2025高考数学一轮复习-3.1-导数的概念及意义、导数的运算-专项训练【含答案】

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1.曲线y=2cs x+sin x在(π,-2)处的切线方程为( )
A.x-y+π-2=0B.x-y-π+2=0
C.x+y+π-2=0D.x+y-π+2=0
2.(多选题)下列求导正确的是( )
A.[(3x+5)3]′=9(3x+5)2
B.(x3ln x)′=3x2ln x+x2
C.(2sinxx2)′=2xcsx+4sinxx3
D.(2x+cs x)′=2xln 2-sin x
3.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)等于( )
A.-1B.0C.2D.4
4.若过点P(1,0)作曲线y=x3的切线,则这样的切线共有( )
A.0条B.1条C.2条D.3条
5.(多选题)已知曲线f(x)=23x3-x2+ax-1存在两条斜率为3的不同切线,且切点的横坐标都大于零,则实数a的取值可能为( )
A.196B.3C.103D.92
6.已知函数f(x)=x+aex,若f′(0)=2,则f(0)= .
7.若曲线y=f(x)=ln x+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是 .
8.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 .
9.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b
的值;
(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.
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10.已知函数f(x)是奇函数且其图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-1,设函数g(x)=f(x)-x2,则g(x)的图象在点(-1,g(-1))处的切线方程为( )
A.y=4x+2B.y=-4x-6
C.y=0D.y=-2
11.(多选题)已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,若g(x)=xf(x),则下列各式成立的是( )
A.f(1)=1B.f′(1)=1
C.f(x)=14x2+34D.g′(1)=32
12.设函数f(x)=cs(3x+)(00,m1m2>0,即(-2)2-4×2×(a-3)>0,a-32>0,解得30)恒成立,所以2ax2+1≥0(x>0)恒成立,即2a≥-1x2(x>0)恒成立,所以a≥0,故实数a的取值范围为[0,+∞).
答案:[0,+∞)
8.解析:由y=x2-ln x,
得y′=2x-1x(x>0),
设点P0(x0,y0)是曲线y=x2-ln x上到直线y=x-2的距离最小的点,
则y′|x=x0=2x0-1x0=1,
解得x0=1或x0=-12(舍去).
所以点P0的坐标为(1,1).
所以所求的最小距离为|1-1-2|2=2.
答案:2
9.解:f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
(1)由题意,得f(0)=b=0,f'(0)=-a(a+2)=-3,
解得b=0,a=-3或a=1.
(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,
所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,
所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,
即4a2+4a+1>0,
所以a≠-12.
所以a的取值范围为(-∞,-12)∪(-12,+∞).
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10.解析:由题意可得f(1)=1,f′(1)=2.由g(x)=f(x)-x2得,
g(-1)=f(-1)-1=-f(1)-1=-2,g′(x)=f′(x)-2x.
因为y=f(x)为奇函数,所以f′(x)是偶函数,则f′(-1)=f′(1)=2,
所以g′(-1)=f′(-1)-2×(-1)=4,所以g(x)的图象在点(-1,g(-1))处的切线方程为y-(-2)=4(x+1),即y=4x+2.故选A.
11.解析:对于A,由题意知,点(1,f(1))在直线x-2y+1=0上,所以f(1)=1,故A正确;对于B,函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,所以f′(1)=12,故B错误;对于C,f(x)=14x2+34,虽然满足f(1)=1,f′(1)=12,但该函数只是一种特殊情况,该函数还可以为f(x)=x,也满足f(1)=1,f′(1)=12,故C错误;
对于D,由题得g′(x)=f(x)+xf′(x),
所以g′(1)=f(1)+f′(1)=1+12=32,故D正确.故选AD.
12.解析:因为f′(x)=-3sin(3x+),
所以f(x)+f′(x)=cs(3x+)-3sin(3x+),
令g(x)=cs(3x+)-3sin(3x+),
因为其为奇函数,所以g(0)=0,即cs -3sin =0,
所以tan =33,又0