福建省福州市长乐一中2024-2025学年九年级上学期第二次阶段考试数学试卷

这是一份福建省福州市长乐一中2024-2025学年九年级上学期第二次阶段考试数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意抛掷两枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．明天一定会下大雨
C．装有1个蓝球3个红球的袋子中任取2个球，则至少有一个是红球
D．投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是2
2．二次函数的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
3．如图，在中，已知，将绕点顺时针旋转到的位置，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．若函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．中考体育科目考试是对应届初中毕业生作出体质评价的统一测试．巴中市中考体育项目中有一项为一分钟跳绳，小明3月份的跳绳测试成绩为130个，经老师的指导和自己的努力，5月份的跳绳测试成绩为176个．设小明跳绳个数月平均增长率为x，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，若CE=2AE，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知，均为上一点，若，则（ ）

A．B．C．D．
8．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（ ）
A．6cmB．12cmC．21cmD．24cm
9．已知抛物线不经过第三象限，且当时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
二、填空题
10．点关于原点对称的点的坐标是 ．
11．某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度V（单位：）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时的速度为25，则所受阻力F为 N．
12．若一个二次函数的最大值为3，则该二次函数的解析式可以是 （写出一个符合题意的解析式）
13．如图为一个的三角板，，小洋同学将三角板绕旋转一周，则所得到的几何体的侧面积为 （结果保留）

