人教版数学九年级上册期中复习专题03 一元二次方程的应用题重难点题型专训（2份，原卷版+解析版）

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题型一 传播问题
题型二 增长率问题
题型三 与图形有关的问题
题型四 数字问题
题型五 营销问题
题型六 动态几何问题
题型七 行程问题
题型八 图表信息题
题型九 其他问题
【经典例题一 传播问题】
【解题技巧】
1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）²人患了流感.
树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x²个枝。
【例1】（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）
A．80个B．120个C．15个D．16个
【答案】D
【分析】根据参赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，可列出方程．
【详解】解：设参加比赛的队共有x，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：，
第二轮传染后患流感的人数是：，
而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程，
．即
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
2．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，那每轮传染中平均一个人传染了____个人；如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有______人感染德尔塔病毒．
【答案】 11 1728
【分析】设平均一个人传染了x人，根据题意，两轮传播了人，列方程得，解方程即可；三轮传播的人数为，计算即可．
【详解】设平均一个人传染了x人，根据题意，两轮传播了人，列方程得，
解方程得（舍去），
故答案为：11；
三轮传播的人数为，
故答案为：1728．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用传播问题，熟练掌握传播问题解法是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）2019年12月以来，“新冠”病毒影响着人们的出门及交往．
(1)在“新冠”初期，有2人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有288人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)某小区物管为预防业主感染传播购买A型和B型两种口罩，购买A型口罩花费了2500元，购买B型口罩花费了2000元，且购买A型口罩数量是购买B型口罩数量的2倍，已知购买一个B型口罩比购买一个A型口罩多花3元．则该物业购买A，B两种口罩单价分别为多少元？
【答案】(1)11人
(2)型口罩的单价为5元，型口罩的单价为8元
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了人，根据2人感染“新冠”经过两轮传染后共有288人感染“新冠”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该物业购买型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，列出方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了11人．
（2）设该物业购买型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，
由题意得，，
解得，，
经检验是原方程的解，
则，
答：该物业购买型口罩的单价为5元，型口罩的单价为8元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系是解决问题的关键．
【经典例题二 增长率问题】
【解题技巧】
增减率问题涉及的公式有:
(1)
(2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则.
【例2】（2022秋·九年级课时练习）据统计2019年某款APP用户数约为2400万，2021年底达到5000万．假设未来几年内仍将保持相同的年平均增长率，则这款APP用户数首次突破一亿的年份是（ ）
A．2022年B．2023年C．2024年D．2025年
【答案】B
【分析】设年平均增长率为，根据该款APP在2019年底及2021年底的用户数，可列出关于的一元二次方程，解之可得及的值，将其代入与中，可求得2022年级2023年底的用户数，将其与10000万比较即可求解．
【详解】解：设年平均增长率为，
依题意得，，
∴，
∴或（不合题意舍去），
∴（万），（万），
∵7200万＜10000万＜10417万，
∴该款APP用户在2023年首次突破一亿．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·山东德州·统考二模）某学校实践基地加大农场建设，为学生提供更多的劳动场所．该实践基地某种蔬菜2020年的年产量为60千克，2022年的年产量为135千克．设该种蔬菜年产量的平均增长率为，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平均增长率的意义列式计算即可．
【详解】根据题意，得，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握平均增长率问题是解题的关键．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________．
【答案】
【分析】设该公司每个季度的下降率是x ，根据该公司第一季度及第三季度的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解∶设该公司每个季度的下降率是x，
依题意，得∶，
解得∶， （不符合题意，舍去）．
即该公司每个季度的下降率是，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
3．（2023春·八年级单元测试）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
(1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
(2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
【答案】(1)该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为
(2)下调后每辆汽车的售价为21万元
【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解；
（2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为辆，然后可得方程为，进而求解即可．
【详解】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为．
（2）解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得：
解得：，
∵尽量让利于顾客，
∴；
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
【经典例题三 与图形有关的问题】
【解题技巧】
利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形
