人教版数学九上期中复习专题22.1 二次函数的定义之五大考点（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13662" 【典型例题】 PAGEREF _Tc13662 \h 1
\l "_Tc19880" 【考点一 二次函数的识别】 PAGEREF _Tc19880 \h 1
\l "_Tc31790" 【考点二 二次函数中各项的系数】 PAGEREF _Tc31790 \h 3
\l "_Tc14113" 【考点三 利用二次函数的定义求参数】 PAGEREF _Tc14113 \h 4
\l "_Tc27813" 【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】 PAGEREF _Tc27813 \h 5
\l "_Tc11053" 【考点五 列二次函数的关系式】 PAGEREF _Tc11053 \h 6
\l "_Tc23500" 【过关检测】 PAGEREF _Tc23500 \h 9
【典型例题】
【考点一 二次函数的识别】
例题：（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可．
【详解】A．是一次函数，故不符合题意；
B．是二次函数，故符合题意；
C．是一次函数，故不符合题意；
D．是反比例函数，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．
【变式训练】
1．（2023秋·甘肃平凉·九年级校考期中）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用二次函数定义进行分析即可．
【详解】解：A.是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B.不是二次函数，故此选项不符合题意；
C.，是二次函数，故此选项符合题意；
D.，当时，不是二次函数，故此选项符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，其中都是常数，，熟练掌握二次函数的定义并灵活运用是解决本题的关键．
2．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①，②，③，④
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义：形如（，，为常数且），逐一判断即可．
【详解】解：①，是二次函数；
②，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
③，整理后是二次函数；
④，整理后是二次函数；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号）
【答案】②③④
【分析】根据二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【详解】解：y是x的二次函数的是②；③；④．
故答案为：②③④．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【考点二 二次函数中各项的系数】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数的一次项系数是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】先把二次函数化为的形式，再找出其一次项系数．
【详解】∵原二次函数可化为
∴其一次项系数是．
故选：D．
【点睛】考查二次函数的一般形式，把二次函数化为的形式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）二次函数的一次项系数是（ ）
A．B．1C．D．6
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义，即可解答．
【详解】解：二次函数的一次项系数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．（2023·上海·九年级假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是；
(2)不是；
(3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是；
(4)不是
【分析】根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是；
（2），不含二次项，故不是二次函数；
（3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是；
（4）中不是整式，故不是二次函数．
【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项．
【考点三 利用二次函数的定义求参数】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数是二次函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0B．1C．4D．0或4
【答案】C
【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解即可．
【详解】由题意得：，且，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如(a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数．
2．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）是二次函数，则m的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】解：是二次函数，
∴，，
解得，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．
【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】
例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线经过点，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】将点P代入函数表达式中，解方程可得a值．
【详解】解：将代入中，得：
，
解得：，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线过点（2，4），则代数式的值为（ ）
A．14B．2C．－2D．－14
【答案】A
【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值．
【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax2+bx-3得
4a+2b-3=4，
整理得8a+4b=14.
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．
2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线经过点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先把点代入解析式，得到，然后化简，整体代入即可得到答案.
【详解】解：把点代入，
得：，
∵
；
故选择：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.
