精品解析：山东省青岛市第二中学2024届高三上学期期末数学试题

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命题人：程志 王作杭 张羽 审核人：董天龙
本试卷共6页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上的无效.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数的性质解集合A，再由交集的概念计算即可.
【详解】由，即.
故选：C
2. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量在向量上的投影向量公式：计算即得.
【详解】根据平面向量的投影向量的规定可得: 向量在向量上的投影向量为：，即，
因，则，，则向量在向量上的投影向量为：.
故选：D.
3. 若复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用复数乘法化简，再由所在象限的复数特征列不等式组求参数范围.
【详解】由题设，可得，所以，对应的点位于第四象限，
所以.
故选：C
4. 已知函数的图像关于原点中心对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦函数对称中心求出的表达式，再赋值求得结果.
【详解】函数的图像关于原点中心对称,则，解得，因为，当时，取得最小值.
故选：B
5. 展开式的常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项展开式通项结合换底公式可求得结果.
【详解】的展开式通项为
，
由可得，且，
所以，展开式中的常数项为
.
故选：C.
6. 椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，财的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将在圆上总存在点能作椭圆的两条相互垂直的切线转化为圆与椭圆的蒙日圆总存在交点，然后列不等式求解即可.
【详解】由题意得椭圆的蒙日圆为，
在圆上总存在点，
则圆与总存在交点，即两圆相切或相交，
则，解得.
故选：D.
7. 1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的定义，利用锐角三角函数的定义转化为角的正余弦，再利用二倍角公式、辅助角公式求解作答.
【详解】依题意，角可视为某直角三角形的内角，
由锐角三角函数定义及已知得，
所以.
故选：C
8. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，，经过右焦点垂直于的直线分别交，于，两点.已知、、成等差数列，且与反向.则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意为直角三角形，解出三边后再由渐近线斜率求离心率
【详解】设 ，
由勾股定理可得： 得： ，
，
由倍角公式 ，解得
且，则，即 ，
则离心率 ．
故选:A
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：直接观察即可；对于B：做差法判断；对于C：构造函数，确定函数单调性后可判断；对于D：构造函数，确定单调性，然后通过化简整理后可判断.
【详解】对于A选项，不一定大于1，故A错误.
对于B选项，因为，则，
所以，故B正确.
一题多解，根据糖水不等式，，，可知B正确.
对于C选项，，
令，则，则在上单调递增.
又因为，所以，即，故C正确.
对于D选项，因为，
所以，
令，令，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即，
则，即成立，故D正确.
一题多解 根据对数平均不等式，，可知D正确.
故选：BCD.
10. 有一组样本数据，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据（ ）
A. 众数是1概率是
B. 极差不变的概率是
C. 第25百分位数不变的概率是
D. 平均值变大的概率是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意计算出的每个可能的取值相应的概率，结合各选项的条件确定X可能的取值，即可求出相应的概率，即得答案.
【详解】由题意知，
则，，
，，
对于A，众数是1，说明添加的数为1，则，A正确；
对于B，极差不变，说明添加的数，
则极差不变的概率是，B正确；
对于C，由于，
故原数据和新数据的第25百分位数均为第2个数，
只要添加的数不为0，原数据和新数据从小到大排列后，第二个数相同，都为1，
故第25百分位数不变的概率是，C错误；
对于D，原样本数据的平均值为，
平均值变大，则添加的数要大于2，即，
故平均值变大的概率是，D正确，
故选：ABD
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.
【详解】因为，
令得：，又因为，所以，故A正确；
因为是定义域为的奇函数，所以，且为偶函数.
令，可得：①
再用代替可得：
②
①②得：
所以：，
所以是周期为3的周期函数，所以：，故B正确.
因为：，，所以：，
所以：，故C错误；
又因为亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以
令，可得：，
所以.
所以：.故D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：对于可导函数有：奇函数的导函数为偶函数；偶函数的导函数为奇函数.
若定义在上的函数是可导函数，且周期为，则其导函数也是周期函数，且周期也为.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为，则该正四棱台的体积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】作出辅助线，根据侧棱与底面所成角的大小求出台体的高，利用台体体积公式求出答案.
【详解】如图，延长相交于点，连接，
过点作⊥平面，交于点，则⊥平面于点，
且点在上，
其中，过点作⊥于点，则，
所以，
因为侧棱与底面所成的角为，所以，故，
则该正四棱台的体积为.
故答案为：
13. 某次会议中，筹备组将包含甲､己在内的4名工作人员，分配到3个会议厅工作，每个会议厅至少1人，每人只负责一个会议厅，则甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法共有__________种.（用数字作答）
【答案】30
【解析】
【分析】先求出4名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.
【详解】将4名工作人员分配到3个会议厅，方案有种情况，
其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为，
从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种.
故答案为：30
14. 某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列；...第次得到数列；记，则__________；__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】找到规律，得到，，结合等比数列求和公式得到答案.
【详解】，，
，依次类推，得到
，
故.
故答案为：42，-3
四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，且的周长为，求边上的高.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知结合切化弦可得，利用正余弦定理边化角，可得，即可求得答案；
（2）由题意可得，结合（1）即可求出，利用余弦定理求出，进而求得，结合边上的高为，即可求得答案
【小问1详解】
由，可得，
所以，
又由正弦定理和余弦定理，可得，
整理得，所以.
【小问2详解】
由，且的周长为，可得，
又由（1）可知，，即，
所以，联立方程组，解得，
所以，
则，
所以边上的高为.
16. 如图，底面是边长为2的菱形，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证平面，再证得,从而得平面，即得：平面平面；
（2）通过（1）的条件建系，求出相关点的坐标，表示出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【小问1详解】