【例3】（2023春·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考开学考试）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设两点间的距离为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】当，即在点时，；利用两点之间线段最短，得到，得的最大值为；在中，由勾股定理求出的长，再根据求出的长．
【详解】解：由函数图象知：当，即在点时，．
利用两点之间线段最短，得到．
的最大值为，
．
在中，由勾股定理得：，
设的长度为，
则，
，
即，
，
解得或，
由于，
．
，
∵点为的中点，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江温州·八年级温州市第十二中学校考期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】参照已知方法，求得大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长和面积，求出，即可得到的值．
【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
，小正方形的面积为4，
大正方形的面积为，
大正方形的边长为10，
，
，
小正方形的边长为，即，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．
2．（2023春·浙江温州·八年级期中）如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长34米的围栏建两个面积相同的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计）．每个生态园的面积为48平方米，则每个生态园垂直于墙的一边长为_________．
【答案】4米
【分析】设每个生态园垂直于墙的一边长为，可得平行于墙的一边长为，根据面积建立一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设每个生态园垂直于墙的一边长为，
∵三边用总长34米，门宽1米
∴平行于围墙的一边长为，
∵每个生态园的面积为48平方米，
∴，
∴，
解方程得，
∵垂直于墙的一边长不超过6米，
∴舍去，
故答案为：4米
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程．
3．（2023春·八年级单元测试）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，设平行于墙的边长为．
(1)若围成的花圃面积为时，求的长；
(2)如图，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成花圃，如果能，求的长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)的长为米；
(2)不能围成花圃，理由见解析．
【分析】（1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长；
（2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃；
【详解】（1）解：根据题意得，
，
则，
∴，
因为，
所以舍去，
所以，
答：的长为米；
（2）解：不能围成花圃，理由如下：
根据题意得，
，
方程可化为，
∴，
∴方程无实数解，
∴不能围成花圃；
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
【经典例题四 数字问题】
【解题技巧】
数字问题有以下几种常见类型:
(1)连续整数.若三个连续整数最中间的整数是，则最小的整数是，最大的整数是.
(2)连续偶数.若三个连续偶数最中间的偶数是，则最小的偶数是，最大的偶数是.
(3)连续奇数.若三个连续奇数最中间的奇数是，则最小的奇数是，最大的奇数是.
(4)两位数.若一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数是.
(5)三位数.若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是.
【例4】（2022·广东·九年级专题练习）一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大，已知十位上的数字比个位上的数字大．则这个两位数是（ ）
A．64B．75C．53或75D．64或75
【答案】D
【分析】令个位上的数字为x，然后用x表示出十位上的数字，再根据题意列出方程求解出x的具体数值，最后写出这个两位数.
【详解】令个位上的数字为x，则依据题意可知十位上的数字为(x+2)，该两位数可表示为：
10(x+2)+x
依据题意列出方程：10(x+2)+x=x(x+2)+40
整理得到：x2-9x+20=0
(x-4)(x-5)=0
解得：x1=4，x2=5
则该两位数为64或75,
故选择D.
【点睛】本题三个关键，第一是要会用字母表示出这个两位数，第二是要能够根据题意列出方程，第三是要能够合理选择方法解方程.
【变式训练】
1．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（ ）
A．35B．53C．62D．35或53
【答案】D
【分析】设十位数字为x，则个位数字为，根据新数与原数之积为1855，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为，根据题意得：
，
解得：或，
∴这个两位数为35或53，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系列出方程．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为____．
【答案】
【分析】根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字+各位数字=个位数字的平方，据此列方程可得答案．
【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，
则根据题意：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022秋·江西南昌·九年级校联考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ___________；判断241 ___________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②， 若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值．
【答案】(1)，不是
(2)
(3)121，242，363，484
【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵是喜鹊数，
∴，即；
∵，，，
∴241不是喜鹊数；
故答案为：；不是；
（2）∵是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，
∴，，
将两边同除以得：，
∴将m、看成是方程的两个根，
∵，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，即；
故答案为：；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484；
故答案为：121，242，363，484．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义．
【经典例题五 营销问题】
【解题技巧】
利润问题常用公式如下:
(1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价.
(2)利润率=
(3)销售额=销售价×销售量.
