吉林省长春市第四十五中学2024-2025学年上学期九年级第三次月考数学试卷

这是一份吉林省长春市第四十五中学2024-2025学年上学期九年级第三次月考数学试卷，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
3．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A．B．C．D．
4．由二次函数，可知( )
A．图象的开口向下B．图象的对称轴为直线
C．其最小值为1D．当时，y随x的增大而增大
5．不透明的袋子里共装有3个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是（）
A．B．C．D．
6．如图，，是的弦，，是的半径，点P为上任意一点（点P不与点B重合），连接，若，则的度数可能是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是半圆的直径，圆心为．若的长为6，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（ ）
A．3B．C．2D．
二、填空题
9．如图，在直角坐标系中与是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ．

10．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是 cm．
11．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为的中点，则长度的最大值为 ．
12．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ．
13．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ；
14．如图，是等边的外接圆，点D是上一动点（不与A、C重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④当时，，其中一定正确的结论有 ．（填写结论序号）
三、解答题
15．计算或解方程：
(1)；
(2)．
16．如图是、、、四个排成一排的座位，甲先从个座位中等可能的选择一个并坐下，然后乙在剩下的座位中等可能的选择一个座位并坐下，用画树状图（或列表）的方法，求甲乙两人座位相邻的概率．

17．图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．
(1)在图①中画的高．
(2)在图②中画的中位线EF，使点E、F分别在边、上．
(3)在图③中画，使，与的相似比为，且于点M．
18．某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱．
(1)求七，八两月的月平均增长率；
(2)九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？
19．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，）
20．如图，在中，，，与交于点，，为直径，点在上，连接，，．
(1)求证：是的切线：
(2)若，的半径为3，求的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，顶点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点．
(1)求a的值与对称轴．
(2)将抛物线向右平移m个单位使得新抛物线与，分别交于M，N，点M，N的纵坐标相等，求m的值和点M的坐标．
22．【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第63页的部分内容
平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似．
例1．如图，在中，D是边的三等分点，，，求的长．
解：．
（平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似），
，，
∴．
【应用】
（1）如图①，在中，D为边延长线上的点，过点D作交延长线于点E．若，，求的长．
（2）如图②，在中，D是边上的点，E为边的中点，连接、交于点F．若，则的值为________．
温馨提示：可以过点E作的平行线或过点D作的平行线．如有更好的解法，请尝试．
【拓展】
如图③，在中，D是边上的点，E为边延长线的点．连接、交延长线点F．若，，且的面积为1，则四边形的面积为________．
23．如图，在中，，，于点E，且．动点P从点E出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连结，设点P的运动时间为t秒．
(1)的长为________．
(2)求线段的长（用含t代数式表示）；
(3)延长至点M，使得，以、为邻边作．
①当点A落在的边上或内部时，求t的取值范围．
②若点P在上运动，当的某一顶点（点C除外）落在的一条对角线所在直线上时，直接写出t的值．（写出两个即可）
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件计算即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
即，
解得：，
的取值范围是且．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
故选C．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
【详解】解：由二次函数，可知：
A：∵，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．抛物线开口向上，对称轴为直线，则当时，随的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了概率公式：随机事件的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
根据概率公式求解．
【详解】解：∵共9个球，其中6个白球，
∴从布袋中随机摸出一个球是白球的概率是
故选：C．
6．C
【分析】本题考查圆周角定理与三角形外角性质的综合应用，利用圆周角定理求得的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得的范围，继而得出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点P为上任意一点（点P不与点B重合），
∴，
∵，
∴，
∴的度数可能是．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形．连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，
是半圆的直径，
，
在中，，
，
弦的长为，
故选：B．
8．B
【分析】连接BD，作交BH与点M，如图所示：设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：如图，连接BD，作交BH与点M，
设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴∠EDB=90°，，
∴，
同理可得∠ABD=90°，
∵四边形EDHG是正方形，
∴∠EDH=90°，
∴B、H、D三点共线，OD∥AB，
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，正方形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
9．
【分析】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置．
【详解】解：如图所示：位似中心点P的坐标为0,2．

