上海市浦东新区建平中学2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试题

这是一份上海市浦东新区建平中学2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（ ）
A．扩大为原来的两倍B．缩小为原来的 C．不变D．不能确定
2．已知非零向量，下列条件中，不能判定向量 与向量平行的是
A． ∥∥B．C．D．
3．已知在中，，，那么的长等于（ ）
A．B．C．D．
4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是( )

A．＝B．＝C．＝D．＝
5．如图，的两条中线、交于点，且，连接并延长与交于点，如果，，那么下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．在的地图上，两地在地图上的距离是厘米，那么这两地的实际距离为 千米．
8．已知＝，则＝ ．
9．已知线段的长为，点是线段的黄金分割点，那么较长线段的长是 ．
10．已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则 ．
11．计算：= ．
12．如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心，那么的值为 ．
13．如图，在，平分，，，，，则 ．
14．如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，，，，则 ．
15．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝4，BC边上的高是6，那么这个正方形的边长是 ．
16．如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是 米（结果保留根号形式）．
17．在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是 ．
18．如图，已知在中，，，，点是边上一点，将沿着翻折，点落在点处，连接，如果，设与边交于点，那么的值是 ．
三、解答题
19．计算：．
20．如图，已知在平行四边形中，点是上一点，且，，射线与射线相交于点．

(1)求的值；
(2)如果，，求向量．（用向量、表示）．
21．如图，已知在中，，，．接下来进行如下作图操作：在边上取一点，以点为圆心，为半径画弧交边于点，过点作交边于点，射线交射线于点．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
22．如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道的顶端有一个长2米的水平面．
《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：
(1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的？说明理由；
(2)相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道建造需要规划多少面积的用地？
23．如图，已知，在锐角中，于点E，点D在边AC上，连接BD交CE于点F，且．
求证：；
连接AF，求证：．
24．如图，在平面直角系中，直线AB：分别交x轴、y轴于A、B两点，点是x轴上的一点，连接BC．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)点D在y轴上，且使与相似，求点D的坐标．
25．如图所示，∠MON＝45°，点P是∠MON内一点，过点P作PA⊥OM于点A、PB⊥ON于点B，且PB＝．取OP的中点C，联结AC并延长，交OB于点D．
（1）求证：∠ADB＝∠OPB；
（2）设PA＝x，OD＝y，求y关于x的函数解析式；
（3）分别联结AB、BC，当△ABD与△CPB相似时，求PA的长．
坡度
最大高度（米）
1.50
1.00
0.75
参考答案：
1．C
【详解】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
故选C.
2．B
【详解】A.由推知非零向量的方向相同,则，故本选项错误；
B.由不能确定非零向量的方向，故不能判定其位置关系，故本选项正确；
C.由推知,则非零向量与的方向相同,所以∥，故本选项错误；
D.由推知非零向量与的方向相反,则∥，故本选项错误.
故选B.
3．A
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA＝，代入求出即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，
∴sinA＝，
∴AB＝=，
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
4．C
【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．
【详解】只有选项C正确，理由：
如图：