【考点五 列二次函数的关系式】
例题：（2023春·河北保定·八年级统考期中）用长为的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y ，一边长为，用含有x的代数式表示y为______，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y与x的关系式．
【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为
又因为一边长为，
所以另一边长为
又∵长方形面积长宽，
，
所以．
②∵，
∴
∴自变量x的取值范围是．
故答案为：①；②．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____．
【答案】
【分析】根据题意列出函数解析式即可．
【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，
∴与之间的函数关系式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式．
【答案】(1)()；
(2)()
【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可；
（2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可．
【详解】（1）设与的函数关系式为
．
时，，
时，，
，
解得，
，
根据部门规定，得．
（2）
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0．
【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意；
B、二次项系数a不能确定是否为0，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项符合题意；
D、是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义及条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．
2．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数的一次项系数是（ ）
A．2B．3C．D．4
【答案】C
【分析】先确定二次函数的一次项，再确定一次项系数即可．
【详解】解：二次函数的一次项为，所以一次项系数为．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的各项系数，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，在确定各项系数时，系数前面的符号是关键．
3．（2023·上海·一模）下列各点中，在二次函数图象上的点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
【详解】A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
4．（2023·上海·九年级假期作业）关于x的函数是二次函数的条件是（ ）
A．a≠bB．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得：a≠b，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
6．（2023秋·山东济南·九年级期末）若函数是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或B．0或1C．D．1
【答案】C
【分析】利用二次函数定义可得，且，再解即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：或且，
故，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，我们把形如（其中a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
7．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】A
【分析】先求出，再证明都是等腰直角三角形，从而推出，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
二、填空题
8．（2022春·全国·九年级专题练习）二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ．
【答案】 / 3
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【详解】解：二次函数的二次项系数是，一次项系数是3，
故答案为：；3．
【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
9．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数，当时， ．
【答案】10
【分析】把代入计算即可．
【详解】把代入，得
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数的函数值的计算，准确计算是解题的关键．
10．（2023·上海·九年级假期作业）若函数是关于的二次函数，则 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵函数是关于的二次函数，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（且a、b、c是常数）的函数叫做二次函数．
11．（2023·上海·九年级假期作业）二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】把代入函数解析式，即可求解．
【详解】解：把代入函数解析式，得
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键．
12．（2023·全国·九年级假期作业）某化工厂月份生产某种产品，月份生产这种产品，则与产品产量的月平均增长率之间的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】根据增长率问题，2月份的产量为，则3月份的产量为，列出函数关系式即可求解．
【详解】解：依题意，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数关系式，是解题的关键．
13．（2022春·全国·九年级专题练习）有下列函数：
①y=5x-4；②；③；④；⑤；
其中属于二次函数的是 （填序号）．
【答案】②④
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：②y=；④y=﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数；
③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数．
综上所述，其中属于二次函数的是②④．
故答案为：②④．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
14．（2022秋·北京东城·九年级校考阶段练习）已知函数，若它是二次函数，则函数解析式为 ．
【答案】
【分析】由函数是二次函数，可得且，从而可得答案．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴且，
当时，
解得：，，
综上：，
∴函数解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一元二次方程的解法，掌握“二次函数的定义”是解本题的关键．
三、解答题
15．（2023·上海·九年级假期作业）判断下列函数是否是二次函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)是
(5)是
(6)不是
【分析】根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1），没有二次项，故不是二次函数；
（2），符合，故是二次函数；
（3），不是整式，故不是二次函数；
（4），符合，故是二次函数；
（5），符合，故是二次函数；
（6），没有二次项，故不是二次函数．
【点睛】本题考查了二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合的形式．
16．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知函数．
(1)当a为何值时，此函数是二次函数；
(2)当a为何值时，此函数是正比例函数．
【答案】(1)时，此函数是二次函数；
(2)或或2，此函数是正比例函数．
【分析】（1）根据二次函数的定义解答即可；
（2）根据正比例函数的定义求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：且，解得：，
∴当时，此函数是二次函数；
（2）解：由题意得：且，或，且，
解得：或或2，
当时或或2，此函数是正比例函数．
【点睛】本题考查二次函数的定义，正比例函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义：形如这样的式子叫做二次函数；正比例函数定义：形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
17．（2023·浙江·九年级假期作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可；
（2）把（1）中的除以5即可得到．
【详解】解：（1）
；
（2）．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题．
18．（2022·全国·九年级假期作业）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意先分类讨论，当售价超过50元但不超过80元时，上涨的价格是元，就少卖件，用原来的210件去减得到销售量；当售价超过80元，超过80的部分是元，就少卖件，用原来的210件先减去售价从50涨到80之间少卖的30件再减去得到最终的销售量．
（2）根据利润=（售价-成本）销量，现在的单件利润是元，再去乘以（1）中两种情况下的销售量，得到销售利润关于售价的式子．
【详解】（1）当时，，即．
当时，，即，则
（2）由利润=（售价-成本）×销售量可以列出函数关系式为
【点睛】本题考查二次函数实际应用中的利润问题，关键在于根据题意列出销量与售价之间的一次函数关系式以及熟悉求利润的公式，需要注意本题要根据售价的不同范围进行分类讨论，结果要写成分段函数的形式，还要标上的取值范围．