(4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量
【例5】（2023春·海南儋州·九年级专题练习）某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（ ）
A．70元B．80元C．70元或80元D．75元
【答案】A
【分析】根据每天的销售利润＝每箱的销售利润×销售数量，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，在结合销售利润不能超过50%，即可确定x的值．
【详解】解：根据题意得：（x﹣50）[80-2（x-60）]＝1200，
整理得：x2﹣150x+5600＝0．
解得：x1＝70，x2＝80．
当x＝70时，利润率＝×100%＝40%＜50%，符合题意；
当x＝80时，利润率＝×100%＝60%＞50%，不合题意，舍去．
所以要获得1200元利润，每盒口罩的售价应定为70元．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题关键是根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出平均每天的销售量，找准等量关系正确列出一元二次方程．
【变式训练】
1．5．（2023春·八年级课时练习）某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天可以销售20双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，每双运动鞋每降价1元，每天可多销售2双，若想每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降价（ ）
A．10元或20元B．20元C．5元D．5元或10元
【答案】B
【分析】先设每双鞋应降价x元，根据平均每天售出的双数×每件盈利=每天销售利润，再列出方程，求出x的值，再根据尽可能让利顾客，把不合题意的根舍去即可求出答案；
【详解】解：设每双鞋应降价x元，根据题意得：
（40-x）（20+2x）=1200，
解得x1=20，x2=10，
∵尽可能让利顾客， ∴x=20．
答：每双鞋应降价20元；
故选B
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润”是解题的关键．
2．（2023秋·重庆大足·七年级统考期末）随着新年的到来，某手机店购进一批手机，第一周销售A款手机的利润率是，销售B款手机的利润率是，A款手机销量是B款手机销量的2倍，结果第一周这两款手机的总利润率是，受疫情的影响，第二周销售A款手机的利润率比第一周下降了，销售B款手机的利润率比第一周下降了，结果第二周这两款的总利润率达到，则第二周A款手机、B款手机的销量之比值是________．（）
【答案】
【分析】设A款手机的成本价为元/千克，B款手机的成本价为元/千克，第一周B款手机的销量为千克，则第一周A款手机的销量为千克，A款手机的利润为元，B款手机的利润为，根据第一周这两种西瓜的总利润率是建立方程可得，再设第四周A款手机的销量为千克，B款手机的销量为千克，则第四周A款手机的利润为元，B款手机的利润为元，根据第四周这两种手机的总利润率达到建立方程，由此即可得．
【详解】解：设A款手机的成本价为元/千克，B款手机的成本价为元/千克，第一周B款手机的销量为千克，
则第一周A款手机的销量为千克，A款手机的利润为元，B款手机的利润为，
，
整理得：，
设第四周A款手机的销量为千克，B款手机的销量为千克，
则第四周A款手机的利润为元，B款手机的利润为元，
，
整理得：，
则，
即第四周A款手机、B款手机的销量之比是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，正确设未知数，建立方程是解题关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）“天使草莓”是通过草莓杂交育种、脱毒育苗筛查等生物技术而培育的一种草莓品种，因其外观通体雪白、色泽透亮、汁多味美而深受广大消费者欢迎．今年春季，某水果店以60元/盒的价格购进一批名叫“天使”的新品种草莓进行销售．该商家在销售过程中发现当每盒的售价为100元时，平均每天可售出180盒．若每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒．设此种草莓每盒的售价为x元，每天销售此种草莓的利润为y元．

(1)用含x的式子表示每盒此种草莓的利润为______元，每天可卖出此种草莓的数量为______盒．
(2)若该水果店计划每天销售此种草莓盈利6000元，问此种草莓每盒的售价应定为多少元？
【答案】(1)；
(2)90元
【分析】（1）根据每盒利润等于每盒售价减每盒成本可得每盒利润，根据每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒可得每天可卖出此种草莓的数量；
（2）根据每天总利润等于每盒利润乘以每天可卖出此种草莓的数量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵此种草莓每盒的售价为x元，每盒进价60元，
∴每盒此种草莓的利润为元；
又∵每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒，
∴每天可卖出此种草莓的数量为：(盒)
故答案为：；
（2）由题意得，
解得，(不符合题意舍去)
答：此种草莓每盒的售价应定为90元
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—利润问题、列代数式，根据等量关系列式和列方程是解题的关键．
【经典例题六 动态几何问题】
【例6】（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图像如图②所示，则边的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】由图②可知，当点到达点时，的面积为6，此时的高为，则，解得，而，由此即可求解．
【详解】解：由图②可知：当点到达点时，的面积为6，此时的高为，
∴的面积，
解得①，
而从图②还可知：②，
由②得：③，
将③代入①，得：，
解得：或，
当时，，
当时，，
∵在矩形中，，
∴，
∴，，
故选：D．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解，也考查了矩形的性质以及解一元二次方程．
【变式训练】
1．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为( )
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】设点E运动的时间是．根据题意可得，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
设点E运动的时间是．
根据题意可得，
解得， ，
∵，
∴两点运动了后停止运动．
∴．
故选∶B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动．
（1）当秒时，线段__．
（2）当__秒时，的面积是24．
【答案】 20 2或3/3或2
【分析】（1）当秒时，根据题意可得，，再根据勾股定理即可求解．
（2）设运动时间为秒，则，，根据的面积是24列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）∵当秒时，，
根据勾股定理得．
故答案为：20．
（2）设运动时间为秒，
此时，，，
∵的面积是24，
∴，
整理得，，
解得：，
∴当秒或3秒时，的面积是24．
故答案为：2或3．
【点睛】本题主要考查勾股定理、列代数式、一元二次方程的应用，根据题意找准数量关系，列出方程是解题关键．
3．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动．问：
(1)P、Q两点从出发开始几秒时，四边形的面积为？
(2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米？
(3)P，Q两点间距离何时最小？
【答案】(1)5秒
(2)秒或秒
(3)秒