∵AD=2，BD=4，=，
∴==，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
5．B
【分析】本题考查了三角形的中线和重心，勾股定理，直角三角形的性质，由三角形的重心可得，，，即可由勾股定理得，，得到，即可判断；由直角三角形的性质可得，进而得，即得，即可判断、，据此即可求解，掌握三角形的中线和重心的性质是解题的关键．
【详解】解：∵的两条中线交于点，
∴点是的重心，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，故正确，不符合题意；错误，符合题意；
∵，是的中点，
∴，
∴，
∴，故、正确，不符合题意；
故选：．
6．C
【详解】∵DE∥BC
∴=.
∵EF∥DC，
∴= ，
∴即AD2=AF⋅AB.
故选C.
点睛：本题考查了平行线分线段成比例.平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.注意找对应关系，以防错解.
7．7
【分析】直接利用比例尺进而计算得出答案．
【详解】解：∵在的地图上，两地在地图上的距离是厘米，
∴这两地的实际距离是：(厘米)，
厘米千米．
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了比例线段，正确应用比例尺是解题关键，注意单位的换算问题．
8．
【分析】根据分式的基本性质，由可得，然后代入式子进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质并能灵活运用性质进行分式的化简求值是解题的关键．
9．
【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可．
【详解】解：∵线段的长为，点是线段的黄金分割点，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，理解黄金分割点的概念是解题的关键．
10．9
【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的性质对应中线的比等于相似比解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：9．
11．
【分析】本题考查了平面向量，根据平面向量的加减运算法则计算即可，熟记平面向量的加减运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题．
设的重心为点，延长交于点，如图则利用三角形重心的性质得到，再证明，则根据相似三角形的性质得到，然后根据比例的性质得到的值．
【详解】解：设的重心为点，延长交于点，如图，
点为的重心，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键．
根据平行线的性质可得，，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算可得，最后再根据角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，即可解答．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：2．
14．
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：，，，，
，
即，
，
，
故答案为：．
15．2.4/
【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可．
【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵BC边上的高是6，
即
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴=，即=，
解得x=，
即正方形DEFG的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．
16．
【详解】过点C⊥AB于点D,
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，AC=100m，
∴AD=100⋅sin∠ACD=100×=50(m)，
CD=100⋅cs∠ACD=100×= (m)
在Rt△BCD中，
∵∠BCD=45°，
∴BD=CD=m，
则AB=AD+BD=50+ (m).
故答案为50+
17．
【分析】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，理解题意，在表格中作出相似三角形是解题关键．根据与相似且面积最大，即得出中边对应的边最长，且保证的每个顶点都在格点即可，据此画出图形，即可求解．
【详解】解：∵与相似且面积最大，
∴中边对应的边最长，且保证的每个顶点都在格点即可．
如图，在格点上取，，，
∴此时面积最大，且，即与相似比的值是．
故答案为：．
18．
【分析】根据折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，，根据勾股定理得到，连接交于，根据三角形的面积公式得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：如图，
将沿着翻折，点落在点处，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
连接交于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
19．
【分析】根据特殊角三角函数即可得到答案．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，分母有理化，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）证明得到，由此即可得到；
（2）根据平行四边形对边平行且相等得到，则，根据向量的运算法则得到，则．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
，
，，
，
∴；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
；
又和同向，
，
，
∵，
，
又和同向，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，向量的线性运算，正确推出是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟记相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）先判断出，再用等角的余角相等，判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：点是以点为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：如图，作于点，
在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
．
22．(1)建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度，理由见解析
(2)45平方米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—坡度问题：
（1）计算最大高度为：（米），由表格查对应的坡度为：；
（2）作，求出的长度即可得解．
【详解】（1）解：选择坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的，理由如下：
∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，
∴最大高度为（米），
由表知建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度是；
（2）解：如图，过B作于点G，
由1可知米，坡度是，
∴，即，
∴（米），
∴（平方米）．
即第一层的台阶坡道建造需要规划45平方米的用地．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）证明△EFB∽△DFC，根据相似三角形对应角相等可得∠EFB=∠FDC，从而证得BD⊥AC；
（2）由∽，可得，从而证明∽，根据相似三角形的性质可得，再根据，从而得∽，根据相似三角形的性质即可得.
试题解析：（1），
，
，
∽，
，
，
，
，
；
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
．
24．(1)见解析
(2)；
(3)D点坐标为或．
【分析】（1）分别求出两个三角形的三边，根据三角形的三边对应成比例进行证明即可；
（2）过点C作交于F点，分别求出的长，即可求；
（3）先判断出，再分两种情况讨论：当时，，根据平行线分线段成比例可求；当时，由，可求．
【详解】（1）证明：令，则，
∴，
令，则，
∴A，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点C作交于F点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，即，
∴，
∴；
当时，
，
∴，
∴；
综上所述：D点坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）先判断出∠DAE＝∠POB，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先利用等腰直角三角形的性质得出，同理得出OA＝x+4，即可得出AE，OE，进而得出DE，最后用△ADE∽△OPB的比例式建立方程化简即可得出结论；
（3）先利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形外角的性质判断出△ABC是等腰直角三角形，即可得出∠OBC+∠ABP＝45°，得出∠ABD＝∠PBC，从而得∠OBC＝∠ABP＝，进而得出OP是∠MON的平分线即可得出结论．
【详解】（1）如图，
∵PA⊥OM，CO＝CP，
∴CO＝CP＝CA，
∴∠CAO＝∠COA，
过A作AE⊥OB于E，
∵∠MON＝45°，
∴∠AOE＝∠OAE＝45°，
∴∠POB＝∠DAE，
∵PB⊥OB，
∴∠ADB＝∠OPB；
（2）如图1，延长BP交OM于F，
∵BP⊥ON，PA⊥OM，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∵∠MON＝45°，
∴∠AFB＝45°，
在Rt△APF中，AP＝x，∠OFB＝45°，
∴，
∴，
在Rt△OBF中，
延长AP交ON于G，
同理：，
∴OA＝AG＝AP+PG＝x+4，
过点A作AE⊥ON，
∴，
∴
由（1）知，∠ADE＝∠OPB，
∵∠AED＝∠OBP＝90°，
∴△ADE∽△OPB，
∴，
∴，
∴
（3）如图2，
在Rt△OAP中，点C是OP中点，
∴，
在Rt△OBP中，点C是OP中点，
∴，
∴AC＝BC，
∵AC＝OC，
∴∠ACP＝2∠AOP，
∵OC＝BC，
∴∠BCP＝2∠BOP，
∴∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝90°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵∠OBP＝90°，
∴∠OBC+∠ABP＝45°
∵当△ABD与△CPB相似时，
∵∠ADB＝∠CPB，
∴∠当ABD＝∠PBC时，
∴，
∵OC＝BC，
∴∠BOC＝∠OBC＝22.5°，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴OP是∠MON的角平分线，
∵PA⊥OM，PB⊥ON，
∴．
当∠ABD＝∠BCP时，
∵∠ACP+∠BCP＝90°＝∠ABD+∠ABP，
∴∠ACP＝∠ABP，
∴点A，C，B，P四点共圆，
∵∠PAO+∠PBO＝180°，
∴点A，O，B，P四点共圆，
∵点C在OP上，
∴此种情况不存在．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查直角三角形的性质，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质，解（2）的关键是得出OB，DE，AE，解（3）的关键是判断出∠OBC+∠ABP＝45°，是一道很好的中考常考题．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
B
A
C
B
C