14．已知关于x的方程x2+mx-2=0的两个根为x1、x2，若x1+x2-x1x2=6，则m= ．
15．如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为 ．
三、解答题
16．用适当的方法解下列方程：x2-6x-3=0
17．如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE．
18．一个不透明的袋中装有1只红球、1只绿球和2只篮球，这些球除颜色外完全相同．
(1)从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为_____________；
(2)从袋中一次随机摸出2只球，通过树状图或列表法求这2只球颜色不同的概率．
19．如图，在等腰直角三角形中，，，点D在上，将绕点B顺时针旋转后得到，求的度数．
20．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C．
(1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)设是等腰三角形，底边cm，腰cm，求圆片的半径R．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图像分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，OE=2．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OD，求△OBD的面积．
22．如图，为圆O的直径，在直径的同侧的圆上有两点C，D，，弦平分交于点F．
(1)已知，求的长：（结果保留π）
(2)求证：．
23．已知和是两个全等的等腰直角三角形，．
(1)如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证：
①；
②；
(2)如图2，与边交于点，与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由．
24．问题：某兴趣小组开展综合实践活动：如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为秒，正方形的面积为，探究与的关系．
探究：
(1)[初步感知]：如图1，当点由点运动到点时．
①当时， ．
②求出关于的函数解析式；
(2)[建立模型]：当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长．
(3)[延伸探究]：若存在3个不同时刻分别为，这3个时刻分别对应的正方形的面积均相等，求的值．
参考答案：
1．C
【分析】根据事件发生的可能性判断．
【详解】解：A、任意抛掷两枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，错误；
B、明天可能下大雨，也可能天晴，错误；
C、装有1个蓝球3个红球的袋子中任取2个球，因为最多只有一个蓝球，所以至少有一个是红球，正确；
D、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任一个，错误；
故选C．
【点睛】本题考查确定性事件的应用，熟练掌握必然事件的意义是解题关键．
2．C
【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数对称轴公式是解决问题的关键．
直接根据二次函数对称轴公式求解即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线．
故选C．
3．B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，将绕点A顺时针旋转得到的位置，依据旋转的性质即可得解．
【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴旋转角，
故选：B．
4．D
【分析】根据已知函数y＝x2−2x＋b的图象与x轴有两个交点得出△＞0，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵函数y＝x2−2x＋b的图象与x轴有两个交点，
∴方程x2−2x＋b＝0有两个不相等的实数根，
即△＝（−2）2−4×1×b＝4−4b＞0，
解得：b＜1，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题和解一元一次不等式，能根据题意得出不等式是解此题的关键．
5．B
【分析】设小明跳绳个数月平均增长率为x，根据等量关系式3月份的跳绳测试成绩5月份的跳绳测试成绩，列出方程即可．
【详解】解：设小明跳绳个数月平均增长率为x，根据题意得：
，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目的等量关系式．
6．C
【分析】根据平行线截线段成比例逐项判断即可．
【详解】∵CE=2AE，
∴．
∵，
∴，故A不符合题意，C符合题意；
，故B不符合题意，D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查平行线截线段成比例．正确判断成比例的线段是解题关键．
7．C
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理直接可得，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：．
8．C
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【详解】如图所示：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC
∴,
设屏幕上的图形高是x，则 ,
解得：x＝21．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
9．A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出抛物线的对称轴方程，结合增减性得到关于m的不等式，进而即可求解
【详解】解：∵的对称轴为：，
又∵当时，抛物线满足y随x的增大而增大，
∴，解得．
∵抛物线开口向上，且不经过第三象限，
∴，解得，，
∴m的取值范围为：，
故选A．
10．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可求解，掌握于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
11．2400
【分析】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键．
根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值．
【详解】解：设功率为，由题可知，即，
将，代入得，
解得，
∴反比例函数为：，
将代入得
得，
故答案为：2400．
12．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
根据二次函数的性质写成函数图象开口向下，且顶点的纵坐标是3的解析式即可．
【详解】解：由题意，二次函数有最大值，说明函数图象开口向下，且顶点的纵坐标是3，则这个二次函数的解析式可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
13．
【分析】将三角板绕旋转一周所得到的几何体是圆锥，根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴将三角板绕旋转一周所得到的几何体是底面圆的半径为6，母线长为12的圆锥，
∴所得到的几何体的侧面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．
14．-4
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．
【详解】解：依题意得：x1+x2=-m，x1x2=-2．
所以x1+x2-x1x2=-m-（-2）=6
所以m=-4．
故答案是：-4．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=．
15．-3
【分析】根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＋∠CDF＝90°，
∵，
∴∠DCF＋∠CDF＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∴点F在以DC为直径的半圆上移动，
如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，
连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，
∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，
∴OG＝9，
∴OP＝，
∴FP＝-3，
∴BE＋FE的长度最小值为-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．x1=，x2=
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【详解】解：∵x2-6x-3=0，
∴x2-6x=3，
则x2-6x+9=3+9，即（x-3）2=12，
∴x-3=，
∴x1=，x2=．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．证明见解析.
【分析】证出∠A=∠ECD，再由∠B=∠D=90°，即可得出△ABC∽△CDE．
【详解】∵∠B=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∵C为线段BD上一点，且AC⊥CE，
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠A=∠ECD，
∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC∽△CDE．
考点：相似三角形的判定．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率公式直接求解；
（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
∴共有12种可能结果，其中2只球颜色不同的有10种，
∴P（2只球颜色不同）．
19．
【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，旋转的性质是解题的关键．根据题意，由旋转的性质可得与重合，，，由即可求解．
【详解】解：在等腰直角三角形中，，，
∴，
∵点D在上，将绕点B顺时针旋转后得到，
∴与重合，，，
∴，
∴，
∴的度数为．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）可根据，的垂直平分线来确定圆心．
（2）本题可通过构建直角三角形来求解．连接交于．先求出的值，然后在直角三角形中，用半径表示出，，然后根据勾股定理求出半径的值．
【详解】（1）解：分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心．
（2）连接交于，连接．
，
，（cm），
在中，（cm），
设的半径为cm，在中，
，即，
，
．
所以所求圆的半径为cm．
【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理等知识点，要注意作图中是根据垂径定理作为作图依据．
21．(1)
(2)
【分析】（1）首先根据OE的长度得出点C的横坐标，然后根据一次函数解析式求出点C的坐标，最后将点C代入求出反比例函数的解析式；
（2）根据函数的交点求法得出点D的坐标，根据一次函数的解析式求出点B的坐标，从而得出△OBD的面积．
【详解】（1）解：∵OE=2，CE⊥x轴于点E，
∴C的横坐标为﹣2，
把x=﹣2代入得，，
∴点C的坐标为C（﹣2，3），
设反比例函数的解析式为，
将点C（﹣2，3）的坐标代入，得，
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：由直线线可知B（4，0），
，解得，
∴D（6，﹣1），
∴．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及到待定系数法确定函数关系式、函数图像交点及平面直角坐标系中三角形面积问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
22．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据，，求出，连接，根据弧长公式计算即可；
（2）根据圆周角定理得到，利用弦平分求出，得到，根据，推出，进而推出，即可证得结论．
【详解】（1）解：∵为圆O的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴；
（2）证明：∵为圆O的直径，
∴，
∵弦平分交于点F．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记圆周角定理是解题的关键．
23．(1)①见解析；②见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）①由是等腰直角三角形和，可以得到，，，得到，由可以证明；
②由①知，则，，证明．再证明，则，在中，，根据勾股定理，得，等量代换后即可得到结论；
（2）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，由旋转性质可得，，证明，即可得到，，可得，由勾股定理可得，等量代换后即可得到结论．
【详解】（1）证明：①∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴．
②由①知，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得，
∴．
（2）解：，证明如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键．
24．(1)3；
(2)图像如下，，
(3)4
【分析】（1）①当时，，运用勾股定理即可求得答案；
②由题意得，运用勾股定理可得出结果；
（2）观察图象可得，当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，抛物线的顶点坐标为，由勾股定理可得， ，即，设，将代入，即可求得解析式，再利用勾股定理即可求得线段的长；
（3）根据抛物线的对称性可得当时，点与关于直线对称，点与关于直线对称，即可得答案．
【详解】（1）①当时，，
又，
故答案为：3；
②当点由点运动到点时，
，
故答案为： ；
（2）由图2可得：
当点运动到点处时，，
当点运动到点处时，，
抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
设，
将代入，
得，
解得：，
，
在中，
抛物线的解析式为：
（3）由（1）（2）可得：
图象如图所示：
∵存在3个时刻对应的正方形的面积均相等，
，
点与关于直线对称，
点与关于直线对称，
∴，
，
故答案为：4；
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，勾股定理，三角形面积等； 熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9

答案
C
C
B
D
B
C
C
C
A

红
绿
蓝
蓝
红
红绿
红蓝
红蓝
绿
绿红
绿蓝
绿蓝
蓝
蓝红
蓝绿
蓝蓝
蓝
蓝红
蓝绿
蓝蓝