【分析】（1）表示出和，利 用梯形的面积公式结合四边形的面积为，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过作于，如果设出发秒后，厘米．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出、的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值．
（3）在直角三角形中，为0时，就最小，那么可根据这个条件和（1）中用勾股定理得出的的式子，令，得出此时时间的值．
【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，，，
依题意，得：，
解得：．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为．
（2）设出发秒后、两点间的距离是10厘米．
则，．
作于，
则，
，
解得：或，
∴、出发或秒时，，间的距离是10厘米；
（3），
当时，即时，最小．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，本题结合几何知识并根据题意列出方程，然后求解．
【经典例题七 行程问题】
【例7】（2023春·浙江·八年级阶段练习）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（ ）
A．1sB．1.2sC．2sD．4s
【答案】A
【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：设约用了x秒．
汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8，
∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x．
∴（20﹣4x）×x=16，
解得：x1=1，x2=4，
∵20﹣8x＞0，
∴x=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过( )小时，甲、乙两人相距6千米？
A．B．C．1.5D．
【答案】A
【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案
【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得：
BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，
因为BC2+DC2＝BD2，
则（10﹣16x）2+（12x）2＝62，
解得：x1＝x2＝0.4．
答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km．
故选A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s，在这个问题中，距离=平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度.如果斜面的长是18m，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为________s.
【答案】
【分析】根据题意求得钢球到达斜面低端的速度是1.5t．然后由“平均速度时间t”列出关系式，再把s=18代入函数关系式即可求得相应的t的值．
【详解】依题意得s=×t=t2，
把s=18代入，得18=t2，
解得 t=，或t=-（舍去）．
故答案为
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
3．（2023·浙江台州·统考一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）
(1)当时，求关于t的函数关系式；
(2)求图中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)7，理由见解析
【分析】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案；
（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；
（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．
【详解】（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得，
，
解得，
∴关于t的函数关系式为；
（2）解：对于球来说，，
小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为，
由小明在4s时第一次追上球可得，，
解得，
即图中a的值为；
（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为，
，，则，
，
第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米，
，
第三次踢后，变化规律为，
，，则，
，
第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米，
，
又开始下一个循环，
故第四次踢球所需时间为，经过24米，
故第五次踢球所需时间为，经过48米，
故第六次踢球所需时间为，经过24米，
故第七次踢球所需时间为，经过48米，
∵，，
∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，
故答案为：7
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．
【经典例题八 图表信息题】
【例8】（2022秋·宁夏银川·九年级校考阶段练习）根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（ ）
A．0B．3.5C．3.8D．4.5
【答案】D
【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断
【详解】时，，
时，，
则的解的范围为，
即一元二次方程的解大概是4.5．
故选D．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）重庆被称为“基建狂魔”城市，今年2月份，重庆轨道交通引来“运营里程超500千米的新突破”，另外重庆其他轨道工程也正处在建设中．
(1)原计划今年一季度施工里程（含普通道路施工、高架施工、隧道施工）共56千米，其中普通道路施工32千米，高架施工长度至少是隧道施工长度的7倍，则今年第一季度隧道施工最多是多少千米？
(2)一季度的施工里程刚好按原计划完成且隧道施工里程达到最大值，已知第一季度普通道路施工、高架施工、隧道施工每千米成本分别是1亿元、2亿元、4亿元．在第二季度施工中，预计总里程会减少千米，隧道施工里程会增加千米，高架施工会减少千米，其中普通道路施工、隧道施工每千米成本与第一季度相同，高架桥施工每千米成本会增加亿元，若第二季度总成本与第一季度相同，求的值．
【答案】(1)3千米
(2)
【分析】（1）设原计划今年一季度，隧道施工最多是x千米，则高架施工千米，根据高架施工长度至少是隧道施工长度的7倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）先求得第二季度高架施工长度为千米，第二季度隧道施工长度为千米，第二季度普通道路施工长度为千米，再根据第二季度总成本与第一季度相同，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设原计划今年一季度，隧道施工是x千米，则高架施工千米，根据题意，得
解得：，
∴今年第一季度隧道施工最多是3千米；
（2）解：第一季度高架施工长度为(千米)，
则第二季度高架施工长度为千米，第二季度隧道施工长度为千米，第二季度普通道路施工长度为千米，
根据题意，得
化简整理，得
解得：，(不符合题意，舍去)
∴．
【点睛】本题考查一元一次不等式与一元二次方程的应用，理解题意，列出一元一次不等式与一元二次方程是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或（张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可；
（2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可．
【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨，