故答案为：0,2．
10．40cm
【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
【详解】∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则=60π，
解得：r=40cm，
故答案为:40cm．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解．
11．
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理．过点D作于点H，连接，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当点N与点B重合时，最大，此时最大，最大值为，再由直角三角形的性质，可得，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点H，连接，
∵点E，F分别为的中点，
∴，
∴当最大时，最大，
当点N与点B重合时，最大，此时最大，最大值为，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴长度的最大值为．
故答案为：
12．15
【分析】本题考查了二次函数和三角形的基本性质，由二次函数求出、两点坐标，再求出点的坐标，即可求出、的值，然后根据面积公式即可得出答案．求出三点坐标是解题的关键．
【详解】解：当时，，解得或3，则A−2,0，，
当时，，则，
∴，，
∴，
故答案为：15．
13．/
【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是，
故答案为：．
14．①③/③①
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，，再由圆周角得到，故①正确；根据点D是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，为的直径，可得，再由圆周角定理得到，可得，可得，故③正确，取中点，可得，得到，推出，由，得到，判断④错误．
【详解】解：∵等边，
∴，，
∴，故①正确；
∵点D是上一动点，
∴不一定等于，
∴不一定成立，故②错误；
当最长时，为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
取中点，连接，，，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上可知，正确的有①③．
故答案为：①③．
15．(1)1
(2)无解
【分析】本题主要考查了实数的混合运算和解一元二次方程．
（1）根据负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简计算即可；
（2）由得方程无解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
∵，
∴方程无解．
16．
【分析】本题考查画树状图求概率，解题的关键是正确画出相应的树状图．
甲有4种选择方式，乙有3种选择方式，据此画出树状图，再确定所有等可能的结果和甲乙两人座位相邻的结果，最后利用概率的公式求解．
【详解】解：画树状图如下，

由树状图可得，一共有种等可能结果，其中甲乙两人座位相邻的结果有种，即，
甲乙两人座位相邻的概率为：．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识．
（1）取点右边3格的点，连接与交点即为，此时线段为的高；
（2）找出、的中点即可；
（3）在直线上找一点G，使得，再过作的平行线，再作于点M，与平行线交点即为．
【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求；
（2）解：如图②中，线段即为所求；
（3）解：如图③中，即为所求．
18．(1)
(2)5元
【分析】（1）设七，八两月的月平均增长率为，利用八月的销售量六月的销售量七，八两月的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该水果每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）设七，八两月的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：七，八两月的月平均增长率为．
（2）设该水果每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：当该水果每箱降价5元时，超市九月获利4250元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．
先解得到，再解，，即可求解．
【详解】解：延长交于点G，由题意得，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：吉塔的高度约为．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得．根据圆周角定理得到，即，求得．根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
．
为直径，
，
即，
．
．
是的半径，
直线是的切线；
（2）解：根据（1）的结论，有，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，＝，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
即为．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，也考查了圆周角定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
21．(1)，直线；
(2)，
【分析】（1）由抛物线经过点，再建立方程求解，再进一步求解即可；
（2）先求解新抛物线的解析式，再结合矩形的性质与点M，N的纵坐标相等，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点．
∴，
解得：，
∴抛物线为；
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵抛物线；
∴抛物线向右平移m个单位为，
∵抛物线为，
当，则，则，
∵矩形的顶点A与原点重合，顶点B在x轴的正半轴上，，
∴，，
∵新抛物线与，分别交于M，N，点M，N的纵坐标相等，
∴当与时，新抛物线的函数值相等，
∴，
解得：，
∴新抛物线为：，
当时，，
∴；
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数关系式，抛物线的平移，矩形的性质，抛物线的性质等相关知识，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式是解决本题的关键．
22．（1）10；（2）；拓展：
【分析】本题考查相似三角形的综合应用．
（1）证明，通过对应边成比例求解；
（2）作交于点M，通过，导出各边长比．
拓展：连接，作交于点R，通过相似三角形导出线段比，再通过等底等高利用线段比导出面积比，分别求出与而求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）作交于点M，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
拓展：连接，作交于点R，
∴，，
设，则，，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
故答案为：．
23．(1)5
(2)
(3)①②或或
【分析】（1）根据正弦值求边长即可；
（2）分两种情况讨论，当P在上和当P在上，根据题意列式即可；
（3）①分两种情况讨论，当P在上时，当时，点A落在的边上，即可求出t的范围；当P在上时，如图，过P作于Q，设与直线交于H，根据三角函数，分别用t表示出，证明，求出，当且时，点A落在的边上或内部，进而求出t的范围即可；
②分三种情况讨论，当D落在对角线上时，当B落在对角线上时，当A落在对角线上时，正确的作图，再分别根据线段的数量关系列方程，求出t即可．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
故答案为：5；
（2）解：在中，，
，，
当P在上，即时，，
当P在上，即时，，
；
（3）解：①当P在上时，如图，
，
，
当时，点A落在的边上，
，
解得：，
，
当P在上时，如图，过P作于Q，设与直线交于H，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
当且时，点A落在的边上或内部，
，
解得：，
，
综上所述，当时，点A落在的边上或内部；
②当D落在对角线上时，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当B落在对角线上时，
，
；
当A落在对角线上时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，t的值为或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作图．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
D
C
C
C
C
B
B