2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及平面向量的应用-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及平面向量的应用-专项训练【含答案】，共9页。
1.已知向量a=(1,2),b=(x,1),若(a+b)⊥(a-b),则x等于( )
A.-2 B.±2
C.±2 D.2
2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,=2π3,则a·(a+b)等于( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
3.已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=a+3b,则cs等于( )
A.32 B.12 C.34 D.14
4.在水流速度为10 km/h的自西向东的河中,如果要使船以
103 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸,则船出发时行驶速度的方向和大小分别为( )
A.北偏西30°,20 km/h
B.北偏西60°,102 km/h
C.北偏东30°,102 km/h
D.北偏东60°,20 km/h
5.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则a-b与b的夹角为( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
6.已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,且∠DAB=90°,AB=2,AD=1,若点Q满足AQ→=2QB→,则QC→·QD→等于( )
A.-109 B.109 C.-139 D.139
7.已知平面向量a=(3,3),则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为 .(写出满足条件的一个向量即可)
8.已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
9.在△ABC中,BC的中点为D,设向量AB→=a,AC→=b.
(1)用a,b表示向量AD→;
(2)若向量a,b满足|a|=3,|b|=2,=60°,求AB→·AD→的值.
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10.(多选题)若向量a,b满足|a|=|b|=2,|a+b|=23,则( )
A.a·b=-2
B.a与b的夹角为π3
C.|a-b|>|a+b|
D.a-b在b上的投影向量为-12b
11.(多选题)已知O为坐标原点,点P1(cs α,
sin α),P2(cs β,-sin β),P3(cs(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )
A.|OP→1|=|OP→2|
B.|AP→1|=|AP→2|
C.OA→·OP→3=OP→1·OP→2
D.OA→·OP→1=OP→2·OP→3
12.在△ABC中,满足AB→⊥AC→,M是BC的中点,若O是线段AM上任意一点,且|AB→|=|AC→|=2,求OA→·(OB→+OC→)的最小值.
13.在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),
|OC→|=1,且∠AOC=θ,其中O为坐标原点.
(1)若θ=3π4,设点D为线段OA上的动点,求|OC→+OD→|的最小值;
(2)若θ∈[0,π2],向量m=BC→,n=(1-cs θ,sin θ-2cs θ),求m·n的最小值及对应的θ值.
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14.(多选题)定义一种向量运算“⊗”:a⊗b=a·b,当a,b不共线时,|a-b|,当a,b共线时(a,b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a,b,c,e,给出下列结论,正确的是( )
A.a⊗b=b⊗a
B.λ(a⊗b)=(λa)⊗b(λ∈R)
C.(a+b)⊗c=a⊗c+b⊗c
D.若e是单位向量,则|a⊗e|≤|a|+1
15.向量的数量积可以表示为:以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一,即如图所示,a·b=
14(|AD→|2-|BC→|2),我们称为极化恒等式.在△ABC中,M是BC的中点,
AM=3,BC=10,则AB→·AC→= .
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·
(a-b)=0,即(1+x)·(1-x)+3=0,解得x=±2.故选C.
2.解析:a·(a+b)=a2+a·b=1+1×2×(-12)=0.故选C.
3.解析:由单位向量a,b,则|a|=1,|b|=1,即|c|2=(a+3b)2=|a|2+23a·
b+3|b|2=4,得|c|=2,又a·c=a·(a+3b)=|a|2+3a·b=1,
所以cs=a·c|a|·|c|=12.故选B.
4.解析:如图,船从点O出发,沿OC→方向行驶才能垂直到达对岸,|OA→|=
10,|OB→|=103,则|OC→|=|OA→|2+|OB→|2=20,则cs∠BOC=|OB→||OC→|=32,因为∠BOC为锐角,故∠BOC=30°,故船以20 km/h的速度,以北偏西30°的方向行驶,才能垂直到达对岸.故选A.
5.解析:|a+b|=|a-b|=2|a|,等号左右同时平方,
得|a+b|2=|a-b|2=4|a|2,即|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2-2a·b=4|a|2,
所以a·b=0且|b|2=3|a|2,
所以|a-b|=|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=233|b|,
所以cs=(a-b)·b|a-b||b|=-|b|2233|b|·|b|=-32,因为∈[0,π],
所以=5π6.故选D.
6.解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则B(2,0),C(1,1),D(0,1).
又AQ→=2QB→,所以Q(43,0),
所以QC→=(-13,1),QD→=(-43,1),
所以QC→·QD→=49+1=139.故选D.
7.解析:设b=(x,y),所以a·b=3x+3y=6·x2+y2·22,
所以x2+y2=x+y,所以xy=0,且b为非零向量,所以x=1,y=0满足
题意,
所以b=(1,0).
答案:(1,0)(答案不唯一,满足b=(x,y),xy=0,且x2+y2≠0的任意一个均可)
8.解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+
2(a·b+b·c+c·a)=0,
因此a·b+b·c+c·a=-92.
答案:-92
9.解:(1)AD→=12(AB→+AC→)=12a+12b,
所以AD→=12a+12b.
(2)AB→·AD→=a·(12a+12b)
=12a2+12a·b=12×32+12×3×2×cs 60°=6,
所以AB→·AD→=6.
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10.解析:因为|a|=|b|=2,|a+b|=23,所以12=|a+b|2=a2+2a·b+b2=4+
2a·b+4,
解得a·b=2,A错误;
设a,b的夹角为α,则cs α=a·b|a||b|=22×2=12,由于α∈[0,π],
所以a与b的夹角为π3,故B正确;
|a-b|=(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-2a·b+4=2