1．6×140＝224＜264，
所以需加收:(元)，
即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，
又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标
故答案为a＝100；
（2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x；
当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100．
即y
用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）．
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键．
【经典例题九 其他问题】
【例9】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考二模）已知日升租车公司有甲、乙两个营业点，顾客租车后于当日营业结束前必须在任意一个营业点还车．某日营业结束清点车辆时，发现在甲归还的车辆比从甲出租的多4辆．若当日从甲出租且在甲归还的车辆为13辆，从乙出租且在乙归还的车辆为11辆，则关于当日从甲、乙出租车的数量下列比较正确的是（ ）
A．从甲出租的比从乙出租的多2辆B．从甲出租的比从乙出租的少2辆
C．从甲出租的比从乙出租的多6辆D．从甲出租的比从乙出租的少6辆
【答案】B
【分析】设当日从甲、乙出租的车数量分别为x辆，y辆，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：设当日从甲、乙出租的车数量分别为x辆，y辆，根据题意得：
，
所以，
即从甲出租的比从乙出租的少2辆．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程在实际生活中的应用，关键是找出题目中的等量关系，列出方程．
【变式训练】
1．8．（2022秋·广西钦州·九年级校考期中）如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则对角线的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
【详解】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
即AB•BC=12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC=7．
则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，
解得AB=4或3，
∵AB＜AD，即AB＜BC，
∴AB=3，BC=4．
∴
四边形ABCD为矩形
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
2．（2023·山东德州·统考二模）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是______．

【答案】30
【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键．
3．（2022秋·全国·九年级专题练习）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得．

任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）．
（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）．
【答案】（1）②；（2）．
【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图；
（2）仿照案例构造图形即可求得x的值．
【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②．
故答案为：②；
（2）首先构造了如图2所示的图形．
图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．
【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想．
【重难点训练】
1．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）用一条长为的绳子围成一个面积为的长方形，a的值不可能为（ ）
A．120B．100C．60D．20
【答案】A
【分析】设围成面积为的长方形的长为，由长方形的周长公式得出宽为，根据长方形的面积公式列出方程，由，即可求解．
【详解】解：设围成面积为的长方形的长为，由长方形的周长公式得出宽为，
依题意，得，
整理，得，
，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键．
2．（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据“有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，然后求解即可解答．
【详解】解∶设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得
，即，
解方程得：，（舍去）．
答：平均每轮一个人传染11个人．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）2022年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热，某市青少年校园足球联赛采用单循环赛，每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，整个单循环比赛共计进行28场，则参加校园足球联赛的队伍共有（ ）支．
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】设共有x支队伍，根据单循环比赛规则，每支队伍需比赛场，由此列一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设共有x支队伍，由题意知：
，
解得：或（舍去），
即参加校园足球联赛的队伍共有8支．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环比赛规则列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少?设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据要使草坪的面积为，列一元二次方程，进一步判断即可．
【详解】解：可列方程，
故C选项不符合题意，
变形后，可得或，
故A选项不符合题意，D选项不符合题意，
不能得到，
故B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图，矩形中，，将矩形沿对角线翻折，点B的对应点为点，交于点E，若，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】设，求出，得到，由得到，由折叠的性质得到进一步得到，在中得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，
在矩形中，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵矩形沿对角线翻折，点B的对应点为点，交于点E，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
在中，，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
∴．
故选：D
【点睛】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、一元二次方程的应用，熟练掌握折叠的性质和利用勾股定理得到一元二次方程是解题的关键．
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点M，N的运动时间为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：在中，，
∴．
当运动时间为时，，
依题意得：，即，