平面平面.
.又底面是菱形，.
平面平面，
如图，设交于，取的中点，连，则，
因，则,故是平行四边形.
则因平面，平面，
又因平面平面平面.
【小问2详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系

因，
则
设平面的法向量为则
故可取，
又
设平面的法向量则
故可取.
设平面与平面夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
17. 为检验预防某种疾病的两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为，统计如下：
个别数据模糊不清，用含字母的代数式表示.
（1）为检验该项医学指标在内的是否需要接种加强针，先从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种疫苗的人数为，求的分布列与数学期望；
（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的列联表，若根据小概率的独立性检验，认为接种疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求的最大值.
附：，其中.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）列联表见解析，2
【解析】
【分析】（1）由抽样调查性质可得抽取接种疫苗人数，计算出的所有可能取值的对应概率可得分布列，由分布列可计算期望；
（2）结合计算公式计算出对应的范围即可得.
【小问1详解】
从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人中，
接种疫苗有2人，接种疫苗有6人，
由题意可知，可能取值为，
，
的分布列为：
则；
【小问2详解】
列联表如下：
则，
由题意可知，，
整理得，，
解得或，
又，则，
所以，
故的最大值为2.
18. 已知椭圆的离心率，其上焦点与抛物线的焦点重合.

（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆T于点、，同时交抛物线于点、（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），判断与的大小关系，并证明；
（3）若过点的直线交椭圆于点、，过点与直线垂直的直线交抛物线于点、（如图2所示），判断四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）存在，最小值为
【解析】
【分析】（1）求出抛物线焦点坐标，可得出的值，利用椭圆的离心率可得出的值，由此可计算出的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）设直线方程为，分析可知，将直线的方程分别与椭圆、抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出、，利用作差法可得出、的大小关系；
（3）设、、、，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率存在时，求出、的表达式，利用二次函数的基本性质可求得四边形面积的取值范围；在直线的斜率不存在时，直接求出四边形的面积，综合可得出四边形面积的最小值.
【小问1详解】
解：由题意可知，抛物线的焦点为，
由题意可知，，，则，所以，，
因此，椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：由题意，设椭圆与抛物线的交点为，

联立解得，即点，
所以，直线的斜率为，
若要产生如图1中、、、四点的位置，可知，
设直线方程，设、、、，
联立，消去得，
，
由韦达定理可得，，
所以
，
抛物线方程为，
联立，消去得，，
由韦达定理可得，，
所以
，
所以
，即.
【小问3详解】
解：存在最小值，最小值为.
设、、、，
当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为，
则直线方程为，
由（2）可知：，由，
以替换，可得，
所以，
因为，令，
则函数在上单调递减，
当时，则，则，
当直线的斜率不存在时，由可得，则，，
所以.
综上所述：，所以四边形面积的最小值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.
19. 已知函数.
（1）若为奇函数，求此时在点处的切线方程；
（2）设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点.
（i）求函数的极值；
（ii）若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）答案见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义, 求出 的值, 然后利用导数求切线方程.
（2）( i )对 进行求导, 将 既存在极大值, 又存在极小值转化成 必有两个不等的实数根, 利用导数得到 的单调性和极值, 进而即可求解;
(ii) 对 进行求导, 利用导数分析 的极值, 将 恒成立转化成 , 构造函数, 利用导数分类讨论求解即可.
【小问1详解】
为奇函数，有，则，经检验知满足题意，
所以所以，，
所以在点处的切线方程为.
【小问2详解】
（i），
因为函数既存在极大值，又存在极小值，
则必有两个不等的实根，则，
令可得或，
所以，解得且.
当时，.则有：
极大值，极小值
当时，.则有：
极大值，极小值.
（ii）由，所以，
由题意可得对恒成立，
即
令，其中，
令，则
①当，即时，在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
②当，即或时，
设方程的两根分别为且，
当时，则，
则在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
当时，则，
则，则当时，，
则在上单调递减，，即不合题意.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究曲线的切线、极值与最值等知识与方法，其中第 (2) 问的 (ii ) 小问, 关键是将 恒成立转化成 , 构造函数,利用导数分类讨论求解即可, 属于难题.
该项医学指标
接种疫苗人数
10
50
接种疫苗人数
30
40
疫苗
抗体
合计
抗体弱
抗体强
疫苗
疫苗
合计
0.25
0.025
0.005
1.323
5.024
7.879
2
3
4
疫苗
抗体
合计
抗体弱
抗体强
疫苗
100
疫苗
100
合计
60
140
200
0
+
0
-
0
+
极大值
极小值
0
+
0
-
0
+
极大值
极小值