点B的坐标为,若C上的任意一点P都满足,则C的离心率取值范围是( )
A.B.C.D.
8．定义:若点在椭圆上,则以P为切点的切线方程为:.已知椭圆,点M为直线上一个动点,过点M作椭圆C的两条切线,,切点分别为A,B,则直线恒过定点( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.直线与直线之间的距离为
B.直线在两坐标轴上的截距之和为6
C.将直线绕原点逆时针旋转,所得到的直线为
D.若直线与直线垂直,则
10．已知F是抛物线的焦点,直线经过点F交抛物线于A,B两点,则下列说法正确的是( )
A.以为直径的圆与抛物线的准线相切
B.若,则直线的斜率
C.若,,则为定值
D.若,则的最小值为18
11．已知曲线,点在曲线上,则下列结论正确的是( )
A.曲线有4条对称轴B.的最小值是
C.曲线围成的图形面积为D.的最大值是1
三、填空题
12．已知点是角终边上的一点,则的值为________.
13．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是________.
四、双空题
14．已知椭圆,焦点,,若过的直线和圆相切,与椭圆在第一象限交于点P,且轴,则该直线的斜率是________,椭圆的离心率是________.
五、解答题
15．已知直线,圆
（1）若,求直线l截圆M所得的弦长;
（2）已知直线l过定点若过点P作圆M的切线,求点P的坐标及该切线方程.
16．在平面直角坐标系中中,过点的直线l与抛物线相交于点A,B.
（1）若直线l的斜率为1,求的面积;
（2）求证:.
17．在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解（1）、（2）的答案.
问题:在中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知.
（1）求角C;
（2）若点D满足,且,求的面积的最大值.
18．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,是斜边为AD的等腰直角三角形,,,,.
（1）求证:平面;
（2）求PB与平面PCD所成角的正弦值;
（3）在棱PB上是否存在点M,使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
19．已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆G的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,焦距等于,离心率为
（1）求椭圆G的标准方程;
（2）若直线与椭圆G交于M、N两点,求证:为定值;
（3）记B为椭圆上顶点,过点B作相互垂直的两条直线BP,BQ分别与椭圆G相交于P,Q两点.设直线BP的斜率为k且,若,求k的值.
参考答案
1．答案：B
解析：由抛物线的标准方程为,有,得,
所以抛物线的焦点到准线的距离为3.
故选:B.
2．答案：B
解析：由
所以.
故选:B
3．答案：A
解析：由,可得圆C的圆心为,
因为圆C关于直线对称,所以由圆的对称性可知,
圆心在直线上,则,解得.
故选:A.
4．答案：B
解析：因为A,B,C,D四点共面,所以,
则,又,,
所以,当且仅当时取“=”.
故选:B.
5．答案：A
解析：由二面角的平面角的定义知,,
由,,得,,,
,
所以,即.
故选：A.
6．答案：A
解析：由题意,因为平面的方程是,所以法向量
由平面的方程是,所以法向量,
所以,
所以,
故选:A.
7．答案：A
解析：设,,
由,代入不等式中,
化简,得恒成立,
则有,
解得,而,所以
故选:A
8．答案：C
解析：因为点M在直线上,设,,,所以的方程为,又M在上,所以①,同理可得②;
由①②可得的方程为,即,即,所以,解得,故直线恒过定点
故选:C
9．答案：AC
解析：对于A,直线与直线之间的距离,故A正确;
对于B,对于直线,令,得,令得,
所以直线在两坐标轴上的截距之和为2,故B错误;
对于C,直线的倾斜角为,绕原点逆时针旋转后,所得直线的倾斜角为,斜率为,故C正确;
对于D,若直线与直线垂直,则,解得或,故D不正确.
故选:AC.
10．答案：ACD
解析：A:由抛物线的方程可得焦点,准线方程为:,
设,,则的中点,
利用焦点弦的性质可得,
而的中点M到准线的距离,
以为直径的圆与该抛物线的准线相切,因此A正确;
B:设直线的方程为,,
联立,整理可得:,
可得,,
,,解得,,
,解得,则,因此B不正确,C正确;
D:若,则抛物线C:,不妨设,,
,
当且仅当,时取等号,因此D正确.
故选:ACD.
11．答案：ACD
解析：当,时,原方程化为,即,
所以曲线是以圆心为,半径为的圆在第一象限的部分,
又由图象关于x轴,y轴对称,所以曲线,如图所示,
对于A中,由图象可得,该曲线关于x轴,y轴,和对称,
所以该曲线有4条对称轴,所以A正确,
对于B中,由表示曲线上的点P到直线的距离的倍,
结合图象得,当是时,距离最小值为,
所以最小值为,所以B错误;
对于C中,曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成,
所以面积为,所以C正确;
对于D中,设表示点与点P确定的直线的斜率,
设该直线方程为,结合图象,当,,即,
则圆心为,半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时,
该切线的斜率是k的最大值,由,可得,解得或（舍）,则k的最大值为1,所以D正确.
故选:ACD.
12．答案：/0.8
解析：已知角终边上一点,所以,
所以,所以.
故答案为:
13．答案：
解析：当直线与双曲线的渐近线平行时,,
此时直线与双曲线的其中一支有一个交点,
若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点,
可得直线一定在两渐近线之间,
则k的取值范围为.
故答案为:.
14．答案：;
解析：如图所示:不妨假设,设切点为B,
,
所以,由,,所以,,
于是,即,所以.
故答案为:;.
15．答案：（1）4
（2）,或
解析：（1）当时,直线,
圆M的圆心为,半径为3,
则圆心M到直线l的距离为,
则直线l截圆M所得的弦长为;
（2）由得,所以定点,
由题意得切线的斜率存在,
则设切线的方程为,即,
所以,
解得,
故所求切线方程为,即或
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知,直线l的方程为,
由,得,
设点,,则,,
所以.
直线l的一般式方程为,点O到直线的距离,
所以的面积.
（2）证明:设l的方程为,
由,消去x得,
设点,,则,
所以,
所以,所以,即.
17．答案：（1）条件选择见解析,
（2）
解析：（1）若选①:由正弦定理得,
在中,,所以,
即,
所以,又,有,
所以,由,得.
若选②:由正弦定理得,
在中,,
所以
即,
所以,又,有,
所以,由,得.
（2）方法一:由,可得,
两边平方可得,
即,
所以,当且仅当时取“=”,
所以,所以.
方法二:由角C余弦定理可得③,
由结合余弦定理可得
,整理得④,
由③可得,当且仅当时取“=”,
所以,所以即.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）存在,
解析：（1）平面平面ABCD,平面平面
平面ABCD,,
平面PAD,
平面,,
又且,PA、平面,平面PAB;
（2）取AD中点为O,连接PO、CO,
又,,
则,
,,,,则,
以O为坐标原点,分别以,,所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
,,,,
,,,,
设为平面PCD的一个法向量,
由,得,令,则,
设PB与平面PCD所成角的角为,
（3）假设在棱PB上存在点M,使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为,
由可知,,,,
,,设,.
设为平面ADM的一个法向量,
由得,
则,
易知平面ABCD的一个法向量为,
设平面ADM与平面ABCD的夹角为
,
,
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）或1
解析：（1）由已知得,
又,,又.
所以椭圆的方程为.
（2）依题意,设,,
联立直线与椭圆G有,消元得:
当,即且时,
,,
即为定值.
（3）设,,设直线BP的方程为,
则直线BQ的方程为,
由,消去y得,
,
,
由得
,
,
,
,
整理得:,
,
或.