整理得：，
解得：，
∴点M，N的运动时间为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2020秋·浙江·八年级期末）一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未被覆盖部分的面积，即可得出关于，的方程组，利用②①可得出③，将③代入②中可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出值，进而可得出的值，再利用矩形的面积公式求出按图③放置时未被覆盖的两个小矩形的面积和即可得出结论．
【详解】解：设矩形的长为，宽为，
依题意，得：，
②①，得：，
③．
将③代入②，得：，
整理，得：，
解得：，（舍去），
．
按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若，则有一种围法
B．若，则有一种围法
C．若，则有两种围法
D．若，则有一种围法
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：，图2围法，设矩形菜园垂直于墙的边为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．
【详解】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若，，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验符合题意，
综上：若，则有两种围法，故B不符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得： 经检验都符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
若，则有两种围法，C不符合题意，
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
综上所述，若，则有一种围法，D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．
9．（2023·贵州贵阳·校考一模）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步．”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为步，根据题意可列方程为______．
【答案】
【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：若设这块矩形田地的长为步，则宽为步，依题意，得
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2023·湖南常德·统考三模）一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低______元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元．
【答案】10
【分析】设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，然后根据利润单件利润销售量，列出方程求解即可．
【详解】解：设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，
由题意得，，
整理得：，
解得，
∴当每件商品的单价降低10元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
11．（2023·陕西西安·校考模拟预测）某农户1月份购买了100只兔子进行养殖，经过两个月后，农户养殖的兔子数量增长至169只，若兔子的月平均增长率都相同，则开始养殖一个月后，农户养殖的兔子数量为______只．
【答案】130
【分析】设兔子的月平均增长率为x，然后根据题意可列方程求得增长率，则开始养殖一个月后，农户养殖的兔子数量为即可．
【详解】解：设兔子的月平均增长率为x，由题意可列方程为，
解得或（舍去），
开始养殖一个月后，农户养殖的兔子数量为（只）．
故答案为130．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确列出方程、求出增长率是解答本题的关键．
12．（2023·黑龙江绥化·校考三模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则_______．
【答案】11
【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可．
【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆，
第2个图形中一共有个圆，
第3个图形中一共有个圆，
第4个图形中一共有个圆；
可得第n个图形中圆的个数是；
，
解得（舍），，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程．
13．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．动点，同时从，两点出发，当的面积为时，动点，的运动时间为________．
【答案】
【分析】设，的运动时间为，可得，用表示出的面积，并令其等于，即可解出的值，即动点，的运动时间．
【详解】解：设动点，的运动时间为，且，则，．
，，
又的面积为，
，解得，（舍去）．
故动点，的运动时间为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确地设出未知量，并通过解方程求解是解决本题的常见方法．
14．（2023·河北衡水·统考二模）六张完全相同的小矩形纸片C与A，B两张矩形纸片恰好能拼成一个相邻边长为m，50的大矩形，部分数据如图所示．
（1）若，则矩形A的水平边长为______；
（2）请用含m，n的代数式表示矩形A的周长：______；
（3）若矩形A，B的面积相等，则 ______．
【答案】
【分析】（1）根据图可得矩形A的长个小矩形宽，即可得到矩形A的水平边长；
（2）根据图可得矩形A的宽个小矩形宽，进而得到矩形A的竖直边长，即可得到答案；
（3）分别表示出矩形A，B的面积，根据矩形A，B的面积相等即可得到答案．
【详解】解：设矩形A的水平边长为 ，矩形A的竖直边长 ，
（1）由图可知，
；
（2）由（1）可知，
由图可知
矩形A的周长
；
（3）由题知，矩形A的面积；
由图知，矩形B的面积
矩形A，B的面积相等,
①
小矩形纸片长，矩形A的水平边长为
由图可知小矩形纸片长矩形A的水平边长
②
联立①②解得，（舍去）．
故答案为：；；．
【点睛】本题主要考查列多项式，多项式的值，一元二次方程，掌握解题的方法以及解方程的方法是解题的关键．
15．（2021秋·广东河源·九年级校考期中）如图，有一农户用24m长的篱笆围成一面靠墙（墙长12m），大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍．
(1)鸡舍的面积能够达到吗？若能，给出你的方案；若不能，请说明理由；
(2)鸡舍的面积能够达到吗？若能，给出你的方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)能，垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设垂直于墙的一边长，根据题意可得，解方程即可得到答案；
（2）设垂直于墙的一边长，由题意可得：，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：能，理由如下：
设垂直于墙的一边长，
由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
当时，（不符合题意，舍去），
当时，，符合题意，
，
垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为，
（2）解：不能，理由如下：
设垂直于墙的一边长，
由题意可得：，
整理得：，
，
此方程无实数根，
不能．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（2023·湖南长沙·校考二模）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为万元，2022年数字阅读市场规模为万元.
(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元?
【答案】(1)
(2)预计2023年该市数字阅读市场规模是万元
【分析】（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为，利用2022年该市数字阅读市场规模年该市数字阅读市场规模，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用2023年该市数字阅读市场规模年该市数字阅读市场规模，可预计出2023年该市数字阅读市场规模．
【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为
根据题意得：
解得：，（不符合题意，舍去）
答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为
（2）（万元）
∴预计2023年该市数字阅读市场规模是万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
17．（2023·全国·九年级假期作业）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品．该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，九月份的销售量达到袋．
(1)求八、九这两个月销售量的月平均增长率；
(2)该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（若农产品每袋进价元，原售价为每袋元）
【答案】(1)八、九这两个月的月平均增长率为
(2)当农产品每袋降价5元时，这种农产品在十月份可获利4250元
【分析】（1）设三、四这两个月的月平均增长率为x，利用七月销量九月的销量进而求出答案；
（2）首先设当农产品每袋降价m元时，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设八、九这两个月的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：八、九这两个月的月平均增长率为．
（2）解：设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，
根据题意可得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：当农产品每袋降价5元时，这种农产品在十月份可获利4250元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系列出方程是解题关键．
18．（2023春·八年级单元测试）等边，边长为，点P从点C出发以向点B运动，同时点Q以向点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，

(1)求当为直角三角形时的时间；
(2)的面积能否为，若存在求时间，若不存在请说明理由．
【答案】(1)或者
(2)存在，2
【分析】（1）根据题意有，，即，即可得，分当为直角三角形,且时和当为直角三角形,且时，两种情况讨论，根据含角的直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）过Q点作于点M，先求出，即有，进而有，即，令，可得，解方程即可求解．
【详解】（1）根据题意有，，即，
∵，
∴，
当为直角三角形,且时，如图，

∵等边中，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当为直角三角形,且时，如图，

∵等边中，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
即t的值为或者；
（2）存在，理由如下：
过Q点作于点M，如图，

∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
令，
∴，
整理得：，
解得：，或者，
∵，
∴，
即t的值为2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用等知识，明确题意，根据含角的直角三角形的性质正确列式，是解答本题的关键．
19．（2023·浙江温州·校考一模）某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．
(1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
【答案】(1)1米；
(2)①；②．
【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可；
（2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设小道进出口的宽度为米，
依题意得．
整理，得．
解得，，．
（不合题意，舍去），
；
答：小道进出口的宽度应为1米；
（2）解：①剩余的种植花草区域的面积为：
②由，得：
，
解得：（舍去）．
故．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根．
20．（2023春·安徽六安·八年级校考阶段练习）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
【答案】(1)y与x的函数关系式为y=10x＋200；
(2)当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大.
(3)降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)，
由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300），
将其代入y=kx+b 得
解得
∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200；
（2）解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910，
整理得 x2－20x＋91＝0，
解得：x1＝7, x2＝13；
当x＝7时，售价为100－7＝93（元），
当x＝13时，售价为100－13＝87（元），
∵优惠力度最大，
∴取x＝13，
答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；
（3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，
∴100－60－x ≥ 60×50%,
解得：x≤10；
依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000，
整理得 x2－20x＋100＝0，
解得：x1＝x2＝10；
∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．
2
3
4
5
6
5
13
发布日期
10月8日
10月11日
10月12日
发布次数
第1次
第2次
第3次
票房
10亿元
12.1亿元
月份
用水量（吨）
交费总数（元）
7
140
264
8
95
152